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专题 24.11 切线的性质与判定（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（2024·湖北·模拟预测）如图， 和直线 ，直线 在同一平面内， 是 的直径，直线 是
的切线，直线 经过点 ，下列条件不能判定直线 与 相切的是 （ ）
A． B．
C． 与 只有一个公共点 D．点 到 上某点的距离等于半径
2．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，P是 的直径 的延长线上一点， ，则当
（ ）时，直线 是 的切线．
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中
点，过点 画 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为
（ ）A． B． C． D．
4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，点O在 上，以点O为圆心，
为半径的圆恰好与 相切于点D，连接 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
5．（21-22九年级上·四川德阳·期末）如图，在矩形ABCD中， ，E是边AB上一点，且 ．
已知 经过点E，与边CD所在直线相切于点G（ 为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且
，当边AD或BC所在的直线与 相切时，AB的长是（ ）
A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或
6．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 为 的直径 延长线上的一点， 与 相切，切点
为 ，点 是 上一点，连接 ．已知 ．下列结论：（1） 与 相切；（2）四边
形 是菱形；（3） ；（4）弧 弧 ．其中正确的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交
于点B，点 是圆外一点，直线 与 切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（ ）
A． ， ) B．( ， ) C．( ， ) D． ， )
8．（20-21九年级上·重庆巴南·期末）如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD
与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（ ）
A．4 B． C． D．3
9．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交AC于点E，交BC于点D，且
BD=CD，DF⊥AC于点F．给出以下结论：①DF是☉O的切线;②CF=EF；③ 其中正确结论的序号
是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线
的方向带球前进， ，垂足为C，若 米， 米，若仅从射门角度大小考虑（射门
角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（ ）
A．4米 B． 米 C． 米 D．5米
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形 的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于
点F，交AB边于点E，若 的周长为12，则正方形 的边长为 ．
12．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 、 、 是 上的点，过点
作为 切线交 延长线于点 ，若 ， ，则 半径是 ．13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 与 相切于点 ， 与弦 相交于点 ，
，若 ， ，则 的长为 ．
14．（2023·江苏泰州·三模）如图，在扇形 中，点 在 上，连接 ，将 沿 折叠得到
．若 ，且 与 所在的圆相切于点 ．则 ＝ °
15．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD
交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．若 ， ，则 ．16．（19-20九年级·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 、 ，
的半径为1（ 为坐标原点），点 在直线 上，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线
长 的最小值为 ．
17．（2023·浙江温州·三模）如图，在菱形 中， 是 上的点， ，连接
，与过 三点的 相切于 点，已知 ，则 °．
18．（2023·山东烟台·一模）如图， ， 是 的切线， 是 的直径，延长 ，与 的延长
线交于点 ，过点 作弦 ，连接 并延长与圆交于点 ，连接 ，若 ， ，则
的长度为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，延长 与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
20．（本小题满分8分）（2022·安徽·模拟预测）如图， 为 的直径，在 的延长线上取一点C，
与 相切于点D， 交 于点E，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)已知F为 的中点，连接 ．若 ，求 的长．
21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图， 为 的直径，射线 交 于
点 ， 平分 交 于点 ，过点 作直线 于点 ，交 的延长线于点 ．连接
并延长交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．22．（本小题满分10分）（22-23九年级上·河南濮阳·阶段练习）已知： 内接于 ，过点A作直
线 ．
(1)如图1， 为直径，要使 为 的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
(2) 如图2， 是非直径的弦， ，求证： 是 的切线．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 中， ，点
在边 上， 过点 且分别与边 、 相交于 、 两点， ，点 为垂足．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)当 是等边三角形，且直线 与 相切时，直接写出长度为线段 长度2倍的所有线段．24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·福建厦门·期末）四边形 是菱形，点O为对角线交点，
