文档内容
第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解圆雉曲线的实际背景，感 从近五年的全国卷的考查情况
受圆雉曲线在刻画现实世界和解决实 来看，本节是高考的热点，特
际问题中的作用． 2023年I卷第22题，12分 别是解答题中，更是经常出
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆 2023年II卷第21题，12分 现．直线与圆雉曲线综合问题
的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 2023年甲卷（理）第20题，12 是高考的热点，涉及直线与圆
及简单几何性质． 分 雉曲线关系中的求弦长、面积
（3）了解抛物线与双曲线的定义、 2022年I卷第21题，12分 及弦中点、定点、定值、参数
几何图形和标准方程，以及它们的简 2022年II卷第21题，12分 取值范围和最值等问题．多属
单几何性质． 于解答中的综合问题．近两年
（4）通过圆雉曲线与方程的学习， 难度上有上升的趋势，但更趋
于灵活．
进一步体会数形结合的思想．知识点一、直线和曲线联立
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为 ，如此消去 ，
保留 ，构造的方程如下： ，
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 ，
满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在 轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特殊地，当直线 过焦点的时候，即 ， ，因为 为
通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，联立可得 ， 时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向
上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共
线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定
理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
，为了方便叙述，将上式简记为 ．该式可以看成一
个关于 的一元二次方程，判别式为 可简单记 ．
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
同理 和 联立 ，为了方便叙述，将
上式简记为 ， ，可简记 ．
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：（1）由韦达定理写出 ， ，注意隐含条件 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；
焦点在y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用 判断根的关系，因为此情况
下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两
条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若
（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜
角．注意：（1）上述表达式中，当为 ， 时，
；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 ，判别式为 ，
时， ，利用求根公式推导也很方便，使用
此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦 的中点，研究 的斜率和方程
（1） 是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为 ，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故
（2）运用类似的方法可以推出；若 是双曲线 的弦，中点 ，则
；若曲线是抛物线 ，则 ．
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 的两焦点为 ， ，点 满足
，则直线 与椭圆C的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的位置有关【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以直线 与椭圆C的公共点个数为0.
故选：A.
例2．（2023·全国·高三对口高考）若直线 被圆 所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有
公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆 的圆心为 ，半径为 .
设直线方程为 ，直线 到圆心 的距离为 ，
由弦长公式得 ，所以 .
由点到直线的距离公式得， ，即 .
对于选项A，直线 到该圆圆心的距离为 ，
取 ，满足条件，而 ，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立椭圆方程得 ，所以必有公共点；
当 时，联立直线 与椭圆方程得 ，
，
所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线 与抛物线方程得 ，若 时，则 ，有解 ；
若 时， ，取 ，则 ，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立双曲线方程得 ，
取 ，则直线 ： ，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
例3．（2023·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线 只有一个公共点
的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线 的渐近线方程为 ，点 是双曲线的顶点.
①若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时，直线 与双曲线 只有一个公共点，合乎题意；
②若直线 的斜率存在，则当直线平行于渐近线 时，直线 与双曲线只有一个公共点.
若直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，此时直线 为双曲线 的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点 与双曲线只有一个公共点的直线 共有 条.
故选：A.
变式1．（1999·全国·高考真题）给出下列曲线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中与直线 有交点的所有曲线方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【解析】 直线 和 的斜率都是
两直线平行，不可能有交点；
把直线 与 联立消去 得 ， ， 直线与②中的曲线有交点；
把直线 与 联立消去 得 ， ，直线与③中的曲
线有交点；
把直线 与 联立消去 得 ， ，直线与④中的曲
线有交点．
故选：D．
变式2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，命题
q：直线 与抛物线 相切，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】∵抛物线 的对称轴为 轴，
∴一条直线与抛物线 有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与 轴垂直，
∵直线 存在斜率，与 轴不垂直，
∴“直线 与抛物线 有且仅有一个公共点”等价于“直线 与抛物线 相切”，
则命题p是命题q的充要条件.
故选：C.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直
线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，直线 ，代入抛物线方程可 ，故直线 与抛物线有两个交点．
不满足要求，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消 得， ，
当 时，解得 ，直线 与抛物线有且只有一个交点，符合题意；
当 时，由 ，可得 ，
即当 时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．
故选：B.
