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第 06 讲 双曲线 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．设点 ， ， 为动点，已知直线 与直线 的斜率之积为定值 ，点 的轨迹是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：设动点 ，则 ，
则 ， ， ，
直线 与直线 的斜率之积为定值 ，
，化简可得， ，
故点 的轨迹方程为 .
故选：C.
2．已知双曲线 的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
由题意得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，不妨取 ，即 ，
又因为右焦点 ，
所以点F到一条渐近线 的距离 .
故选：C
3．已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）A．2 B． C．2或 D． 或
【答案】C
由题设，渐近线与x轴夹角 可能为30°或60°，
当 ，则 ，故 ；
当 ，则 ，故 ；
所以双曲线的离心率为2或 .
故选：C
4．若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设双曲线 、椭圆 的焦距分别为 、 ，离心率分别为 、 ，
则 ，可得 ，
所以，椭圆 的焦点在 轴上，则 .
故选：C.
5．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长
交双曲线右支于点 ， 为坐标原点，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
是 中点，设 是双曲线的右焦点，如图，
则 ， ．所以 ，
由双曲线定义知 ，所以 ，从而 ，
因为 是圆切线，所以 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
6．设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作 轴的垂线与 交于 两点，若 为正
三角形，则（ ）
A． B． 的焦距为
C． 的离心率为 D． 的面积为
【答案】A
由题可得 ，
所以
所以双曲线定义可得 ，解得 ，
则 ，解得 ，故A对B错；
所以 ，C错误； ，D错误.
故选：A
7．设点 是双曲线 的左､右两焦点，点 是 的右支上的任意一点，若 ，
则 的值可能是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
设 则 ，由题可知 ，
∴ ，又 ，
∴ ，可得 ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，又 .
故选：B.
8．已知 是双曲线 （ ）的右焦点，点 在双曲线 上，直线 与 轴交于点
，点 为双曲线左支上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
∵ 点 在双曲线 上，
∴ ，又
∴ ，
∴ 双曲线 的方程为 ，
∵ 是双曲线 （ ）的右焦点，
∴ 点 的坐标为 ，
∴ 直线 的方程为 ，
∴ 点 的坐标为 ，
∴ 点 为线段 的中点，
∴ ,
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ 为双曲线左支上的动点，由双曲线的性质可得 ，
∴ ，
∴ 的最小值为-40，
故选：B.二、多选题
9．双曲 ： 与 ： （ 且 ）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同
C．离心率相同 D．渐近线相同
【答案】CD
由 ： ，又因为 且 ，所以 ，顶点不同，A错，对 ： ，
，渐近线为 ，
对 ： ， ，渐近线为 ，
由此判断B错，CD正确.
故选：CD
10．已知双曲线C： (a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，
PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F，F．若kPA kPB= ，且C的焦点到渐近线的距
1 2
离为1，则下列说法正确的是（ ）
A．a=2
B．C的离心率为
C．若PF⊥PF，则 PFF 的面积为1
1 2 1 2
D．若 PFF 的面积为 ，则 PFF 为钝角三角形
1 2 1 2
【答案】ACD
设点A(x，y)，B(-x，-y)，P(x，y)，
1 1 1 1 0 0
则 ，且 ，两式相减得 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
故双曲线C的渐近线方程 ，因为焦点(c，0)到渐近线 的距离为1，
所以 ， ，所以 ， ，离心率为 ，故A正确，B错误．
对于C，不妨设P在右支上， 记 则
因为 ， 所以 ，解得 或 (舍去）， 所以 的面积为
，故C正确；
对于D，设P(x，y)，因为 ，所以 ，
0 0
将 带入C： ，得 ，即 ,
由于对称性，不妨取P得坐标为( ，2)，则 ，
，因为
所以∠PFF 为钝角，所以 PFF 为钝角三角形，故D正确.
2 1 1 2
故选：ACD.
