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第八章 平面解析几何（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知双曲线 ，则其离心率是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】 为等轴双曲线，则 ，
所以离心率为 .
故选：B
2．“ ”是“点 在圆 内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】点 在圆 内 ，
所以“ ”是“点 在圆 内”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知直线 与圆 相切，则 的值（ ）
A．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关
【答案】D
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为直线 与圆 相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即 ，
化简得 ，可知 ，故选：D.
4．设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆 ，可得 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 ，
又 ，所以双曲线的离心率为 ，
又双曲线 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
5．设 两点的坐标分别为 ， ，直线 与 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点M(x,y)，则 的斜率为 ， 的斜率为 ，
故 ，
所以 ，故D正确.
故选：D
6．若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的2倍．则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】已知拋物线的方程为 ，可得 ．所以焦点为 ，准线为 ： ．
抛物线上一点A(x ,y )到焦点F的距离等于到准线 的距离，
0 0
即 ，
又∵A到x轴的距离为 ，
由已知得 ，解得 ．
故选：D．
7．已知双曲线 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 与双曲线
交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
{ y=a { y=a { y=a
2ac
【解析】由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 ac，或 ac，所以|MN|= ，
− =1 x=− x= b
a❑ 2 b❑ 2 b b
{
y=−b
{ y=−b {y=−b
由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 ，或 ，所以|PQ|=2√2a，
− =1 x=−√2a x=√2a
a❑ 2 b❑ 2
因为|MN|=√2|PQ|，所以 ，
整理得 ，得 ，所以 .
故选：C.
8．对于平面上的动点P，且满足对于A(x ,y )，B(x ,y )；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称
1 1 2 2
P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A(−2,0)，B(4,0)， ．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？
（1） （2） （3） （4）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C【解析】由题意可得 ,即 ，化简得 ，
即 ，故“完美曲线”表示圆心在 ，半径 的圆，
对于 ,故 与“完美曲线”有交点，
对于 ,联立 与 可得 ，
解得 ，故有交点，
对于 ,圆心 到直线 的距离为 ，
故直线与圆相交，有交点，
对于 ，表示圆心 半径 的圆，
则两圆的圆心距离为 ，故两圆相交，有交点，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A．|PQ|的最小值为2 B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】对于A、B选项：由题意得： ，半径为1，
： ， ，半径为1，
圆心距为 ，又点 在圆 上，点 在圆 上，
， ，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为 ，C正确；
对于D选项：圆心距 ，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
10．椭圆C： 的焦点为 ， ，上顶点为A，直线 与椭圆C的另一个交点为B，
若 ，则（ ）A．椭圆C的焦距为2 B． 的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D． 的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意可知， ， ，
故 为等边三角形，则 ， ，
又 ，
所以 ， ， ，
所以焦距 ，A正确；
离心率 ，C错误；
由椭圆定义可知， 的周长 ，B正确．
设 ，则 ，又 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD．
11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点
和 的距离之积为定值a，则（ ）
A．点 在曲线 C 上B．曲线 C的方程为(
C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D．若点 在C 上，则
【答案】AC
【解析】由原点 在曲线上得 ，
选项A．设曲线与x轴正半轴相交于 ，
则 ，解得 ，故A 正确.
选项B，设曲线C上任一点坐标为 ，则 ，
得 ，则 ，
所以 ，
即 ，故 B 错误．
选项C，由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，则 ，故C 正确．
选项 D，由 ，得 ，
故点 在C 上时有 成立，故D错误．
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线 与 ，若直线 与 相交于 两点，且
，则 ．
【答案】 或
【解析】若直线 与 相交于 两点，且 ，
则圆心 到直线 的距离 ，所以 ，解得 或 ．
故答案为： 或 .
13．已知双曲线 的左､右焦点分别是 ，若双曲线左支上存在点 ，使得
，则该双曲线离心率的最大值为 ．
【答案】3
【解析】由双曲线左支上一点 ，可得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以该双曲线离心率的最大值为 .
故答案为： .
