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专题 24.11 圆中常用辅助线的作法【八大题型】
【人教版】
【题型1 遇弦连半径构造三角形】..........................................................................................................................1
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】.....................................................................................................2
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】..................................................................................................................4
【题型4 遇切线作过切点的半径】..........................................................................................................................5
【题型5 遇90°的圆周角连直径】...........................................................................................................................6
【题型6 转移线段】..................................................................................................................................................7
【题型7 构造相似三角形】......................................................................................................................................9
【题型8 四点共圆】................................................................................................................................................11
【题型1 遇弦连半径构造三角形】
【例1】（2024·陕西渭南·三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，连接CD
、BD，BD=BC，延长DB到点E，使得BE=BD，连接CE．
(1)求证：∠A+∠E=90°；
25
(2)若⊙O的半径为 ，BC=5，求CE的长．
6
【变式1-1】（23-24九年级上·重庆大足·期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若
CD=8，OP=3，则⊙O的直径为（ ）A．10 B．8 C．5 D．3
【变式1-2】（2024·贵州黔东南·二模）如图，⊙O是 △ABC的外接圆，且 AC=BC， 过点 B作
BE⊥AC，垂足为点E， 延长BE交⊙O于点D， 连接AD，CD，CO， 并延长CO交BD于点F．
(1)写出图中一个与∠ACD相等的角∶ ；
(2)求证∶ CD=CF；
(3)若 BC=10，BE=6， 求⊙O的半径．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，
⊙O与边AB交于点D，E为B´D的中点，连接CE，与AB交于点F．
(1)求证：AC=AF．
(2)当F为AB的中点时，求证：FC=2EF．
【题型2 遇弦作弦心距解决有关弦长的问题】
【例2】（23-24九年级上·云南昆明·期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂
足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（ ）A．3 B．❑√3 C．2❑√3 D．3❑√2
【变式2-1】（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，⊙O的半径是4，点P是弦AB延长线上的一点，连
接OP，若OP=6，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
5
A．2❑√7 B．❑√7 C．5 D．
2
【变式2-2】（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，⊙O 和⊙O 相交于A和B，过点A作O O 的平行
1 2 1 2
线交两圆于C、D，已知O O =20cm，则CD= cm．
1 2
【变式2-3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于x的一元二次方程❑√2ax2+2cx+❑√2b=0，如果a、
b、c满足a2+b2=c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”，请解决下列问题：
(1)求证：关于x的“勾系方程”❑√2ax2+2cx+❑√2b=0必有实数根.
(2)如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程❑√2ax2+
10x+❑√2b=0是“勾系方程”.①求∠BDC的度数，
②直接写出BD的长：_____________（用含a、b的式子表示）.
【题型3 遇直径作直径所对的圆周角】
【例3】（2024·安徽合肥·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD于点M，连
接OD．
(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；
(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．
【变式3-1】（2024九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为B´E的中点，CD⊥AE交
直线AE于D点．
(1)求证：OC∥AD；
(2)若DE=1,CD=2，求⊙O的直径．
【变式3-2】（2024·浙江温州·三模）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AC=3，点E是AC
边上的动点，以CE为直径作⊙F，连接BE交⊙F于点D，则AD的最小值为 ．
【变式3-3】（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，AB是半圆O的直径，AB=10，点D在半圆O上，AD=6，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程
中，BH的最小值是 ．
【题型4 遇切线作过切点的半径】
【例4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为边BC上一点，连接AP，
1
分别以点A，P为圆心，大于是 AP的长为半径画弧，两弧交于点E，F，EF交AB于点D，再以点D为
2
圆心，DA长为半径作圆，交AB于点M，BC恰好是⊙D的切线．若∠B=30°，AC=❑√3，则BM的长为
（ ）
2❑√3 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．❑√3
3 3 4
【变式4-1】（2024·辽宁大连·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径与BC交于点F，
∠CAD=45°，过B点的切线交AD的延长线于点E．
(1)若∠C=64°，求∠E的度数；
(2)⊙O的半径是3，OF=1，求BE的长．
【变式4-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知AB与⊙O相切于点B，直线AO与⊙O相交于C，D两点(AO>AC)，E为B´D的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F．
(1)如图①，若E为OF的中点，求∠A的大小；
(2)如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D=∠F．
【变式4-3】（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D
，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC=6，DE=4．
(1)求证：∠FEB=∠ECF；
(2)求⊙O的半径长．
(3)求线段EF的长．
【题型5 遇90°的圆周角连直径】
【例5】（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，过点C作
CE，使得CD=CE，交AD的延长线于点E．
(1)求证：AB=AE．
(2)若AD=DE=2，求CD的长．【变式5-1】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，矩形 内接于 ，则 ⏜ 的长
ABCD ⊙O,AB=2,BC=2❑√3
AB
为（ ）
1 2 ❑√3 2❑√3
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
【变式5-2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方
圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作
它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1，则四边形A′B′C′D′的外接圆半径为 ．
【变式5-3】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点
A(0,6)，与x轴交于点B(8,0)，则OP的长为 ．
【题型6 转移线段】
【例6】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，⊙O的直径AB=8，弦CD=3，且弦CD在圆上滑
动（CD的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作CP⊥AB于点P，若M是CD的中点，则
PM的最大值是 ．【变式6-1】（2024九年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C
且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是 ．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B．
小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同
于点A的点C，连接OC、CP，则有OP
