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第八章 平面解析几何（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知命题p： ，命题q：直线 与抛物线 有两个公共点，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，联立可得 ，消去 整理可得： ，
则 恒成立，则直线 与抛物线 必定有两个交点，
则 显然成立， 不成立，
故选：A.
2．已知双曲线 的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B
两点，则 （ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】双曲线的右顶点 ，直线l的方程为 ，
双曲线的两条渐近线方程为 或 ，
当 时， 或 ，即 ， ，
则 .
故选：C．
3．已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点为 ，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】设该弦为 ， 设 ，
则有 ，两式相减，得 ，因为双曲线C的一条弦的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即这条弦所在直线的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以该弦存在，
故选：D
4．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆．已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹
关于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：B.
5．已知抛物线C： 的顶点为O，经过点 ，且F为抛物线C的焦点，若 ，
则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C【解析】因为点 在抛物线上， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：C
6．已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点 为抛物线 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为点 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程
为： ．
由抛物线的定义知：点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
结合点 与抛物线 的位置关系可知， 的最小值是点 到准线 的距离，故
的最小值为7．
故选：C.
7．首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌
壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在
此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段 和
一段圆弧 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧 所在圆的方程为 ，若某
运动员在起跳点 以倾斜角为 且与圆 相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知： ，又 ，
直线 方程为： ，即 ；
由 得： 或 ，
即 或 ，
为靠近 轴的切点， ；
设飞行轨迹的抛物线方程为： ，则 ，
在点 处的切线斜率为 ， ，解得： ，
，解得： ， ，
即抛物线方程为： .
故选：A.
8．已知双曲线 的左，右顶点分别为 ， ，点M在直线 上运动，若 的
最大值为 ，则双曲线的离心率 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】不妨设 在第一象限，则 ，又 ， 分别是双曲线的左右焦点，
所以 ， ， ， ，
设 , ，则 ，
， ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 ，
由题意可得 ，所以离心率 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知方程 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆 B．当 或 时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，则曲线 是圆，A错误；
对于B，当 或 时， ，曲线 是双曲线，B正确；
对于C，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，C正确；
对于D，若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，D正确．
故选：BCD
10．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，点 ，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂
线，垂足为H，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【解析】抛物线C： 的焦点 ，准线 为 ，
设准线 与 轴交于点 ，
∵ ，由 与△ 相似得： ，
∵ ，∴ ，即 ，故A错误；
由抛物线定义得 ，∴ ，
即 ， ，故BC正确，D错误．
故选：BC．
11．(多选)已知点 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点， 是双曲线 位于第一象限内
一点，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的渐近线方程为
D．若双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的方程为
【答案】BD
【解析】对于选项A：由定义可得 ，因为 ，所以 ， ，由已知 ，所以 的面积为 ，故A错误；
对于选项B：由勾股定理得 ，即 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，故C错误；
对于选项D：由双曲线 的焦距为 得 ，从而 ， ，
所以双曲线 的方程为 ，故D正确.
故选：BD.
12．已知离心率为 的椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为
的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段 上一点，且满足 ，
则（ ）
A． B．直线l的斜率为
C． ， ， 成等差数列 D． 的内切圆半径
【答案】AC
【解析】
如图1：因为 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以 ，故 ，故A正确.
设 ， ， ，由椭圆离心率为 可得： ， ，故椭圆方程可化为： ，
联立直线l方程整理得： .
设 ， ，则有： ， ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，解得： ，故 ，故B错误.
如图2：设椭圆上顶点为 ，则 ，
因为 所以 ，
所以 与 重合，所以 为上顶点，
故 ， ， ，
易知满足 ，故C正确
对于D：由 知： 是以A为直角的直角三角形，
故内切圆半径 ，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线 焦点为 ，准线上有点 是抛物线上一点， 为等边三角形，
则 点坐标为 ．
【答案】
【解析】抛物线 焦点为 ，点 在准线 上，
在等边 中， ，因此 长等于点 到准线的距离，即有 与抛物线准线垂直，令抛物线准线与x轴交于点 ，则 ，由 轴，得 ，
于是 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 点坐标为 .
故答案为：
14．点P是双曲线 ： （ ， ）和圆 ： 的一个交点，且
，其中 ， 是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则 ，
∴ ， ， ，
．
故答案为：
15．已知椭圆 ，直线 ，直线 与椭圆 交于 两点，与 轴交于点 ，
若 ，则 ．【答案】
【解析】易知椭圆右顶点为 ，且直线 过右顶点，
如下图所示：
所以 ，不妨设 ，
由 可得 ，解得 ；
将 代入椭圆方程可得 ，解得 ；
所以 .
故答案为：
16．过 向抛物线 引两条切线 ，切点分别为 ,又点 在直线 上的射影为
，则焦点 与 连线的斜率取值范围是 .
