文档内容
重难点 10 四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线 上的一动点M到直线 距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 求导可求与直线 平行且与抛物线 相切的切线方程，再利用两平行线的
距离公式可得所求的最小距离．
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以与直线 平行且与抛物线 相切的切点 ，
切线方程为 ，即 ，
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离
.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）点 到直线 的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点到距离公式把距离表示成 的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围.【详解】由点到直线距离公式有：
P到直线的距离为 ，
其中 ，
由三角函数性质易知， ，
故 ，
故选：C.
3．（2020·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上任一点， 是坐标原点，则 中点的轨迹方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先设点 和 中点 ，再根据中点坐标公式得到 中点的轨迹方程即可.
【详解】解：设点 ， 中点 ，
因为点 是 中点，所以 ，则
又因为点 满足椭圆方程，所以 ,
所以 ，化简得：
所以 满足 ，
所以 中点的轨迹方程为故选：A
【点睛】本题考查代入法求点的轨迹方程，是基础题.
二、填空题
4．（2020·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 的左，
右焦点分别为 ， ，设过右焦点 且与 轴垂直的直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，
若 是正三角形，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】不妨设点 在 轴上方，先求出点 坐标，再由题得 ，化简即得双曲线的离心率.
【详解】不妨设点 在 轴上方，
联立 得 .
因为 是正三角形，所以 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020·江苏·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为
，则a＝_______．
【答案】3
【解析】双曲线的焦点在 轴上，渐近线为 ，结合渐近线方程为 可求 .【详解】因为双曲线 (a＞0)的渐近线为 ，且一条渐近线方程为 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是
求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
6．（2022·全国·高三专题练习）若过点 且斜率为k的直线 与双曲线 只有一个公共点，则
___________.
【答案】 或
【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0的情况，分
别解得k的值即可.
【详解】由题意可得 ，代入双曲线方程得 .
当 ，即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当 时， ，解得 .
综上，当 或 时，直线与双曲线只有一个公共点.
故答案为： 或
三、解答题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与 轴交于 点，与 轴交于 点
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求直线 的倾斜角的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）根据题意，由 的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得，解可得 的值，即可得答案;
（2）根据题意，直线的斜率 ，分 与 两种情况讨论 的范围，分析可得倾斜角 的范围，
综合可得答案．
【详解】（1）根据题意，直线 ，其斜率 ，在 轴上的截距为 ，
若 ，则 , ，则直线的倾斜角为 ，则有
变形可得 ，
解可得： 或 ，
故 或 .
（2）根据题意，直线的斜率 ，设直线的倾斜角为 ，
当 时， ，直线的倾斜角为0，
当 时， ，
又由 ，当且仅当 时等号成立，必有 ，
则有 ，又由 ，
则 ，
综合可得： ，
故 的取值范围为 ．
8．（2022·四川凉山·三模（理））已知椭圆 经过点 ，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知曲线 ， 在点P处的切线l交 于M，N两点，且 ，求l的方程．
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）根据题意可得 ， ，解得
（2）设切点 ，根据导数可求切线方程 ，由 可得 ，结合
韦达定理求解．
（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意可得：
椭圆过 即
解得：
∴椭圆方程为
(2)设
由 即 得
，
∴切线l的切点坐标为 斜率为
切线l的方程为： 即 ，联立方程 消去 得
则可得： ………①
………②
∵ 即
则 ，即 ………③
由①③可得： ………④
把④代入②：
整理得：
∵ 则
经检验 符合题意
∴直线l得方程为 或
9．（2022·全国·高三专题练习）设函数 其图象与 轴交于 ， ， ， 两点，
且 .
(1)求 的单调区间和极值点；
(2)证明： 是 的导函数）；
(3)证明： .【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；极小值点是 ，无极大值点，
且
【分析】（1）对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解函数单调区间,即可求解极值；
（2）由题意可知 ，两式相减可得， ， 构造函数 ，然后结合导数
判断单调性，即可证明；
（3）由题意可得 ，构造函数，结合单调性，利用分析法可证.
(1)设函数 其图象与 轴交于 ， ， ， 两点，
所以函数 不单调，
有实数解，所以 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
且 是极小值点；
，由题意得， ，所以 ，
所以函数 的单调递增区间 ，单调递减区间 ，
极小值点是 ，无极大值点，且 .