【解题方法总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过
判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴
平行，或直线与圆锥曲线相切．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例4．（2023·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆 内一点 引一条恰好被 点平分的弦，则这
条弦所在直线的方程是
【答案】
【解析】椭圆 即 ，
设弦的两端点分别为 , ， , ，则 ，
则 ， ，
两式作差可得： ，
．
直线过点 ，
这条弦所在直线的方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
例5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与圆O相切于第一
象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若 ，则直线l的方程为
．
【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ,由于 ,所以 ,进而 ,
设 ，设直线上任意一点 ，
由于 是圆的切线，所以 ,所以 ，
令 则 ，所以 ，由中点坐标公式可得 ，设 ,则 ，两式相减可得
，
所以 ,又 ， ,
所以 ，解得 ，进而
故直线l的方程为 ，即 ，
故答案为：
例6．（2023·陕西榆林·高二统考期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点坐标为
，则直线 的斜率为 .
【答案】 /2.25
【解析】设 ，
则
两式相减得 ，
由线段 的中点坐标为 ，
即 ，
.故答案为：
变式4．（2023·全国·高二专题练习）双曲线 的一条弦的中点为 ，则此弦所在的直线
方程为 .
【答案】
【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为 ， ，
则有 ，两式相减得 ，
所以 ，
又因为弦的中点为 ，所以 ，
故直线斜率 ，
则所求直线方程为 ，整理得 ，
由 得 ，
，故该直线满足题意，
故答案为：
变式5．（2023·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，且 的中点为
，则 的斜率为 .
【答案】
【解析】已知 的中点为 ，设 ， 两点坐标分别为 ， ，
则 ，可得 ，
即 ，
即
又 ，所以 .
故答案为： .
变式6．（2023·高二课时练习）已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于
两点，若线段 的中点为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】因为抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，
所以易得抛物线的方程为 ，
设 ，
因为线段 的中点为 ，
故 ，
则 ，由 ，
两式相减得 ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ．
故答案为： .
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
变式7．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线 的斜率为1，则
弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，线段AB的中点为 ，连接 （ 为坐标原点）．由题意知 ，则 ，
∴点 的轨迹方程为x+4 y=0．
又点 在椭圆内，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .
变式8．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆 内有一点 ，弦
过点 ，则弦 中点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ，中点 ，
则 ，相减得 ，
斜率存在时，
∴ ，
又 是 中点，且直线 过点 ，
所以 ，化简得 ，
斜率不存在时，方程为 ，中点为 适合上述方程．
∴点 的轨迹方程是 ．
故答案为： ．
变式9．（2023·全国·高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中点的轨迹方程是
．
【答案】 ( 或 ).【解析】设直线为 ，与双曲线交点为 ，
联立双曲线可得： ，则 ，即 或 ，
所以 ，故 ，则弦中点为 ，
所以弦的中点的轨迹方程为 ( 或 ).
故答案为： ( 或 )
变式10．（2023·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线 的相交
弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ， 中点 ，
则 .
，
过定点 ，
.
又 ，（1） ，（2）
得： ，
. 于是 ，即 .
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦 的中点轨迹方程是
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点A、B，O
是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【解析】直线 过点 ，设其斜率为k，则 的方程为
记 、，化简得， ，
所以 ， ，
于是
设点P的坐标为 则 ，消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点 ，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为
方向3：对称问题
变式12．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆 的焦距为 ，左右焦点分别为 、
，圆 与圆 相交，且交点在椭圆E上，直线 与椭圆E交于
A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）因为圆 与圆 相交，且交点在椭圆 上，所以 ，
，
设 ， ， 的中点 ，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程： ；（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为 ，
， ，PQ中点 ，
，
，
， ，即 ，
由N在l上， ，此时 ，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为 ．
变式13．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆 的离心率为e，且过点 和
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．
【解析】（1）由题意知： ，∴
，∴ ，所以椭圆 ；
（2）法一 设 及AB中点 ，由题意知
， ，以上两式相减得： ，
可化为： 即 ，故 ，
又∵M在直线 上，所以 ，解得： ，
即 ，直线 ，化简为：
联立 整理得： ，由韦达定理知由弦长公式得： ．
法二 设直线 ，
联立 ， 整理得：
，则中点 ，满足直线方程 ，解得
所以AB：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，
直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则
∵ 在椭圆上，则
两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接
ON
∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
变式15．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是 ，
其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
【解析】（1） ，即 ，
当 时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线；
（2）设 ， ， ，
则 ， ，
两式相减得到： ，即 ，故 ，
故 的中点为 ，代入直线得到 ，
解得 或 （舍），故 .
