文档内容
第 06 讲 双曲线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
角度2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨
迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 与
的大小.
(1)若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
(2)若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质（ （
标准方程
） ）
图形
范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
性质
渐近线
离心率 ， ，
间的关系
知识点三：等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 渐近线方程：
2、若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
3、若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
4、若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线 的离心率为 ，且过 ，
则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由双曲线离心率为 ，得 ，所以 所以 ，
所以双曲线方程为 ，
将 代入 得 .
所以双曲线的方程为 .
故选：D
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由双曲线方程 得 ， ，
则双曲线的离心率为 .
故选：D.
3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程 所表示的曲线为 ，
则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若 为椭圆，则 B．若 为双曲线，则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
【答案】BC若 为椭圆，则 ， 且 ，故A错误
若 为双曲线，则 ， ，故B正确
若 为圆，则 ， ，故C正确
若 为椭圆，且长轴在 轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点 且与双曲线： 的渐近线垂直的直线方程为
__________．
【答案】 ，
由双曲线： 可得其渐近线方程为 ，
∴过点 且与双曲线： 的渐近线垂直的直线方程为 ，
即 ， .
故答案为： ， .
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线 的焦距等于虚轴长的3倍，
则 的值为______．
【答案】
化为标准方程： ，
则 ，故 ，则可得： ，
解得： ，
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：双曲线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，其一条渐近线倾斜角为 ，若点P在双曲线上，且 ，则 ______．
【答案】13
由题意， ，故 ，双曲线 ， ，因为 小于 到右顶
点的距离，故 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得 ，解得
故答案为：13
例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为椭圆 和双曲线
的一个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由椭圆 方程知其焦点为 ；由双曲线 方程知其焦点为 ；
椭圆 与双曲线 共焦点，设其右焦点为 ，
为椭圆 与双曲线 在第一象限内的交点，
由椭圆和双曲线定义知： ，解得： .
故选：A.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）双曲线 的左､右焦点分别是 ､ ，过 的弦AB与其右支
交于 ､ 两点， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题可得 ，
则 的周长为 .
故选：C．
例题4．（2022·江苏·高二）已知 ､ 是双曲线 的两个焦点，点 是双
曲线 上一点，且 ，求 的面积.
【答案】
因为 ､ 是双曲线 的两个焦点，
所以 ，所以 ；设 ， ，
因为点M是双曲线上一点，且 ，所以 ；
在△ 中，由余弦定理可得： ；
联立上述两式可得： ，
所以 的面积 .
同类题型归类练
1．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，动
点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为动点 在双曲线 的右支上，由双曲线定义可得： ，
所以 ，因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，将 代入 得：
.
故选：B．
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线 的左焦点为F，点
M在双曲线C的右支上， ，当 的周长最小时， 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】D
解：设双曲线 的右焦点为 ，则 ， ， ，又 ，所以 ，
由双曲线的定义知， ，
所以 ，所以 的周长为 ，
即当 在 即 与双曲线的交点处时， 的周长最小，此时直线 的方程为 ，
联立 ，即 ，解得 ，即 ，
故 的面积为 ．
故选：D．
3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
一条渐近线方程为 ，若点 在双曲线 上，且 ，则 ________.
【答案】9
由双曲线C的方程可得其渐近线方程为 ，
由已知可得 ，
所以 ， ，所以 ，
由双曲线定义可知 ，则 或 ，
又因为 ，故 ，
故答案为：9.
4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， .双曲线
上有一点 ，若 ，则 ______.
【答案】1或13##13或1
因为双曲线 ： ，
所以a=3，所以 ，
又因为 ，
所以 或 ，
故答案为：1或13.
题型二：双曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在 轴上，焦距为10，离心率是 ；
(2)一个顶点的坐标为 ，一个焦点的坐标为 ；
(3)焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，实轴长为12；
(4)渐近线方程为 ，焦点坐标为 和 ．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
(1)由题设， 且 ，则 ， ，
又顶点在x轴上，故双曲线的标准方程为 .