(2)证明： ，
两式相减可得， ，令 ，
则 ，
，
令 ，则 ，
所以 单调递减， ，
而 ，
，
又 ，
；
(3)证明：由 ，可得 ，
，
令 ， ，则 ，
，
设 ，则 ， ，
，
， ，
，
要证明： ，等价于证明： ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证 ，令 ， ，
，
在 上单调递减，
，
故 ，
，
，
从而有： .
【点睛】关键点点睛：证明函数不等式，关键在于合理变形，适时转化，转化后利用导数求函数的极值、
单调性，建立不等关系即可得证，本题中要证 ，转化为证 ，换元后即证 ，
再换元转化为证明 ，即证即证 ，构造函数 ，求导得单调性可知
即可证明.
题型二：数形结合思想
一、单选题
1．（2020·山西临汾·高三阶段练习（理））已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且
倾斜角为45°的直线与 的右支有且仅有一个交点，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小
于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的
右支有且只有一个交点．则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率 ，
所以
e2
∴e
故选：A．
【点睛】本题主要考查双曲线的性质及应用，考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
2．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））若直线 与圆 交于不同的两
点A、B，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得 ，则 ，根据垂径定理和点到直线的距离公式计算求
解．
【详解】设圆心O到直线l的距离为d，
∵ ，则以 为邻边的平行四边为菱形，即
由 ，即 ，则
又由垂径定理可知 ，即
解得则 ，解得 ．
故选：A．
3．（2022·全国·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，
， ，若对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】易求直线 的方程 ，可求圆心 到直线 的距离 ，进而可求圆 上的点到
直线 的距离的范围，因为对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，则以 为直径的圆包
含圆 ，故 ，化简即得所求.
【详解】由题可得点 ， 在直线 上，
圆 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的范围为 .
因为对任意的点 ，总存在点 ， ，使得 ，
所以以 为直径的圆包含圆 ，故 ，
所以 ，得 ，
故选：A.
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系中，表示直线l：y＝ax+b与l：y＝bx﹣a的图象可
1 2
能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由图观察两直线的斜率的正负号、两直线在 轴上的截距的正负号，从而得出结论．
【详解】解：由图A可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ；
而 的斜率 ，在 轴上的截距 ，即 ，故A能成立．
由图B可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ；
而 的斜率 ，在 轴上的截距 ，即 ，矛盾，故B不能成立．
由图C可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ；
而 的斜率 ，在 轴上的截距 ，即 ，故C能成立．
由图D可得直线 的斜率 ，在 轴上的截距 ；
而 的斜率 ，在 轴上的截距 ，即 ，矛盾，故D不能成立．
故选：AC
5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直线 与圆 交于A､B两点，且
（其中O为坐标原点），则实数b的值可以是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】AD【分析】根据 可得 ，分析圆心O到直线 的距离 ．
【详解】圆 的圆心 ,半径
∵ 则
∴O到直线 的距离 ，则
故选：A D．
三、填空题
6．（2022·山西吕梁·三模（文））已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与 交于
两点（点 在 轴上方），过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，连接 .若 ，
则直线 的斜率为__________.
【答案】
【分析】根据题意得 ，再得到 ，
，分析即可得 ， ，从而得到直线的倾斜角，即可求解.
【详解】如图，由题意得 ，所以 ，
，因为 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 ，所以直线 的斜率为 .
故答案为： .四、解答题
7．（2022·山西太原·三模（文））已知抛物线C开口向右，顶点为坐标原点，且经过点
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 的直线交抛物线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线 于点P，Q，求 的值.
【答案】(1) (2)1
【分析】（1）设抛物线C的方程为 ，代入 点坐标可得答案；
（2）设直线MN为 ， ，求出直线AM方程、直线AN方程令 得 、
，由 可得答案.
(1)设抛物线C的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
(2)由题意，直线MN斜存在，设直线MN为 ，由 得 ，
∵ ∴ ，
，
则直线AM方程为 ，
直线AN方程为 ，
令 ，得 ， ，
.
8．（2022·山西吕梁·三模（理））已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 关于原点 的对称点为点 ，与直线 平行的直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ，
点 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1) (2)点 在定直线 上.