（3）假设存在，直线方程为 ，双曲线方程为 ，
设 ， ， 中点为 ，则 ， ，
两式相减得到 ，
即 ， ，又 ，
解得 ， .
此时直线 方程为： ，即 ，
，化简得到 ，方程无解，故不存在.
变式16．（2023·江苏·高二假期作业）双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说
明理由．
【解析】（1）椭圆 ： ，
所以双曲线 .
所以双曲线的方程为 .
（2）画出图象如下图所示，设 ，
，两式相减并化简得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
变式17．（2023·高二课时练习）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且线段AB恰好被点 平
分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为 ，即
，
由 消去x得： ，
，设 ，则有 ，
由 ，得 ，于是直线l的方程 ，即 ，
所以直线l的方程为 .
（2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，有 ，解得 ，
设 ，则 ，于是线段 的中点坐标为 ，显然点 在直线 上，即 ，解得 ，
所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C
交于A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
时，直线 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ．
，
点 到直线 的距离距离 ，
的面积 ．
（2）∵点 ， 关于直线 对称，∴直线 的斜率为 ，
∴可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
由 ，可得 ，
设 ， ， ， ，则 ，
故 的中点为 ，
∵点 ， 关于直线 对称，∴ 的中点 ，在直线 上，
∴ ，得 ，∵ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
方向4：斜率之积问题
变式19．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
故选：D.
变式20．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线 过椭圆C； 的一个焦点，
与C交于A，B两点，与 平行的直线 与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ
的斜率为 ，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 ，两式作差得
所以
若O为坐标原点，则 ，同理 ，所以O，P，Q三点共线，
即 ，所以 ，又 过点 ，即椭圆的焦点，所以
解得 ，所以C的方程为
故选：C变式21．（2023·江西赣州·高二统考期末）椭圆 ，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为
椭圆上任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
则 ，
两式相减并化简得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：A
变式22．（2023·山西晋中·高二校考阶段练习）过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，
设线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 （ 为原点）的斜率为 ，则 等于
（ ）.
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
由于 在椭圆 上，
所以 ，
两式相减并化简得 ，
即 .
故选：D
变式23．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线 内一点 且斜率为
的直线交双曲线于 两点，弦 恰好被 平分，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，且 ，
又因为 ，
所以 ，
即有 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
变式24．（2023·福建泉州·高二校考期中）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0
的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】不妨设过双曲线 的焦点且斜率不为0的直线为 ，令
由 ，整理得
则 ，
则 ，由 ，可得则有 ，即 ，则双曲线 的离心率
故选：D
变式25．（2023·江西·校联考模拟预测）已知双曲线C： 的左，右焦点分别是 ，
，其中 ，过右焦点 的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若 ，则三角形 的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率
【答案】D
【解析】A.AB的最小值为通径为 ，故A正确；
B.由双曲线的定义得 ，得 ，所以三角形 的周长
，故B正确；
C.设 ， ，则 ，两式相减得 ，则
，则 ，则 ，故C正确；
D若直线AB的斜率为 ，所以 ∴ ∴ ∴ ，所以选D不正确.
故选：D
【解题方法总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类
问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称
问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．
除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．
在双曲线 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．（其中 为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线 中，中点弦的斜率为 ，满足 （ 为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例7．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相切，且交椭圆
于 两点，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】设直线 ，
直线 与圆 相切，
，
将直线 方程与椭圆方程联立，得 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
由对称性，不妨取 ，
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆 中， ， ，则 ，故点 ，设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， .
故答案为： .
例9．（2023·广西南宁·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
直线 与椭圆 相交于 两点，则 ．
【答案】
【解析】已知椭圆 ， ，则 ，
所以椭圆的左焦点为 ,
因为直线 倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 的方程为 .
