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第 06 讲 双曲线 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．设点 ， ， 为动点，已知直线 与直线 的斜率之积为定值 ，点 的轨迹是
（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线 的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．2或 D． 或
4．若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长
交双曲线右支于点 ， 为坐标原点，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作 轴的垂线与 交于 两点，若 为正
三角形，则（ ）
A． B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的面积为
7．设点 是双曲线 的左､右两焦点，点 是 的右支上的任意一点，若 ，则 的值可能是（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．已知 是双曲线 （ ）的右焦点，点 在双曲线 上，直线 与 轴交于点
，点 为双曲线左支上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．双曲 ： 与 ： （ 且 ）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同
C．离心率相同 D．渐近线相同
10．已知双曲线C： (a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，
PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F，F．若kPA kPB= ，且C的焦点到渐近线的距
1 2
离为1，则下列说法正确的是（ ）
A．a=2
B．C的离心率为
C．若PF⊥PF，则 PFF 的面积为1
1 2 1 2
D．若 PFF 的面积为 ，则 PFF 为钝角三角形
1 2 1 2
三、填空题
11．已知 、 是等轴双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 等于
___________.
12．已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线l与双曲线C的左右两支
分别交于A，B两点，若 ，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题
13．如图，若 是双曲线 的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且 ，试求 的面积.
14．解答下列两个小题：
（1）双曲线 ： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（2）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
B 能力提升
1．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为 ， 为其左、右焦点，
若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足 ， ，则该双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且
,曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，
若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，实轴长为 ，点 在 的左支上，过点
作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，则当 取最小值 时，该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
4．已知 为双曲线 的左､右焦点，点 在双曲线的右支上，点 是平面内一
定点.若对任意实数 ，直线 与双曲线 的渐近线平行，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
C 综合素养1．已知双曲线 的离心率等于 ，且点 在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ，P为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
2．已知双曲线 的中心为原点 ，焦点在 轴上，直线 是 的一条渐近线， 且虚轴长为
(1)求 的标准方程
(2)记 的左右焦点为 ，点 在双曲线右支上，若 的周长为 ，求 的大小
3．已知双曲线 ， 是它的两个焦点．
(1)求与C有共同渐近线且过点(2， )的双曲线方程；
(2)设P是双曲线C上一点， ，求 的面积．