【分析】（1）解方程组 可得答案；
（2）设 ， 的方程与椭圆方程联立利用韦达定理代入 ，可得直线 的方程、直线 的方程，联立两直线方程得 ，由 化简
可得答案.
(1)由题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程是 .
(2)点 是在定直线 上，理由如下，
由（1）知 ，设 ，
，将 的方程与 联立消 ，得 ，
则 ，得 且 ，且 ，
因为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
联立直线 与直线 的方程，得 ，
得 ，所以
所以点 在定直线 上.
题型三：分类与整合思想
一、单选题
1．（2020·湖南·高三学业考试）已知直线l过点 ，圆C： ，则直线l与圆C的位置关系
是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【答案】D
【解析】经过计算得点 在圆C： 上，所以直线l与圆C的位置关系是相交或相切.
【详解】由题：
所以点 在圆C： 上，
所以直线l与圆C的位置关系是相交或相切.
故选：D
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于根据直线经过的定点的位置分析动直线与圆可能
的位置关系.
2．（2020·浙江·高三专题练习）点 到抛物线 准线的距离为2，则a的值为
A．1 B．1或3
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】对 分成 和 两种情况进行分类讨论，结合抛物线的定义求得 的值.
【详解】依题意可知 ，抛物线的标准方程为当 时，抛物线的准线方程为 ，点 到 的距离为 ，解得
.
当 时，抛物线的准线方程为 ，点 到 的距离为 ，解得
.
所以 的值为 或 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设 是椭圆 的离心率，且 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意和椭圆性质可得当 时， ；当 时， .
解不等式后即可得解.
【详解】由 ， ， 可得：
当 时， ，由条件知 ，解得 ；
当 时， ，由条件知 ，解得 .
故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属于基础题.
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥曲线 ，则下列说法可能正确的有（ ）
A．圆锥曲线 的离心率为
B．圆锥曲线 的离心率为
C．圆锥曲线 的离心率为
D．圆锥曲线 的离心率为
【答案】BC
【分析】讨论 、 、 ，结合三种情况下圆锥曲线的方程，可判断相关性质，进而确定其
离心率.
【详解】当 时， ，圆锥曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其离心率
，故C符合题意；
当 时， ，圆锥曲线 是焦点在 轴上的椭圆，其离心率 ，故B符合题
意；
当 时，圆锥曲线 是焦点在 轴上的双曲线，其离心率
，故C符合题意.
故选：BC.5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，过点
（5，0）作直线 交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（ ）
A． 或
B．该双曲线的离心率为
C．满足 的直线 有且仅有一条
D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线 的斜率的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得 ，从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即
可判断B；分当 两点都在双曲线的右支上和 再双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；
求出双曲线的渐近线方程，从而可判断D.
【详解】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，故A错误；
双曲线方程为 ，
故 ，
所以该双曲线的离心率 ，故B正确；
点（5，0）为双曲线的右焦点，
当 时， ，
当 两点都在双曲线的右支上时， ，
因为 ，所以这种情况的直线 只有一条，且 与 轴垂直，
当 再双曲线的左右两支上时，可得 ，
而 ，可得这样的直线有两条，
综上所述，满足 的直线 有3条，故C错误；
双曲线的渐近线方程为 ，
要使A和B分别在双曲线左、右两支上，
则直线 的斜率的取值范围是 ，故D正确.
故选：BD.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 两点的坐标分别是 ， ，直线 、 相交于点 ，
且两直线的斜率之积为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹圆（除去与 轴的交点）
B．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（除去与 轴的交点）
C．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的抛物线
D．当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（除去与 轴的交点）
【答案】ABD
【分析】设出P点的坐标，根据直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为 ，可得出含有参数 的点P轨迹
方程，然后对 进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.
【详解】设点P的坐标为 ，直线AP，BP的斜率为 ，
由已知得，
化简得点P的轨迹方程为当 时，点 的轨迹圆（除去与 轴的交点）所以 正确；
当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（除去与 轴的交点），所以B正确；
当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的抛物线，不正确，应该是双曲线，所以C不正确；
当 时，点P的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（除去与 轴的交点），所以D正确；
故选：ABD
三、解答题
7．（2020·全国·高三专题练习（理））求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点 ，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；
（2）经过点 ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【答案】（1） 或 .（2） 或 .