联立 ，消去 ，整理得 ，
解得 ． ．
故答案为： .
变式26．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知直线 与椭圆 在第二象限交于 两点，且 与
轴、 轴分别交于 两点，若 ， ，则 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，线段 的中点为 ，
由 ，两式相减可得 ，即 ，又由 ，则 ，
设直线 的方程为 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，可得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为： .
变式27．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳
底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆 ，C的上顶点为
A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵椭圆的离心率为 ，
∴ ，∴ ，
∴椭圆的方程为 ，
不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ 为正三角形，
∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，
∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ，
直线 的方程： ，
代入椭圆方程 ，整理得： ，
，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，
∴
则 ，
当且仅当
故答案为： .
变式28．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象限），延长 交椭圆于点B，若 ，
则直线AC的方程为 .
【答案】
【解析】连接 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
.
设直线 的斜率为k，
，直线 的方程为 .
联立方程，得 ，整理得 ，
点A在第一象限，
，同理可得 .
，得 ，
，则 ，直线AC的方程为 .
变式29．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，即 ，
所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，
可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： .
变式30．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
， 分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，设 ， ，
由双曲线定义可得 ，所以 ，
即 ， ，即 .
故答案为： .
变式31．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲
线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】双曲线 的右焦点为 ，所以直线l的方程为 ．由 ，得
．设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：变式32．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛
物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛
物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令 ，可得 ，故A点坐标为 ，
因为 经过抛物线焦点 ，所以 方程为 ，
整理得 ，联立 ，得 ， ，所以
，
又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
变式33．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴的交点为 ，过焦点
的直线 分别与抛物线交于 两点（ 点在第一象限）， ，直线 的倾斜角为锐角
，且满足 ，则 .
【答案】12
【解析】如图，过点 作 轴于点 ，由抛物线的定义可知点 到准线 的距离
，故 ，
同理 ，则 ，故 ，
，则 ，
可得 ，则 ，所以 .
故答案为：12.变式34．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交
于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义知： ，而AB的中点横坐标为4，即 ，
所以 ，即 .
故答案为：
【解题方法总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式： ．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例10．（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，且焦距为
.点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为： ，过点 作
垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
【解析】（1）由题意知： ， ，设 ，
则 ， ，
又 ， ， ，椭圆 的标准方程为： .
（2）
设直线 ， ，则 ，
由 得： ，
显然 ， ， ，
，又 ，
直线 方程为： ，
令 ，则 ，
直线 过定点 ；
而 ，
则 ，
令 ，有 在 上单调递增，
则 ，即 时 ， 取最小值4，
于是当 时， ，
所以 面积的最大值是 .例11．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点 到焦点F
的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
（2）抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴不重合，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 .
，由 ，而 ，
故解得 .同理可求得 .
，
同理 ，
所以，
故当 时， 取得最小值为 .
例12．（2023·河南·高三校联考开学考试）椭圆 的左右顶点分别为 是栯
圆上一点， ．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线 交椭圆于 两点，求 面积取最大时的 的值．
【解析】（1）在椭圆 中， ，而 在椭圆上，且 ，
因此 ，解得 ，显然 ，则 ，
所以椭圆方程为 .
（2）直线 与椭圆 交于 两点，则 ，
把 代入方程 得： ，由椭圆的对称性知 ，
点 到直线 的距离 ，
当 时，得 的面积 ，令 ，
求导得 ，
由 ，得 ，
当 或 时， ，当 或 时， ，
因此函数 在 上递增，在 上递减，
而 ，
，显然 ，
于是当 时，函数 取得最大值 ，此时 面积取得最大值，
所以当 面积取最大时， .
变式35．（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的
斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
【解析】（1）设点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
化简得：
所以 的方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；设 ， ，直线 方程为 ，
与 联立得： ，
由 且 ，解得 且 ，
由韦达定理得 ，
因为线段 中点 在第一象限，且纵坐标为 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以直线 为 ，
所以 ，
所以 ，
点到直线 的距离 ，
所以 .