AD边的垂直平分线交线段 于点P（P不与O重合），连接 ，以点P为圆心， 长为半径的圆交
直线 于点E，直线 与直线CD交于点F，如图所示．
(1)当 时，求证：直线AB与 相切；
(2)当 ， 时，求 的度数；
(3)在菱形 的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究 与 的数量关
系．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B D C C B A B
1．D
【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据
切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进
行判断即可．
【详解】解： 是 的直径，且 是 的切线
又
直线 与 相切
故选项A、B可以判定，不符合题意；
C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；
D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】当 时，直线 是 的切线．连接OA．结合题意可知 ，从而得
出 ．再根据 ，即得出 ，从而即可求出
，即证明直线 是 的切线．
【详解】解：当 时，直线 是 的切线．
证明：如图，连接OA．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴直线 是 的切线．
故选：B．【点拨】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解
题关键．
3．B
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理的推论等知识．
根据切线的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据圆周角定理得到 ，进
而求出 ，根据垂径定理得到 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了由圆的切线定理，直角三角形两锐角互余以及含 直角三角形的性质，掌握这
些性质是解题的关键．
连接 ，由圆的切线定理可得出 ，由直角三角形两锐角互余可得出 ，由含 直角
三角形的性质可得出 ，进一步可得出 ，再利用含 直角三角形的性质可
得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，则 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：B．
5．D
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由 ，
依据勾股定理求出半径r，根据 计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求．
【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵ ，
∴
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又 ，即 ，
∴AB＝ ；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又 ，
∴AB＝6，
故选：C．
【点拨】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，
利用勾股定理求出对应圆的半径．
6．C
【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，
熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）利用切线的性质得出 ，进而得出 ，即可得出 ，
得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出： ，进而求出 ，即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出 ，进而得出 ；
（4）利用四边形 是菱形，即可得到 ，弧 弧 ．【详解】解：（1）连接 ， ，
与 相切，切点为 ，
，
在 和 中，
，
，
，
与 相切，故（1）正确；
（2）由（1）得： ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是菱形，故（2）正确；
（3）连接 ，
，
，
是 直径，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径， 不是直径，
，
，故（3）错误；
（4）由（2）证得四边形 是菱形，
，
弧 弧 ，
故（4）正确；故选：C
7．C
【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以
及勾股定理，作 轴于 E， 轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出
．根据平行线的性质可求出 ，由切线长定理可知 ．即易证
，得出 ， ．设 ，则 ．在 中，利用勾股定
理可求出x的值，即得出 、 的长，再根据等积法可求出 的长，再次利用勾股定理可求出
的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键．
【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接 ，∵ ， ，
∴ ， ， 轴，
∴AB为 的切线，
∵直线 与 切于点C，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ = ，
在 中， ，
∴C点坐标为( ， )．
故选：C．
8．B
【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM
＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．
【详解】解：连接OD，∵MD切⊙O于D，
∴∠ODM＝90°，
∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，
∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，
由勾股定理得：MD＝ ＝ ＝2 ，
∵BC⊥AB，
∴BC切⊙O于B，
∵DC切⊙O于D，
∴CD＝BC，
设CD＝CB＝x，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，
即（2 +x）2＝62+x2，
解得：x＝2 ，
即BC＝2 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是