【解析】（1）当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，将 代入，求得 ，当直线
过原点时，设直线方程为 ，将将 代入，取得 ，进而求得所求直线的方程；
(2)根据所求直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，得到所求直线的斜率为 ，结合点斜式，即可求
解.
【详解】（1）由题意，当直线不过原点时，设所求直线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，
所以直线方程为 ；
当直线过原点时，设直线方程为 ，
将 代入，可得 ，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ，
综上可得，所求直线方程为 或 .
(2)由题意，所求直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
可得所求直线的斜率为 ，
又过点 ，由点斜式得 ，所求直线的方程为 或 .
8．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 经过点 和点 ，且圆心在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1) (2) 或 .
【分析】（1）求得线段 的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心 ，根据 ，求得圆的半径，
即可求得圆 的方程；
（2）根据题意，得到圆心到直线 的距离为 ，①当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，符合
题意；②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，根据点到直线的距离公式，列出方程，
求得 ，进而得出直线的方程.
(1)解：设 的中点为 ，因为点 和点 ，所以 ，即 ，
又由 ，所以 的垂直平分线的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，即圆心坐标 ，
又由 ，即圆的半径为 ，
所以圆 的方程为 .
(2)解：过点 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，
所以圆心到直线 的距离为 ，
①当直线 的斜率不存在时，此时直线方程为 ，
则圆心到直线 的距离为 ，符合题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则圆心到直线的距离为 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，
综上可得，直线 的方程为 或 .
题型四：转化与划归思想
一、单选题
1．（2020·全国·高三（文））双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率为 ，可渐近方程 .
【详解】由题因为 ,所以 ，所以渐近方程为 .
故选：C.
【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的应用，属于基础题.
2．（2020·云南德宏·高三期末（理））已知点 是抛物线 上一点，以 为圆心， 为半径的圆
与抛物线的准线相切，且与 轴的两个交点的横坐标之和为 ，则此圆的半径 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得两个交点的坐标，进而可求出点 的横坐标，求解即可.
【详解】由抛物线定义得与 轴的两个交点必有一个为焦点 ，
又因为与 轴的两个交点的横坐标之和为 ，所以另一个交点为 ，
所以点 的横坐标即为两个交点的中点，所以 ，
所以圆的半径 .
故选：C.
二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线
上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦
半径公式可判断D.
【详解】易知点 的坐标为 ，选项A错误；
根据抛物线的性质知， 过焦点 时， ，选项B正确；
若 ，则 过点 ，则 的最小值即抛物线通径的长，
为 ，即 ，选项C正确，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 ， ， 分别作准线的垂线 ， ， 垂足分别为 ， ， ，
所以 ， ．所以 ，
所以线段 ，
所以线段 的中点 到 轴的距离为 ，选项D正确．
故选：BCD
三、填空题
4．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的一动点，点 的坐标为 ，点 满足
，且 ，则 的最大值是 __．
【答案】
【分析】根据题意可知 在以 为圆心，以1为半径的圆上，画出图形，求出 的最大值，即可求得
的最大值.
【详解】解：如图，
在椭圆上， 在以 为圆心，以1为半径的圆上，
由椭圆 ，得点 为椭圆的下焦点，
要使 最大，则 最大， ，．
故答案为： ．
5．（2022·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 的公切线有
___________条.
【答案】3
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条
数.
【详解】圆 ： 化为标准方程为： ，
则圆心坐标为 ，半径为2，
圆 ： 化为标准方程为： ，
则圆心坐标为 ，半径为3，
∴圆心距 ，
即两圆的圆心距等于两圆的半径的和，
∴两圆相外切，
∴两圆的公切线有3条.
故答案为：3.
四、解答题
6．（2021·海南·模拟预测）已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为圆 ： 的圆心， 轴
负半轴上有一点 ，直线 被 截得的弦长为5．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作不过原点的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， ， 为切点，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先对圆的方程标准化，得到焦点坐标，得出抛物线方程，由已知设直线 为 ，联
立后，利用弦长公式计算即可求得结果；（2）由条件可设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，因为 与抛物线 相切，由 ，求
得得 ，进而解得 的坐标，设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 对称，解得 点坐标，
进而可求得直线 的方程．
【详解】（1）圆 的方程可化成 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
设 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
设直线 与 的交点横坐标分别为 和 ，由题意知 ，
即 ，解得 ，故 ．
（2）由条件可设直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
因为 与抛物线 相切，所以 ，解得 ．
代入原方程组解得 ．
设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 ： 对称，
所以 解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．巩固提升
一、单选题
1．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线
上一点 作准线的垂线，垂足为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线定义可知 为正三角形，根据 可知 ，由此可求得 ，
由此可得 .