变式36．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C： 上，
点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
【解析】（1）设 ，依题意 ， ，
可得 ，整理可得 ，
又椭圆C过点 ，所以 ，故椭圆C的方程为 ；
（2）依题意，可知AM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
又BM： ，代入椭圆方程 ，
整理得 ，从而得到 ，
所以 ，
，
则
,
由于 ，所以 ，解得 .变式37．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线 交 于 ，
两点，直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，
代入椭圆方程中， ，解得 或6（舍去），
故 ，
当直线 的斜率不存在时， 关于 轴对称，此时有对称性可知，直线 ， 的斜率之和不为0，舍
去；
设 ，联立椭圆方程 得， ，
则 ，则 ，
设 ，则 ，
，故 ，
即 ，故 ，
即 ，
当 时， ，此时直线 ，
显然直线 恒过 ，矛盾，
当 时，经检验，满足题意，
故直线 的斜率为1；
（2）设 ，联立椭圆方程 得， ，
，解得 ，
，
点 到直线 的距离为 ，
故
，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .
变式38．（2023·广东佛山·高三统考开学考试）设动点M与定点 的距离和M到定直线l：
的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，
化简得 ， ，
当 时， ，轨迹为一条直线；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上：当 时，轨迹方程为 ，轨迹为一条直线，
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）当 时， ，
当直线 斜率不存在时，又与 相切，故此时直线 ，此时 三点共线，不合要求，舍去，
设直线 ，联立 得 ，
由 得 ，显然 ，
联立 得， ，
由 ，结合 ，解得 ，
设 ，
则 ，
设直线 与 轴交于点 ，则 ，
则
，
将 代入得 ，因为 ，令 ，则 ，
，
设 ，则设 ，则
， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 最大值为 .
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
方向2：四边形问题
变式39．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：
（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均存在时，
，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于 ， 两
点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ，因为 ，，代入椭圆 得： ，
点 的轨迹方程 为： .
（2）
设 ，由（1）则 ，
①当直线 不与坐标轴重合时，由 ，知 为 中点，
，
直线 ： ，
代入椭圆 ： 的方程得：
即： ，设 ， ，
由根与系数关系，
，
设 表示点 到直线 的距离， 表示点 到直线 的距离，
；
它法：利用比例关系转化： ，酌情给分.
②当直线 与坐标轴重合时，不妨取 ， ， ，
或 ， ， ，
综上所述：四边形 的面积是 .
变式40．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知 是椭圆 的左右焦点，以
为直径的圆和椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为1，其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点 在第二象限，直线
分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题意知 ，则 ，
又 ，
则 ，
又 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为
联立方程组 ，可得 ，
则 ，
直线 的方程： ，所以 ，同理 ，
，，
，
当且仅当 时，四边形 的面积最大，最大值为4．
变式41．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图．已知圆 ，圆
．动圆 与这两个圆均内切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)若 、 是曲线 上的两点， 是曲线C上位于直线 两侧的动点．若直线 的斜率为
，求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）如图，设动圆 与两个已知圆的切点分别为 ，
由 ， ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
所以 ，
所以点 的轨迹方程为： ；（2）设 ， ，直线 的方程为 ，代入 中，
整理得 ， ，
解得 ， ， ，
四边形 的面积 ，
当 时， ，所以四边形 面积的最大值为 ；
变式42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线
的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，点 恰好在
上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）由题知 过点 ，则 ，解得 ，
.
（2）设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
，
则 ，而 ，则 ，
故以 为切点的切线为 ，即 ，
同理以 为切点的切线为 ，则 ，
由 ，故两式作差得： ，所以 ，
两式求和得： ，
所以点 由 在椭圆上 ，即 .
点 到直线 的距离 ，
所以 ， ，
，
而 、 在 上递增且恒正，
则 在 上递增， .
变式43．（2023·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个定点 ，使得
（定值），其中 分别是直线 的斜率， 分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）由题意得，
解得 ，
则椭圆 的标准方程为 .