(2)由题设， ，则 ，
又一个焦点为 ，故双曲线的标准方程为 .
(3)由题设， ，又焦点在y轴上，令双曲线的标准方程为 ，
又一条渐近线方程为 ，即 ，则 ，
所以双曲线的标准方程为 .
(4)由题设， 且焦点在x轴上，令
又渐近线方程为 ，则 ，而 ，
所以 ，故双曲线的标准方程为例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ， ，焦点在 轴上；
(2)焦点为 ､ ，经过点 .
【答案】(1) (2)
(1)由题设知， ， ，由 ，得 .
因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为 ；
(2)由已知得 ，且焦点在y轴上.因为点 在双曲线上，
所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，
即 ，
则 ， .
因此，所求双曲线的标准方程是 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点与椭圆 的左、右顶点相同，且经过椭圆的右
焦点，求该双曲线的方程.
【答案】
解：椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，右焦点为 ，所以双曲线中 ，又
，所以 ，所以双曲线方程为 ；
2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为 ， ，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点 ；
(3)经过点 ， .
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
(1)因为双曲线的焦点在 轴上，故可设方程为： ，
又焦点为 ， ，故可得 ，又双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2，即 ，则 ，
又 .
故双曲线方程为： .
(2)因为双曲线焦点在 轴上，故可设双曲线方程为 ，
又其焦距为10，故可得 ；
又该双曲线过点 ，则 ，故 ，
故双曲线方程为： .
(3)不妨设双曲线方程为： ，
因其过点 ， ，故可得 ，
联立方程组可得： ，
故所求双曲线方程为： .
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
典型例题
例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线 的虚轴长为2，焦距
为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依题意 ，所以 ，又 ，所以 ，所以双曲线方程为 ，所以双
曲线的渐近线方程为 ；
故选：C
例题2．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）双曲线 的离心率 ，则其渐
近线方程为______.
【答案】 或由题意得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，
则 ，解得： ，
此时双曲线方程为：
渐近线方程为： ；
当 时， ，
则 ，
解得： ，
此时双曲线方程为： ，
渐近线方程为： .
故答案为： 或
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线E的两条
渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【详解】
当 ，即 时， ，解得 ，
则双曲线
此时渐近线的斜率为 ，所以渐近线的倾斜角为 和 ，
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为 ；
当 ，即 时， ，解得 ，则双曲线
此时渐近线的斜率为 ，所以渐近线的倾斜角为 和 ，
所以双曲线E的两条渐近线的夹角为 ；
故选：B.
2．（2022·北京·高三专题练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
根据题意， ，故可得 ，则 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，故 是其中一条渐近线.
故选：A.
3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线 的两条渐近线的夹角为______．
【答案】 ##
因为双曲线 ，则 ，
所以渐近线方程为 ，
又直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以两条渐近线的夹角为 .
故答案为：
角度2：离心率
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期中）若 是1和4的等比中项，则曲线 的离心率为
（ ）
A． 或 B． 或 C． D．【答案】A
m是1和4的等比中项,所以 ，
当 时，曲线 化为 是焦点在 轴上的椭圆，离心率为：
.
当 时，曲线 化为 是焦点在 轴上的双曲线，离心率为：
.
故选：A.
例题2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知 为双曲线 的左、
右焦点，以线段 为直径的圆与双曲线 的右支交于 两点，若 为等边三角形，则 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
双曲线 与以 为直径的圆均关于 轴对称， 为等边三角形，
，又 ， ， ；
由双曲线定义知： ，即 ，
双曲线离心率 .
