文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题20 解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
2.（2021·北京·统考高考真题）已知椭圆 一个顶 点 ，以椭圆 的四个顶点为顶
点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且
．已知点 ，且 与l相切．（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明
理由．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个
方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二
是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，
小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，
综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.
近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答
题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方
向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 范围、最值问题
【核心知识】
1.几何法:通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.
2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方
法等进行求解.或合理构建函数关系式后，用换元法，求导法，配方法等求最值.
【典例分析】典例1.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
典例2.（2023春·广东清远·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的右焦点为 ，
过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，点 关于 轴对称的点为 .当 时，
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 的外心为 ，求 的取值范围.
典例3.（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知椭圆C: 的离心率为
,且过
(1)求C的方程.
(2)若 为 上不与 重合的两点, 为原点,且 , ,
①求直线 的斜率;
②与 平行的直线 与 交于 , 两点,求 面积的最大值.
典例4. （2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆
与抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
典例5. （2023春·云南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的
离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，动直线 交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，
的半径为 ．设D为 的中点， 与 分别相切于点E，F，求 的最小值．
【规律方法】
1.最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
考向二 探索性问题
【核心知识】
1.圆锥曲线中探索问题的求解策略
（1）此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，
成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及
对参数的讨论．
（2）求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数
的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不
存在．
2.存在性问题常用方法：
法1：特值探路；
法2：假设存在..
【典例分析】
典例6.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知双曲线 .过
原点 作两条互相垂直的直线 分别交 于 两点和 两点，且 ， 在 轴同侧.
(1)求四边形 面积的取值范围；
(2)设直线 与 的两渐近线分别交于 两点，是否存在直线 使得 为线段 的三等分点？若存
在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.典例7.（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
典例8.（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知直线 与曲线
交于 、 两点， 为坐标原点.
(1)当 时，有 ，求曲线 的方程；
(2)当实数 为何值时，对任意 ，都有 为定值 ?指出 的值；
(3)已知点 ，当 ， 变化时，动点 满足 ，求动点 的纵坐标的变化范围.
典例9.（2022春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知圆 过点 ，且与直线 相切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2) 为轨迹 上的动点， 为直线 上的动点，求 的最小值；
(3)过点 作直线 交轨迹 于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 ．问 是否经过定点，若经过定
点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
x2 y2
M : 1,(ab0) 1
典例10.（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知椭圆 a2 b2 的离心率为2，且
3
过点1, .
2
(1)求椭圆M 的方程；
O A,B,C M O ABC ABC
(2) 为坐标原点， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，试探究 的面积是否为定值.
若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【总结提升】
探索性问题的求解策略
(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．
(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假
设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．