（2）①设 ，
把 与椭圆 的标准方程联立，
消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
同理，把 与椭圆 的标准方程联立，
消去 ，可得 ，
注意到 为方程 的两根，
故有恒等式 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
若 为定值，则必有 ，计算可得 或 ，
故 ．
②不妨设点 ，点 ，点 ，点 到直线 的距离分别是 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
四边形 面积
（当 时取等号），
所以四边形 面积的最大值是 ．
变式44．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知椭圆 ，椭圆
．点 为椭圆 上的动点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)以点 为切点作椭圆 的切线 ， 与椭圆 交于 ， 两点，问：四边形 的面积是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．
【解析】（1）设 ， ， ，因为 ，所以 ，
因为点 为椭圆 上的动点，所以 ，从而
即 ，故椭圆 的标准方程 ；
（2）法一：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 的方程为
，即 ，
，即 ，代入得直线
的方程为
联立 ，消去 得
注意到 化简得
又 ，
所以点 到直线 的距离为
所以点 到直线 的距离为
故
当直线 的斜率不存在时，即 ，若 ，则： ，
则 ， ， ， ，
所以
同理可得，若 ，
综上，四边形 的面积为定值 ．法二：设 ， ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，
注意到 化简得 ，
原点 到直线 的高为 ，
又因为 ，点 是 的中点，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
由对称性可知， ，所以点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离的三倍，故
．
当斜率不存在时，同法一．
变式45．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、
右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且 的周长最大值为8．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），D为射线 上
一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边形 的面积．
【解析】（1）设 与 轴的交点为 ，
由题意可知 ，
则 ，
当 过右焦点 时， 的周长取最大值 ，所以 ，
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程
（2）设 ，因P，Q均在椭圆上，则 .
又 ，则 .
由 可得 ，
则四边形 面积为 .
当直线PQ斜率为0时，易知 ，又 ，则 .
根据对称性不妨取 ， ，由 得 ，则 ，得此时 ；
当直线斜率不为0时，设 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立有：
，消去x得： .
，
由韦达定理，有 .
所以
， ，
代入 可得 ，解得 ，
，
又原点到直线PQ距离为 ，则此时 .
综上可得， ，四边形 面积为 .
变式46．（2023·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为过
点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨迹
为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形 面积的取值范围．
【解析】（1）分别过 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
由抛物线的定义，可得 ，则 ．
因为 ，所以焦点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
其中 ，
所以抛物线的焦点 的轨迹方程为
（2）设点 ，过点 的直线的斜率为 ，则方程为 ，
联立方程组 ，消 得 ，
，
整理得 ，
，即 ，所以点 在方程为 的圆上．
设 点在椭圆上，则 ，则 ，
由 知， 满足：
则 ，即 ，故 ，
从而得切线 的方程为
整理得 ，点 满足方程，则 ，
同理可得即点 满足方程 ，所以 的方程为 ．
消 得 ，
， ，
．
设 ， 点到直线 的距离为 ，
；
．
所以 ．
变式47．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为
，点 在椭圆 上，且满足
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为点
，求四边形 面积的最大值.
【解析】（1）由 和 ，可得 ，
可得椭圆 的标准方程为 ，将点 代入椭圆方程可得 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2）
由（1）知点 的坐标为(1,0)，设直线 的方程为 ，
点 ，
联立方程 消去 后整理为 ，
有 ，
，
由 ，
有 ，
四边形 的面积为 ，
令 ，可得 ，
令 ，
有 ，可得函数 单调递减，有 ，
可知当 时，四边形 的面积的最大值为 .
【解题方法总结】
三角形的面积处理方法： 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤
其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积
=对角线长度乘积的一半．
1．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线 的离心率为 ，
可得 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，
一条渐近线与圆 交于 ， 两点，圆的圆心 ，半径为1，
圆的圆心到直线 的距离为： ，
所以 ．
故选： ．
2．（2023•上海）已知 ， 是曲线 上两点，若存在 点，使得曲线 上任意一点 都存在 使得
，则称曲线 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②
存在双曲线是“自相关曲线”，则
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】
【解析】 椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的 点，使得 成立，故①正确，在双曲线中， ，而 是个固定值，则无法对任意的 ，都存在 ，使得
，故②错误．
故选： ．
3．（2022•上海）已知 ， ， ， 两点均在双曲线 的右支上，若
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】 ， ．
【解析】设 的对称点 ， 仍在双曲线右支，由 ，
得 ，即 恒成立，
恒为锐角，即 ，
其中一条渐近线 的斜率 ，
，
所以实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