【详解】
由抛物线定义可知： ， ， 为正三角形.
设准线 与 轴交于点 ，由抛物线方程可知： ，
， ， ， .
故选：A.
2．（2022·贵州毕节·三模（文））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的取值范
围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据方程作出对应的曲线图象，结合图象求实数 的取值范围.
【详解】方程 可化为 且 ，所以曲线 的轨迹为以 为圆心，1
为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，直线 表示过点 且斜率存在的直线，作图
可得
因为曲线 与直线 有两个交点
观察图象可得 ，
又 ， ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：B.
3．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过 ；由曲线方程可确定图形，采用数形结合的方式可确
定直线斜率的取值范围，由此可构造不等式求得 的取值范围.
【详解】由 得： ，
令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ；
由 得： ，
由此可得曲线 的图形如下图所示，
由图形可知：当直线过点 时，直线斜率为 ，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为 ，
即 ，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
4．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，
垂足为Q，若 ，则 （ ）A．2 B．4 C．6 D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义可知 ，结合 可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点
A，由 可得 ，利用 ，可得答案.
【详解】由抛物线定义可知 ，∴ ，△PQF为正三角形，
设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知： ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
故选：B．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角
度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin（ ）的方法非常巧妙，极
具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切
于 ，在截口曲线上任取一点 ，过 作圆锥的母线，分别与两个球相切于 ，由球和圆的几何性质，
可以知道， ， ，于是 .由 的产生方法可知，它们之间的距
离 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为 的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源 ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知
是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切， ，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设球 与 相切与点 ，可得 ，利用二倍角正切公式可得 ，由此可得
，由 可求得焦距.
【详解】设球 与 相切与点 ，作出轴截面如下图所示，
由题意知： ， ， ，
，
又 ， ， ，又 ， ，椭圆的焦距为 .
故选：C.
6．（2020·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，若
双曲线上存在点P使 ，则离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,可知 ,再由 即可求
解
【详解】根据双曲线的性质可得,双曲线上存在点P使 ,
则渐近线的斜率 ,即 ,因为离心率 ，
所以 ,因为 ，
所以离心率 的取值范围为 ，
故选:B
【点睛】本题考查双曲线离心率的相关问题;其中由双曲线性质得到 是求解本题的关键;属于中档
题.
7．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数 ，若 ，若点 不可
能在曲线C上，则曲线C的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】将函数变形 在R上单调递增，并且关于点 对称，结合已知条件可知 ，
说明曲线C的图像恒在直线 的区域，再判断直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】函数 ，显然函数 在R上单调递增，
又 ，即
所以 关于点 成中心对称，且
故 ，则 ，
点 不可能在曲线C上，说明曲线C的图像恒在直线 的区域，
对于A，表示圆心 ，半径 的圆，圆心 在直线 上，即直线与圆相交，不符合题意；
对于B，表示圆心 ，半径 的圆，圆心到直线的距离 ，即直线与圆相交，不符合题
意；
对于C，表示圆心 ，半径 的圆，圆心到直线的距离 ，即直线与圆相切，并且圆的
图像恒在直线 下方，符合题意；
对于D，表示圆心 ，半径 的圆，圆心到直线的距离 ，即直线与圆相交，不符合题
意；
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，对称性的应用，及直线与圆的位置关系，解题的关键是利
用函数的对称性，推出 ，说明曲线C的图像恒在直线 的区域，考查学生的逻辑推理能力，
属于难题.
二、多选题8．（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为0
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据 的几何意义，结合图形可求得 的最值，由此判断A，B，根据 的几何意义求其最
值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.
