文档内容
第 06 讲 双曲线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：双曲线的定义.....................................................................................................................4
知识点2：双曲线的方程、图形及性质.............................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：双曲线的定义与标准方程....................................................................................................7
题型二：双曲线方程的充要条件......................................................................................................10
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题..............................................................11
题型四：双曲线上两点距离的最值问题..........................................................................................13
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题......................................................................................14
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................16
方向1：利用双曲线定义去转换.......................................................................................................16
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式....................................................................17
方向3：利用 ，其中2c为焦距长， ..............................................................18
方向4：坐标法...................................................................................................................................19
方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................................................................19
方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................................................................20
方向7：利用基本不等式...................................................................................................................21
方向8：利用渐近线的斜率求离心率...............................................................................................22
方向9：利用双曲线第三定义...........................................................................................................23
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 ...................................................................24
题型七：双曲线的简单几何性质问题..............................................................................................25
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................27
题型九：双曲线的渐近线..................................................................................................................31
题型十：共焦点的椭圆与双曲线......................................................................................................32
题型十一：双曲线的实际应用..........................................................................................................35
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................38
05课本典例·高考素材........................................................................................................................39
06易错分析·答题模板........................................................................................................................41
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全..............................................................................................41
答题模板：求双曲线的标准方程......................................................................................................41考点要求 考题统计 考情分析
双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总
2024年天津卷第8题，5分
体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物
2024年甲卷（理）第5题，5
（1）双曲线的定义与 线低，在高考中双曲线的试题以选填题为
分 2023 年甲卷（文）第 8
标准方程 主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双
题，5分
（2）双曲线的几何性 曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎
2023年天津卷第9题，5分
质 所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线
2023年北京卷第12题，5分
的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近
2023年I卷第16题，5分
线、离心率．
复习目标：
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．
（3）了解双曲线的简单应用．知识点1：双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 时，点的轨迹是以 和 为端点的两条射线；当 时，点的轨迹是线段 的
垂直平分线．
（3） 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ， 的值），注
意 的应用．
【诊断自测】双曲线 的左右焦点分别是 与 是双曲线左支上的一点，且 ，则
（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
知识点2：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
A
2焦点坐标 ， ，
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为 ，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双
曲线方程
共渐近线的
双曲线方程
切线方程
为切点 为切点
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 换为 ， 换成
切线方程
便得．
为双曲线
切点弦所在
为双曲线外一点
外一点
直线方程
点 为双曲线与两渐近线之间的点
设直线与双曲线两交点为 ， ， ．
则弦长 ，
弦长公式
，其中“ ”是消“ ”后关于“ ”的一元二
次方程的“ ”系数．通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
双曲线上一点 与两焦点 构成的 成为焦点三角形，
设 ， ， ，则 ，
焦点三角形
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 离心率
等轴双曲线
两渐近线互相垂直 渐近线方程为 方程可设为
．
【诊断自测】（2024·山东济南·三模）已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的
渐近线，则双曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
解题方法总结
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
（4）双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．若点
点
在双曲线 外，则点 对应切点弦方程为
题型一：双曲线的定义与标准方程
【典例1-1】已知 ， 是平面内两个不同的定点，则“ 为定值”是“动点 的轨迹是以
， 为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线 经过点 ， 离心率为2，则 的标准方程为
（ ）
A． B．C． D．
【方法技巧】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a， b ，c，即利用待定系数法
求方程．
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义
法求方程．
【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为 ，且渐近线方程为 ，则其标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】化简方程 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】双曲线C： 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线C上，且满足
，则双曲线C的标准方程为 ．【变式1-4】（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线 与 有相同的渐近线，
且直线 过双曲线 的焦点，则双曲线 的标准方程为 .