三、填空题
11．已知 、 是等轴双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 等于
___________.
【答案】
解：∵双曲线 的方程为： ，∴ ，得 ，
由此可得 、 ，焦距 ，
∵ ，∴ ，
即 ，①
又∵点 在双曲线 上，∴ ，
平方得 ，②
① ②，得 ，
故答案为： .12．已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点，过 的直线l与双曲线C的左右两支
分别交于A，B两点，若 ，则双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
如图，
因为 ，所以AB⊥ ，
设 ，则 ，
由双曲线定义可知： ，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
解得： ，所以 ，
由勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
又因为 ，所以 ，
故渐近线方程为
故答案为：
四、解答题
13．如图，若 是双曲线 的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且 ，试求 的面积.
【答案】（1）10或22；（2） .
解：（1） 是双曲线 的两个焦点，则 ，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点 到另一个焦点的距离为 ，
则由双曲线定义可知， ，解得 或 ，
即点 到另一个焦点的距离为 或 ；
（2）P是双曲线左支上的点，则 ，
则 ，而 ，
所以 ，
即 ，
所以 为直角三角形， ，
所以 .
14．解答下列两个小题：
（1）双曲线 ： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（2）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
【答案】（1） ；（2） .
（1）由 ，得 ，即 ，
又 ，即 ，
双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．所以，双曲线 的方程为 ．
（2）椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以，双曲线 的方程为 ．
B 能力提升
1．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲
线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为 ， 为其左、右焦点，
若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足 ， ，则该双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
易知 共线， 共线，如图，
设 ， ，则 ，
由 得， ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
由 得 ，
因为 ，故解得 ，
则 ，
在 中， ，即 ，所以 ．
故选：C．
2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且
,曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，
若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
解：如图所示，设双曲线的标准方程为： ，半焦距为 .∵椭圆 的上顶点为 ，且 .
∴ ，
∴ ，∴ .
∴ .
不妨设点 在第一象限，设 ， .
∴ ， .
∴ .
在 中，由余弦定理可得：
∴ .
两边同除以 ，得 ，解得： .
∴ , .
故选：B
3．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，实轴长为 ，点 在 的左支上，过点
作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，则当 取最小值 时，该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为双曲线 的实轴长为 ，所以 ，
由双曲线的定义可得： ，则 ，
所以 ，当且仅当 三点共线时取等号，
如图， 与渐近线 垂直时， 取得最小值 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
故选：D.
4．已知 为双曲线 的左､右焦点，点 在双曲线的右支上，点 是平面内一
定点.若对任意实数 ，直线 与双曲线 的渐近线平行，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵双曲线C： ，∴双曲线的渐近线方程为 ，
∵对任意实数m，直线 与双曲线C的渐近线平行，
∴直线 与双曲线的渐近线方程为 平行，
∴ ，∴ ，∴ 为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
故选：A.C 综合素养
1．已知双曲线 的离心率等于 ，且点 在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为 ，右焦点为 ，P为双曲线右支上任意一点，求 的最小值.
【答案】(1) (2)-4
(1)依题 又 ，
所以 ， ，故双曲线的方程为 .
(2)由已知得 ， ，设 ，
于是 ， ，
因此 ，
由于 ，所以当 时， 取得最小值，为 .
2．已知双曲线 的中心为原点 ，焦点在 轴上，直线 是 的一条渐近线， 且虚轴长为
(1)求 的标准方程
(2)记 的左右焦点为 ，点 在双曲线右支上，若 的周长为 ，求 的大小
【答案】(1) (2)
(1)解：因为双曲线 的虚轴长为 ，
所以 ，
又因为双曲线 的一条渐近线为 ，
令双曲线方程为 ，
即 ，
∴ ，
∴双曲线 的标准方程为 ；(2)不妨记
∴ ，
由余弦定理， ，
所以 .
3．已知双曲线 ， 是它的两个焦点．
(1)求与C有共同渐近线且过点(2， )的双曲线方程；
(2)设P是双曲线C上一点， ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
(1)双曲线与 有共同双曲线，可设为 ，
由所求双曲线 过点 ，则
故双曲线方程为 ，即 ；
(2)由题意可得 ，所以
P是双曲线C上一点，则 ，则
所以
由余弦定理可得 ，
即 ，所以
∴ ．
