文档内容
第 06 讲 双曲线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
角度2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨
迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 与
的大小.
(1)若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
(2)若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质（ （
标准方程
） ）
图形
范围 或 或
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 ， ,
性质
渐近线
离心率 ， ，
间的关系
知识点三：等轴双曲线
（ ， ）当 时称双曲线为等轴双曲线
① ； ②离心率e=√2； ③两渐近线互相垂直，分别为 ；
④等轴双曲线的方程x2 −y2 =λ， ；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 渐近线方程：
2、若双曲线方程为 （ ， ） 渐近线方程：
3、若渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 ，
4、若双曲线与 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 （ ，焦点在 轴上，
，焦点在 轴上）第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线 的离心率为 ，且过 ，
则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 ， 则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程 所表示的曲线为 ，
则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若 为椭圆，则 B．若 为双曲线，则 或
C．曲线 可能是圆 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点 且与双曲线： 的渐近线垂直的直线方程为
__________．
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线 的焦距等于虚轴长的3倍，
则 的值为______．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：双曲线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
其一条渐近线倾斜角为 ，若点P在双曲线上，且 ，则 ______．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 为椭圆 和双曲线
的一个公共点，且 在第一象限， 是 的左焦点，则 （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）双曲线 的左､右焦点分别是 ､ ，过 的弦AB与其右支
交于 ､ 两点， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·江苏·高二）已知 ､ 是双曲线 的两个焦点，点 是双
曲线 上一点，且 ，求 的面积.
同类题型归类练
1．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，动
点 在双曲线 的右支上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线 的左焦点为F，点
M在双曲线C的右支上， ，当 的周长最小时， 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
一条渐近线方程为 ，若点 在双曲线 上，且 ，则 ________.
4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， .双曲线
上有一点 ，若 ，则 ______.题型二：双曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在 轴上，焦距为10，离心率是 ；
(2)一个顶点的坐标为 ，一个焦点的坐标为 ；
(3)焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，实轴长为12；
(4)渐近线方程为 ，焦点坐标为 和 ．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) ， ，焦点在 轴上；
(2)焦点为 ､ ，经过点 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点与椭圆 的左、右顶点相同，且经过椭圆的右
焦点，求该双曲线的方程.
2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为 ， ，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点 ；
(3)经过点 ， .
题型三：双曲线的简单几何性质角度1：渐近线
典型例题
例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线 的虚轴长为2，焦距
为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）双曲线 的离心率 ，则其渐
近线方程为______.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线E的两条
渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2022·北京·高三专题练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线
方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线 的两条渐近线的夹角为______．
角度2：离心率
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期中）若 是1和4的等比中项，则曲线 的离心率为
（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
例题2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知 为双曲线 的左、右焦点，以线段 为直径的圆与双曲线 的右支交于 两点，若 为等边三角形，则 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·山东泰安·三模）已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 为双曲线虚
轴的上端点， 为双曲线的左顶点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ），以 的焦点为圆心，3为半
径的圆与 的渐近线相交，则双曲线 的离心率的取值范围是________________．
同类题型归类练
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线被圆
截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南商丘·三模（理））已知双曲线 ： 经过点 ，且 的实轴长
大于 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知 ， 是双曲线 的
左､右焦点，过 作斜率为 的直线 ， 分别交 轴和双曲线右支于点 ， ，且 ，则
的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为
， ，过 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围
是__________.
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））已知点 为双曲线 的右焦点，过 作双曲
线的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 （点 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为
_____.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知 是双曲线 的左右焦点，以 为圆心，
为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是
______．
同类题型归类练
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，
过双曲线 右焦点 的直线 与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右
支上的动点，点 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，点 是圆 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线
左支于 ， 两点，则 的最小值为______．3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近
线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为______．
4．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，左
焦点为 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 上运动，则 的最小值为
___________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题） 、 是双曲线 的两个焦点，抛物线 的准线
过双曲线的焦点 ，准线与渐近线交于点 ， ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为
D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲
线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
_________．
5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 __________．
6．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