故选：D例题3．（2022·山东泰安·三模）已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 为双曲线虚
轴的上端点， 为双曲线的左顶点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由已知双曲线 的右焦点 的坐标为 ，虚轴的上端点B的坐标为 ，
左顶点A的坐标为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以双曲线的离心率 ，
故选：D.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ），以 的焦点为圆心，3为半
径的圆与 的渐近线相交，则双曲线 的离心率的取值范围是________________．
【答案】
双曲线C的渐近线方程为 ，右焦点 ，
∵渐近线与圆相交，
∴ ，即 ，
∴ ，可得 ，
∴双曲线C的离心率为： ，且 ．
∴ ．
故答案为：
同类题型归类练1．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线被圆
截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
双曲线的一条渐近线为 ，即
过F作渐近线的垂线，垂足为B
则右焦点 到渐近线的距离
由题可知
由勾股定理得， ，所以
即 ，得
故选：A
2．（2022·河南商丘·三模（理））已知双曲线 ： 经过点 ，且 的实轴长
大于 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可知， ，所以 ，又 ，所以 ，所以
，解得
故选：D3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知 ， 是双曲线 的
左､右焦点，过 作斜率为 的直线 ， 分别交 轴和双曲线右支于点 ， ，且 ，则
的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
由 可得， ，即 ，
则 为 的中点，
由于O为 的中点，故 ，
故 轴，将 代入 中得： ，
故 ，
因为直线 的斜率为 ，故 ,
所以 ，即 ，
故 （负值舍去），故 ，
故选：D
4．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题可得渐近线 的斜率满足 ，所以离心率 .
故选：D.
5．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为
， ，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围
是__________.
【答案】
当 时， ，解得： ，
不妨设 ，
则 ，
即 ，
不等式两边同除以 得： ，
解得：
故答案为：
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））已知点 为双曲线 的右焦点，过 作双曲
线的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 （点 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
取双曲线的一条渐近线为 ，即 .
则 到渐近线的距离即 ， ，，即 .
又 ， ，易得 ，
即 ，解得 .
故选：B.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
_____.
【答案】
由题意，双曲线 的渐近线方程为： ，
因为直线 过原点且与双曲线 没有交点，
故需满足 ，
故答案为：
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知 是双曲线 的左右焦点，以 为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是
______．
【答案】
， 是双曲线 的左右焦点，以 圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线
交于 ， 两点，
则焦点到渐近线的距离： ，
所以 ，，
，
可得 ，
即： ，可得 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以双曲线的离心率的取值范围是： ．
故答案为： ．
同类题型归类练
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
过双曲线 右焦点 的直线 与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右
支上的动点，点 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，点 是圆 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由双曲线 知渐近线方程为 ，
又双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
， ， 双曲线方程为 ，
设 ， ，
， ，
，
又弦 的中点为 ，
， ，设 ，，解得 ， ，解得 ，
所以双曲线的方程为 ，
由圆 的方程可得 ，
圆心为 ，半径为 ，
．
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号．
故选：D．
2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线
左支于 ， 两点，则 的最小值为______．
【答案】22
根据双曲线 ，得 ， ，
由双曲线的定义可得： ①，
②，
①+②可得： ，
由于过双曲线的左焦点 的直线交双曲线的左支于 ， 两点，
可得 ，即有 ．
则 ，当 是双曲线的通径时 最小，
故 .
故答案为：22
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近
线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为______．
【答案】
解：设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
4．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，左
焦点为 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 上运动，则 的最小值为
___________.
【答案】8
由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
可得 ，解得 .
所以 ，双曲线的左焦点坐标 ，右焦点坐标为 ，
由双曲线的定义，知 ，即 ，
由圆 可得圆心 ，半径为 ，
，
问题转化为求点 到圆 上的最小值，
即 ，
所以 .
所以 的最小值为 .故答案为： .
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题） 、 是双曲线 的两个焦点，抛物线 的准线
过双曲线的焦点 ，准线与渐近线交于点 ， ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
2．（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
3．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
_________．
【答案】
过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
【答案】
解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
6．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足 皆可）
解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