解此题的关键．
9．A
【分析】由DB=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，OD∥AC，由DF⊥AC，得出DF⊥OD，即DF是☉O
的切线，继而证得△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，进而推出△DEC是等腰三
角形，进而根据等腰三角形的性质可得CF=EF，由假设推出 进而即可求解．
【详解】如图,连接OD，DE，AD，
∵DB=DC，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是☉O的切线，故①正确；
∵∠CED+∠AED=180°，∠B+∠AED=180°，
∴∠CED=∠B，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，故②正确；
当∠EAD=∠EDA时， ，此时△ABC为等边三角形，当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，
则
∴ 不一定正确，
综上，正确结论的序号是①②，
故选A．
【点拨】本题考查切线的判定及其性质，等腰三角形的判定及其性质，圆周角定理、线段垂直平分线的
性质，圆内接四边形的性质等知识，综合性较强，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学知识．10．B
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理的应用，关键是明白以 为弦的圆 与 相切于 时，
最大．
以 为弦作圆 ，当圆与 相切于 时， 最大，甲最佳射门位置是点 ，连接 ，过 作
于 ，连接 ，由切线的性质定理得到 ，由垂径定理求出 米，判定
四边形 是矩形，得到 ， ，由勾股定理求出 米，得到
米，因此甲位于最佳射门位置时离点 的距离是 米．
【详解】解：以 为弦作圆 ，当圆与 相切于 时， 最大，甲最佳射门位置是点 ，
连接 ，过 作 于 ，连接 ，
， （米 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
米， 米，
（米 ，
米，
（米 ，
米，
甲位于最佳射门位置时离点 的距离是 米．
故选：B．
11．4【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均
为圆O的切线是解题关键．
根据切线长定理可得 ，然后根据 的周长可求出正方形的边长．
【详解】解：在正方形 中， ， ，
∵ 与半圆 相切于点 ，以正方形 的AB边为直径作半圆O，
∴ 与半圆 相切，
，
∵ 的周长为12，
，
，
∵ ，
正方形 的边长为4．
故答案为：4．
12．
【分析】本题考查切线的性质，连接 ，设 的半径为 ，证明 和 都是等边三角形，得
，继而得到 ，根据切线的性质得 ，
，根据 角所对的直角边等于斜边的一半得 ，即可得解．解题的
关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
【详解】解：连接 ，设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径是是 ．
故答案为： ．
13．4
【分析】本题考查了切线的性质，连接 ，如图，先根据切线的性质得到 ，再证明
得到 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理得到 ，然
后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图，
与 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，，
解得 ，
即 的长为4．
故答案为：4．
14．60
【分析】由切线的性质得 ，则 ，由折叠得 ，所以
，则 ，于是得到问题的答
案．
【详解】解：∵ 与 所在的圆相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠得到 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60．
【点拨】此题重点考查切线的性质定理、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明 是解
题的关键．15．
【分析】过点O作OP⊥CD于P，由切线性质与角平分线的性质证得OA=OP，进而可得CD与⊙O相切，
根据切线长定理可得DP=AD=m，CP=BC=n，过D作DQ⊥BC于Q，可得到AB=DQ，CQ=n﹣m，然后
由勾股定理求解即可．
【详解】解：过点O作OP⊥CD于P，
∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
∵DO平分∠ADC，
∴OA=OP，又OA为⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切，切点为P，
∴DP=AD=m，CP=BC=n，
∴DC=DP+PC=m+n，
过D作DQ⊥BC于Q，则四边形ABQD是矩形，
∴AB=DQ，BQ=AD=m，
∴CQ=n﹣m
在Rt△DQC中，由勾股定理得：
，
∴AB= ，
∴OA= AB= ，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
，
故答案为： ．【点拨】本题考查圆的切线的判定与性质、角平分线的性质定理、切线长定理、矩形的判定与性质、勾
股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
16．
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】如解图，连接 、 ．
∵ 是 的切线，∴ ．
根据勾股定理得 ．
∵ ，∴当 取得最小值时， 可取得最小值．
∴当 时，线段 最短．
∵ 、 ，∴ ．利用勾股定理得 ．
∵ ，∴ 为等腰直角三角形．
又∵ ，∴ 为 的中点， ．
∵ ，∴此时 ，
即切线长 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来
进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
17．15
【分析】如图，连接 ， ，证明 为直径，即 ， ， 三点共线，四边形 为平行四边形，
； ，结合 为 的切线，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ， ，∵ ，
∴ 为直径，即 ， ， 三点共线，
∵菱形 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴四边形 为平行四边形， ；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】本题考查的是菱形的性质，平行四边形的判定与性质，圆的基本性质，切线的性质，熟练的掌