14．如图，在矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，点 在直线 上，
点 在直线 上， ，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以直线 的方程为 ①，
因为 ，所以直线 的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点 可到达 ，但不可到达 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知双曲线 ： 的左右顶点分别为 、 ．
(1)求以 、 为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程；
(2)直线 过点 与双曲线 交于 两点，若点 恰为弦 的中点，求出直线 的方程；
【解析】（1）由题意可得， ， ，则 ，
又 ， ，
所以椭圆的标准方程为 . （6分）
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，点 恰为弦 的中点，则 ， ，
1 1 2 2
又因为 两点在双曲线上，
可得 ，两式相减得 ， （9分）化简整理得 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
经检验，满足题意. （13分）
16．（15分）
已知圆 ，圆心 到抛物线 的准线的距离为 ，圆 截直线
所得弦长为 .
(1)求圆 的方程.
(2)若 、 分别为圆 与抛物线 上的点，求 、 两点间距离的最小值.
【解析】（1）抛物线 的准线为： ，
圆 的圆心 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又 到直线 的距离 ，
所以 ，则 ，
所以圆 （6分）
（2）设 ，则 ，
所以 ，
当 时， 取最小值 ，
又圆 的半径为 ，
所以圆 与抛物线 无公共点，且|PQ|的最小值为 . （15分）
17．（15分）
已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，过 的直线与椭圆C交于M，N两点，且 的周长为8， 的最大面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，是否存在x轴上的定点P，使得 的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不
存在，请说明理由．
【解析】（1）∵ 的周长为8， 的最大面积为 ，
∴ ，解得 ， 或 ， ．
∴椭圆C的方程为 或等 ． （5分）
（2）
由（1）及 易知F (1,0)，
2
不妨设直线MN的方程为： ， ，M(x ,y )，N(x ,y )，
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联立 ，得 ． （8分）
则 ， ，
若 的内心在x轴上，则 ，
∴ ，即 ，即 ，
可得 ．
则 ，得 ，即 ． （11分）
当直线MN垂直于x轴，即 时，显然点 也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点 ，使得 的内心在x轴上. （15分）
18．（17分）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(−2,0)， 两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上， ， ，证明：
（ⅰ）存在常数 ，满足 ；
（ⅱ） 的面积为定值．
【解析】（1）设C的方程为 ，其中 ．
由C过A，B两点，故 ， ，解得 ， ．
因此C的方程为 ． （5分）
（2）（ⅰ）设P(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，其中 ， ，i＝0，1，2．
0 0 1 1 2 2
因为 ，所以直线BM的斜率为 ，方程为 ．
由 ，得 ， （7分）
所以 ，
．
因此 ．
同理可得直线AN的斜率为 ，直线AN的方程为 ．
由 ，得 ，所以 ， （10分）
，
因此
．
则 ，即存在 ，满足 ． （13分）
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为 ，
所以点P到直线MN的距离 ．
而 ，
所以 的面积 为定值． （17分）
19．（17分）
已知抛物线 ， 为抛物线 上的点，若直线 经过点 且斜率为 ，则称直线 为点
的“特征直线”.设 、 为方程 （ ）的两个实根，记 .
（1）求点 的“特征直线” 的方程；
（2）已知点 在抛物线 上，点 的“特征直线”与双曲线 经过二、四象限的渐近线垂直，
且与 轴的交于点 ，点 为线段 上的点.求证： ；
（3）已知 、 是抛物线 上异于原点的两个不同的点，点 、 的“特征直线”分别为 、 ，直
线 、 相交于点 ，且与 轴分别交于点 、 .求证：点 在线段 上的充要条件为
（其中 为点 的横坐标）.
【解析】（1）由题意 的斜率为1，所以点 的“特征直线” 的方程为 . （3分）（2）设点 ，由于双曲线 所求渐近线的斜率为
所以 ，进而得 ，线段 的方程为
所以 满足
所对应方程为： ，解得 ，
因为 ，所以 ，进而 （8分）
（3）设 ， ，
则 、 的方程分别为 ， ，
解 、 交点可得 ， ，
所对应的方程为： ， （10分）
必要性：因为点 在线段 上
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
所以 ，进而 （14分）
①充分性：由 ，得 ，
当 时， ，得 ，
当 时，得 ，得 ，
所以点 在线段 上.
综上所述：点 在线段 上的充要条件为 （17分）