【详解】由实数x，y满足方程 可得点 在圆 上，作其图象如下，
因为 表示点 与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为 ，则 ，解得： 或 ，
， ， ，A，B正确；
表示圆上的点 到坐标原点的距离的平方，圆上的点 到坐标原点的距离的最大值为 ，
所以 最大值为 ，又 ，
所以 的最大值为 ，C错，因为 可化为 ，
故可设 ， ，
所以 ，
所以当 时，即 时 取最大值，最大值为 ，D对，
故选：ABD.
9．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）椭圆 : 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆
上，点 在以 为圆心， 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 的最大值为
C．过点 的直线与椭圆 只有一个公共点，此时直线方程为
D． 的最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将 转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项 ，由椭圆 的方程知 ，
所以离心率 ，故选项 不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得 ，
所以 ，即当且仅当 时， 的最大值为 ，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为 ，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆 ： ，
所以 ，
故选项D正确；
故选：BD.
三、填空题
10．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线 过定点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，已
知点 ，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】设 ，应用坐标表示出 、 ，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问
题转化为定点到圆上点距离最大.
【详解】设 ，若 ，则 ， ，
所以 ，故M的轨迹为 .
轨迹是圆心为 ，半径为 的圆，则最大 .
故答案为：
11．（2022·河南商丘·三模（理））已知 是抛物线 ： （ ）的焦点， 的准线与 轴交于
点 ，过点 作曲线 的一条切线 ，若切点 在第一象限内， 为 上第四象限内的一点，且 ，
则 ______．
【答案】【分析】设切点 的坐标为 ，根据题意 ，得到切线方程 ，将
代入得 的坐标，设 ， ，利用向量求出 的坐标，代入抛物线求出 即可.
【详解】由题意可知， ， ．设切点 的坐标为 （ ， ），
因为切点 在第一象限内，所以取第一象限内抛物线 ，求导计算切线方程，
则 ，所以切线的斜率为： ，
所以 的方程为 ，
将 代入得， ，解得 ，则 ，
即 ．由 ，当 在第四象限内时，设 （ ），
（ ），又 ， ，则 ，
解得 ，将点 代入 ： 得 ，
解得 （负值舍去），所以 ．
故答案为： .
12．（2022·河北·模拟预测）已知 ， 是抛物线 上的两个动点，过 ， 的两条切线交于点 ，若，则点 的纵坐标为___________.
【答案】
【分析】设切点 ， ，设 的直线方程为： ，与抛物线联立消去 得：
，根据题意得 ，求出 ，得到 的直线方程，同理求出 的直线方程，联立求
出 ，再根据 ，即可求解.
【详解】
设切点 ， ，不妨设 在第一象限，
设 的直线方程为： ，
与抛物线联立消去 得： ，因为相切，所以 ，
解得 ，所以 的直线方程为： ，
同理得 的直线方程为： ，联立 和 的直线方程，
解得 ，因为 ，所以 ，
解得 ，
即点 的纵坐标为： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考察抛物线方程和性质，考察直线和抛物线位置关系，直线方程的求法和运用，同时考
察化简能力，属于难题.
13．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设 为圆 上一点，直线 为 ，过点 作 ，连接 ，再分
别求出 和 ，则 ，再根据条件求出 范围即可.
【详解】设 为圆 上一点，直线 为 ，过点 作 ，连接 ，作出
如下示意图：
则 到直线 的距离 ，由图可知圆在直线 的上方，
所以 ，即 ，所以 ， ，
所以 ，所以只需求出 取值范围即可，设直线 与圆 相切，所以 ，解得 ，
所以两条切线方程为： 和 ，设两切点分别为 ， ，分别过 作 ，
垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，所以 ，
因为直线 的斜率为： ，所以 ，
所以 ， ，又因为 ，
所以 ，所以 ， ，
所以
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化.
14．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放
在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，
但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，
而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如
图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡 （当成质点），
灯泡与桌面的距离为 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 ，影子椭圆的右顶点到 点的距离为
个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 ______.【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆
的离心率.
【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则 ， ，直线PR的方程为
设 ,
由 到直线PR的距离为1，得 ，解之得 或 （舍）
则 ，
又设直线PN的方程为
由 到直线PN的距离为1，得 ，整理得
则 ，又 ，故
则直线PN的方程为 ，故 ，
由 ，解得 ，故椭圆的离心率
故答案为：
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生
动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很
多问题便迎刃而解，且解法简捷。
15．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一
个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨
迹即为星形线.如图，已知 ，起始位置时大圆与小圆的交点为 （ 点为 轴正半轴上的点），滚动过
程中 点形成的轨迹记为星形线 .有如下结论：
① 曲线 上任意两点间距离的最大值为 ；
② 曲线 的周长大于曲线 的周长；
③ 曲线 与圆 有且仅有 个公共点.