【答案】 .
【解析】设 ，不妨设 ，
由 ，可得 ，可得 ，则 ，
可得切线 的方程为
因为点 在直线 上，可得 ，
同理可得： ，
所以直线 的方程为 ，可得直线 过定点 ，
又因为 在直线 上的射影为 ，可得 且 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的圆，其方程为 ，当 与 相切时，
由抛物线 ，可得 ，设过点 与圆 相切的直线的斜率为 ，
可得切线方程为 ，则 ，解得 或 ，
所以实数 的范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且其离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，求证： （ 为
坐标原点）为定值.
【解析】（1）∵抛物线 的焦点为 ，
∴椭圆 的半焦距为 ，
又 ，得 ， .
∴椭圆 的方程为
（2）证明：由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 .
，即 ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ .
∴ 为定值
18．（12分）
已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到抛物线焦点的距离为 ，若过点
的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
(1)证明： ；
(2)若 与坐标轴不平行，且 关于 轴的对称点为 ，圆 ，证明：直线 恒与
圆 相交．
【解析】（1）证明：因为点 到抛物线焦点的距离为 ，
所以 ，解得 或 ，
又因为 ，
所以 ，故抛物线方程为 ，
当直线 轴时，可得 ，
此时 ，所以 ；
当直线 与 轴不垂直时，设 的方程为 ，设 ，
代入 得 ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，
综上， ．
（2）证明：由于 关于 轴对称，结合（1），故 的坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由（1）得 ，所以 ，
可得直线 恒过点 ，
因为圆 的方程 ，且 ，
所以点 在圆 内部，
所以直线 恒与圆 相交．
19．（12分）
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 斜率不为0的直线 交椭圆 于 两点，记直线 与直线 的斜
率分别为 ，当 时，求 的面积.
【解析】（1）由题意知 ，
又 ，则 ，
，解得 (负值舍去)，
由 在椭圆 上及 得 ，解得 ，
椭圆 的方程为 ；
（2）由（1）知，右焦点为 ，
据题意设直线 的方程为 ，
则 ，于是由 得 ，化简得 （*）
由 消去 整理得 ，
，
由根与系数的关系得： ，
代入（*）式得： ，解得 ，
直线 的方程为 ，
方法一： ，
由求根公式与弦长公式得： ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
.
方法二：由题意可知 ，
代入 消去 得 ，
，
.
20．（12分）
在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为 ，
其中一条渐近线的倾斜角为 .
(1)求C的标准方程；(2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足
，证明：点E在一条定直线上.
【解析】（1）根据题意，设双曲线的方程为 ，
由题知 ， ，可得 ；
所以双曲线方程为 .
（2）易知 为双曲线的右焦点，如下图所示：
由题知直线l斜率存在，
根据对称性，不妨设斜率为 ，故直线的方程为 ，
代入双曲线方程得 ，
设 ， ，
由韦达定理有 ， ，
且 ， ，
设 ，点E在线段 上，所以
由 可得
化简得 ，
代入 和 并化简可得 ，
即存在点E满足条件，并且在定直线 上.
21．（12分）已知双曲线 为其左右焦点，点 为其右支上一点，在 处作双曲线的切线 .
(1)若 的坐标为 ，求证： 为 的角平分线；
(2)过 分别作 的平行线 ，其中 交双曲线于 两点， 交双曲线于 两点，求 和
的面积之积 的最小值.
【解析】（1）由题意点 处的切线为 ，
所以过点 处的切线方程为 ，
交 轴于点 ，则 ，
即 ，所以 为 的角平分线；
（2）过 的切线 ，
当 时，即 不为右顶点时， ，
即 ，
（或由直线与单支有两个交点，则 也可）
联立
设 ，则
所以
又
所以 ，，
当 时，即点 为右顶点时， ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
22．（12分）
已知抛物线 （ 为常数， ）.点 是抛物线 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线 与 只有一个公共点，求 ；
(2)设 为 的准线上一点，过 作 的两条切线，切点为 ，且直线 ， 与 轴分别交于 ， 两
点.
①证明：
②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线 与抛物线 联立，
消去 可得 ，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以 ，又点 在抛物线上，即 ；
可得 ，解得
（2）①易知抛物线 的准线方程为 ；
不妨设 ，切点 ，如下图所示：将 求导可得 ，
则切线 的斜率 ，切线 的方程为 ，
又 ， 的方程可化为 ；
同理可得 的方程可化为 ；
又两切线交于点 ，所以 ，
因此可得 是方程 的两根，因此 ；
所以 ；
因此
②设直线 和 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以 ；
又 ； ；
；
所以
，将 代入可得
，
则可得 ，即 ；
又 ，所以 ，
可得 ，则 为定值.