握图形的基本性质是解本题的关键．
18．
【分析】设 交 于点 ，连接 ，由切线的性质得 ，设 的半径为 ，则 ，
，由勾股定理求得 ，再根据圆周角定理得 ，由平行线的性质推出 ，
利用垂径定理可得 ，由三角形的面积求得 ，再求出 ，利用勾股定理求得 即可．
【详解】解：如图，设 交 于点 ，连接 ，是 的切线，
，
，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中，
由勾股定理得， 即 ，
解得： ，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，
由勾股定理得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解
题的关键．
19．(1)见解析(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ．由切线的
性质得出 ，则 ，可得出结论；
（2）由勾股定理求出 的长，设 ，则 ，得出方程 ，解方程可得
x，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定
理等知识，证明 是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题属于几何综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定，
解决本题的关键是综合运用以上知识．
（1）连接 ，证明 ，得 即可证明结论；
（2）连接 ，过点B作 于点H．求出 ， ， ．由F为
的中点，得 ， ， ，进而得 ．
【详解】（1）解：连接 ．
与 相切于点D， ．
为 的直径，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
（2）解：连接 ，过点B作 于点H．
由（1）知 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵F为 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，30°角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，
证明 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理即可得证；
（2）根据题意求出 ，根据含 角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵直线 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ．
22．(1)① (或 )(答案不唯一)
② ；(答案不唯一)
(2)见解析
【分析】（1）①根据切线的判断由 或 可判断 为 的切线；②当
，根据圆周角定理得 ，所以 ，即 ，于是
也可判断 为 的切线；
（2）作直径 ，连接 ，由 为直径得 ，则 ，根据圆周角定理得
，而 ，所以 ，根据切线的判定定理得到 为 的切线；
【详解】（1）解：①当 (或 )可判断 为 的切线；
②当 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线；
故答案为∶ ① (或 )(答案不唯一)、② ；(答案不唯一)
（2）证明：如图，作直径 ，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线；【点拨】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了
圆周角定理．
23．(1)见解析
(2)长度为线段 长度2倍的所有线段有： ， ， ， ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解
答即可；
（2）连接 ，利用圆周角定理和含 角的直角三角形的性质，得到 ；再利用圆的切线的性
质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
，
．
，
，
，
．
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，为 的直径，
，
是等边三角形，
，
，
．
，
，
．
直线 与 相切，
，
，
，
为等边三角形，
．
在 和 中，
，
，
．
同理： ，
．
．
由题意： ，
，，
长度为线段 长度2倍的所有线段有： ， ， ， ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，圆
周角定理，全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问
题常添加的辅助线．
24．(1)见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）连接 ，根据菱形的性质得 ， ， ，有
，根据垂直平分线的性质得 ，利用三角形内角和定理得 ．根
据菱形的性质得点A在 上即可．
（2）由同弧所对圆周角相等得 ．结合菱形的性质得 ，可证得 ．
由勾股定理逆定理得 为直角三角形，且 ，利用 即可求得 ．
（3）设 ，分两类讨论：①当点E在 延长线上时，可得： ，以及
，进一步求得 和 ；②当点E在 边上时，由四点共
圆和同角的补角相等得 结合菱形的性质有 ．则有
，进一步求得 和 即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．∵P是AD垂直平分线上的点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵BD垂直平分 ，P在BD上，
∴ ，即点A在 上．
∴直线AB与 相切．
（2）由（1）得 ，则点D在 上．
∵ 与 同对 ，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴在 中， ．
∵由（1）得 ，即 ．
∴ ．
∴ 为直角三角形，且 ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．（3）设 ，
由（1）知：当 时，直线AB与 相切，同理：当 时，直线 与 相切，此时，点C
是切点，点E、F、C重合．
所以若点C与E不重合，可分两类讨论：
①当点E在 延长线上时，
由（2）知： ．
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
则 ．
即 ．
②当点E在 边上时，
∵点A，E，C，D在 上，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
即 ．
综上， 或 ．
【点拨】本题主要考查圆与几何图形的结合，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对圆周角相
等、勾股定理逆定理和四点共圆，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识．