其中正确的序号为________________.
【答案】①③
【分析】由题意知星形线 任意点 满足 ， 为参数，其中 ，即 ，
，从而可判断①；分析曲线 的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线 的交
点 ，知曲线 与圆相切，可判断③；【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为 ，
则小圆的圆心轨迹为以 为圆心，半径为3的圆，即
设星形线 任意点 ，则 ， 为参数，其中
可知星形线 任意点 ，满足 ，
对于①，星形线 上左右两个端点 ， 或上下两个端点 ， 的距离最远，等于8，故
①正确；
对于②，曲线 为过点 ， ， ， 的正方形，
而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线 的周长小于曲线 的
周长，故②错误；
对于③，星形线与直线 的交点为 ，即
它们到原点的距离为 与圆 的半径相等，
所以曲线 与圆相切，即有且仅有 个公共点，故③正确；
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点
满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.
四、解答题16．（2022·浙江金华·三模）如图，已知点P在直线l： 上，A，B为抛物线C： 上任
意两点，PA，PB均与抛物线C相切，直线AB与直线l交于点Q，过抛物线C的焦点F作AB的垂线交直
线l于点K．
(1)若点A到F的距离比到直线l的距离小1，求抛物线C的方程；
(2)在（1）的条件下，当 最小时，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据抛物线定义可得答案；
（2）设 ，过P点的切线方程为 ， 利用直线PA、直线PB方程得到 ，
， ， 由A，B在直线PA、直线PB上得 ， ，
可得直线AB方程为： ，得直线AB方程过定点 ，直线KF方程 ，利用
坐标得 ，联立直线KF和抛物线方程可得 ，再利用弦长公式得 ，根
据 可得答案．
(1)因为点A到F的距离比到直线l： 的距离小1，所以 等于点A到直线 的距离，
∴ 为抛物线的准线．且 ，
∴C： .
(2)抛物线C： 的焦点 ，
设 ，设P点抛物线C： 的切线方程为： ，
消去x得： ，
∴ 即 ，
， ，
直线PA： ，直线PB： ，
则 ， ， ， ，
由A，B分别在直线PA： 、直线PB： 上，
得： ， ，
即 ， ，
则直线AB方程为： ，
得直线AB方程过定点 ，
则直线KF方程为： ，
则 ， ，，
当且仅当 时， 时取等号，
，
得 ，
，
∴ ．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 .且 与圆
上点的距离的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）若点 在圆 上， ， 是 的两条切线. ， 是切点，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值 .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值，求出抛物线方程；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，
将直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合
二次函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ， ，所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
所以抛物线的方程为 .
（2）抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 ， ， ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
18．（2021·全国·高三专题练习）（1）试求函数 的最小值；
（2）设a、b都是实数，试求： 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1） ，构造动点 ，则P的轨迹方程为 ，
设 ， ，则 ，由抛物线的知识即可求解；
（2）设 ， ，则S为A、B两点间距离的平方，转化为而圆 的x轴
上部分的点与双曲线 的x轴下部分的点的距离的最值问题，数形结合即可求解
【详解】（1） ，
构造动点 ，则P的轨迹方程为 ，设 ， ，
则F正好为抛物线 的焦点，
抛物线准线方程为l： .（如图所示）过点P作 于H，过点A作 于 ，交抛物线于点 ，
故有 ，
当且仅当点P在点 处时， 取得最小值 .
（2）设 ， ，
则S为A、B两点间距离的平方，而点A在圆 的x轴上部分，
点B在双曲线 的x轴下部分，如图1-55所示，
要使 最小，则点A、B分别位于点 、 或点 、 ，
即当 ， （或 ， ）时 .
【点睛】本题（1）粗看似乎无从入手，关键是构造出抛物线方程，使问题转化为抛物线上的动点到两个定点的距离之和；
本题（2）的关键是把S看作两点间距离的平方，并搞清楚这两个动点在何种曲线上，数形结合即可求解.