【变式1-5】若双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ，则双曲线C的标准方
程是 ．
【变式1-6】已知双曲线 ，四点 、 、 、 中恰
有三点在 上，则双曲线 的标准方程为 ．
【变式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原点的双曲线 的离心率为2，右顶点为 ，过 的左焦
点 作 轴的垂线 ，且 与 交于 ， 两点，若 的面积为9，则 的标准方程为 .
【变式1-8】（1）若双曲线过点 ，离心率 ，则其标准方程为 ．
（2）若双曲线过点 ，渐近线方程是 ，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 ，则其标准方程为 ．题型二：双曲线方程的充要条件
【典例2-1】双曲线方程为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【典例2-2】（2024·河北石家庄·二模）已知曲线 ，则“ ”是“曲线 的焦点
在 轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： ．
【变式2-1】方程 表示双曲线的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·广东佛山·二模）已知方程 ，其中
．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-3】 “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高三·重庆·开学考试）设 为双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上的一
点，且 ，则 的面积为 .
【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为 ，过 的直线与左支交于 两点，若 ，且双曲
线的实轴长为 ，则 的周长为 .
【方法技巧】
||PF|−|PF||=2a
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即 1 2 ，在焦点三角形
1
面积问题中若已知角，则用
S
ΔPF 1 F 2
=
2
|PF
1
|¿|PF
2
|sinθ
，
||PF
1
|−|PF
2
||=2a
及余弦定理等知识；若未知
1
S = ⋅2c⋅|y |
ΔPF F 2 0
角，则用 1 2 ．【变式3-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，实轴长为 ， 为双曲线右支上
一点，且满足 ，则 的周长为 ．
【变式3-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交该双曲线于点 、 ，且
， ，则 的面积为 ．
【变式3-3】已知 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 交双曲线右支于 两点， 分别
是 和 的内切圆半径，则 的取值范围是 .
【变式3-4】（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线 上， ， 分别是双曲线C的左、
右焦点，若 的面积为45，则 ．
【变式3-5】（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为 ，其左右焦点分别为 ， ，已知
点P坐标为 ，双曲线C上的点 （ ， ）满足 ，设 的内
切圆半径为r，则 ， .题型四：双曲线上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两
条渐近线的距离之积为 ，则 上的点到焦点距离的最小值为 ．
【典例4-2】双曲线 的离心率是2，左右焦点分别为 为双曲线左支上一点，
则 的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式4-1】已知双曲线 ： 的左焦点为 ，且 是双曲线上的一点，则 的最小值为 .
【变式4-2】（2024·高三·浙江台州·期中）已知双曲线 ， 为左焦点，若 ，则双
曲线离心率为 ；若对于双曲线 上任意一点 ，线段 长度的最小值为 ，则实数 的值为 .
【变式4-3】已知 ､ 为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若
内切圆的圆心为 ，则圆心 到圆 上任意一点的距离的最小值为 .题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
【典例5-1】若点 是双曲线 右支上的一点，点 是圆 上的一点，点 是圆
上的一点，则 的最小值为 ．
【典例5-2】 P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的
点，则 的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，
如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】过双曲线 的右支上一点P，分别向圆 和圆 作
切线，切点分别为M，N，则 的最小值为 ；此时P点坐标为 ．
【变式5-2】 是双曲线 的左焦点， 是 右支上一点，过 作与直线 夹角为的直线，并与 相交于点 ，则 的最小值为 ．
【变式5-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，点A在
双曲线C的右支上，若 ，则 的最小值为 ．
【变式5-4】已知点 ，点P是双曲线 左支上的动点， 为其右焦点，N是圆
的动点，则 的最小值为 ．
【变式5-5】 P为双曲线 右支上一点，M，N分别是圆 和 上的点，
则 的最大值为 .
【变式5-6】已知双曲线的方程为 ，点 ， 是其左右焦点， 是圆 上的一点，
点 在双曲线的右支上，则 的最小值是 ．
【变式5-7】 P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的点，
则|PM|－|PN|的最大值为 .题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
x2 y2
【典例6-1】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ，焦距为 若双曲线
a2 b2
右支上存在点 ，使得 ，且 ，则双曲线 的离心率 （ ）.
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过点 作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，
则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式6-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴
垂直的直线交双曲线 于 两点.若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例7-1】已知双曲线 的右焦点为 ，若a，b，c成等比数列，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】若双曲线C： 的渐近线与圆 没有公共点，则双曲线C的
离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知双曲线C： 的上、下焦点分别为 ， ，P是C上支上的一点
（不在y轴上）， 与x轴交于点A， 的内切圆在边 上的切点为B，若 ，则C的离心
率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．方向3：利用 ，其中2c为焦距长，
【典例8-1】已知 分别是双曲线 的左､右焦点，斜率为 的直线 过 ，交
的右支于点 ，交 轴于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 斜率为 的直线与 的右
支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式8-1】已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P为双曲
线C上一点， 且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
方向4：坐标法
【典例9-1】已知双曲线 的左焦点为 为双曲线 的虚轴的一个端点，直线
与双曲线 交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 ．【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点
的直线交双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式9-1】（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的
一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ， 为原点，若以
为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的离心率为 .
【典例10-2】已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，过点 的直线与 交于
两点，且 ，现将平面 沿 所在直线折起，点 到达点 处，使面 面
，
若 ，则双曲线 的离心率为 ．【变式10-1】（2024·高三·湖南·开学考试）已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲
线 左支上一点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式10-2】已知 是双曲线 的焦点，点 是双曲线 上的动点，若
， ，则双曲线 的离心率为 .
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点
（点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．2
【典例11-2】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， 为双曲线右支上的一点，若
在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【变式11-1】已知 、 分别为双曲线C： 的左、右焦点，O为原点，双曲线上的
点P满足 ，且 ，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知双曲线 ，F为右焦点，过点F作 轴交双曲线于第一象限
内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当 取得最大值时，双曲线的离率为______．
【典例12-2】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶点为 、 ，若该
双曲线上存在点 ，使得直线 、 的斜率之和为 ，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【变式12-1】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺
天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 的部
分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为
4，则该双曲线离心率的取值范围为______．方向8：利用渐近线的斜率求离心率
【典例13-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为
A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
【典例13-2】若直线 与双曲线 有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】（2024·四川·一模）若双曲线 ： 的一条渐近线的斜率为 ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．【变式13-2】（2024·新疆·二模）过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线
作垂线，垂足为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向9：利用双曲线第三定义
【典例14-1】（多选题）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过点 作 的一条渐近线
的平行线交 于点 ，交另一条渐近线于点 .若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C．点 到两渐近线的距离的乘积为
D． 为坐标原点，则
【典例14-2】双曲线 的左右顶点为 ，过原点的直线 与双曲线 交于 两点，
若 的斜率满足 ，则双曲线 的离心率为_________．
【变式14-1】设直线 与双曲线 相交于 两点， 为 上不同于 的一点，
直线 的斜率分别为 ，若 的离心率为 ，则 （ ）A．3 B．1 C．2 D．
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与双曲线
，若在双曲线 上存在一点P，使得过点P所作的圆 的两条切线，切点为A，
B，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例15-2】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若
上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-1】已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
在 上，若 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可
求解出 的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
【典例16-1】（多选题）双曲线C： 的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对
称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线 与 的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【典例16-2】（多选题）（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知双曲线 ，则 的（ ）
A．焦点在 轴上 B．焦距为3
C．离心率为 D．渐近线为【方法技巧】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条
渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【变式16-1】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 的图象
是双曲线，设其焦点为 ，若 为其图象上任意一点，则（ ）
A． 是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点 是它的一个焦点 D．
【变式16-2】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦
点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周长为16
C． 的面积为 D．
【变式16-3】（多选题）下列关于双曲线 说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线 有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆 有同样的焦点
【变式16-4】（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线 的右顶点为A，右焦点为F，
双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5【变式16-5】（多选题）（2024·河北沧州·三模）已知 ， 分别为双曲线 的左、
右焦点， 为双曲线上第一象限内一点，且 ， ， 关于 的平分线的对称点
恰好在 上，则（ ）
A． 的实轴长为2
B． 的离心率为
C． 的面积为
D． 的平分线所在直线的方程为
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例17-1】（2024·高三·云南·阶段练习）设 两点的坐标分别为 ， ，直线 与 相交
于点 ，且它们的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例17-2】已知动圆P与圆M： ，圆N： 均外切，记圆心P的运动轨迹为
曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式17-1】过椭圆 右焦点F的圆与圆O： 外切，则该圆直径FQ的端点Q
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-2】已知动圆与圆 及圆 都外切，那么动圆圆心轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-3】设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于 的弦的端点，则直
线 与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．【变式17-4】已知圆 ，动圆 与圆 都外切，则动圆圆心
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-5】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 与直线 有唯一的公
共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 两点．当点 运动时，点
的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式17-6】（2024·广东·一模）如图，在矩形 中， 分别是矩形四条边的
中点，点 在直线 上，点 在直线 上， ，直线 与直线 相交于点
，则点 的轨迹方程为 .【变式17-7】已知圆 ，圆 ，若动圆M与圆 均外切，则动圆圆
心的轨迹方程为 .
【变式17-8】已知点 为圆 上的动点，点 ，延长 至 ，使得
，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，记 的轨迹为 .则 的方程为 .
【变式17-9】已知椭圆 的方程为 ，其左､右顶点分别为 ，一条垂直于 轴的直线 交椭圆
于 两点，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
【变式17-10】已知椭圆 ，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交
椭圆于C，D两点，且 ，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
题型九：双曲线的渐近线
【典例18-1】（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 作直线
与双曲线的左右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
【典例18-2】（2024·云南大理·模拟预测）抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为．
【方法技巧】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程
可得出a， b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b ．
【变式18-1】（2024·山东烟台·三模）已知双曲线 ： （ ， ）的渐近线方程为
，其右焦点为F，若直线 与 在第一象限的交点为P且 轴，则实数k的值为 .
【变式18-2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线 得右顶点 ，若对线段 上任意一点 ，
端点除外，在 上存在关于 轴对称得两点 、 使得三角形 为等边三角形，则正数 得取值范围是
．
【变式18-3】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过
的直线与 的两条渐近线分别交于 轴上方的 两点， 为原点，若直线 垂直平分 ，则
.
【变式18-4】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线 的左焦
点为F，过F的直线与 的左、右两支分别交于P，Q两点，且 ，则C的渐近线
方程为 .【变式18-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过右焦点
作其中一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，且直线 与另一条渐近线交于点 ，设 为坐标原点，则
的面积为 .
【变式18-6】（2024·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，离心率为 的双曲线
的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线上一点，且 轴，过点 作双曲
线 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于 ， 两点，若四边形 的面积为 ，则 的
面积为 .
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例19-1】已知椭圆 与双曲线 共焦点（记为 ， ），点 是该椭圆与双曲线的
一个公共点，则 的面积为 .
【典例19-2】设椭圆 双曲线 共焦点 ， ，离心率分别为 ， ，其中
．设曲线 ， 在第一、三象限的交点分别为点 ， ，若四边形 为矩形，则 ．
【方法技巧】椭圆离心率 与双曲线离心率 必定满足的关系式为： ．
【变式19-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐
近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为 ．
【变式19-2】（2024·宁夏中卫·三模）已知椭圆 与双曲线 共焦点，过椭
圆 上一点 的切线 与 轴、 轴分别交于 、 两点（ 、 为椭圆 的两个焦点）．又 为坐标原点，
当 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ．
① ；
②当点 在第一象限时坐标为 ；
③直线 的斜率与切线 的斜率之积为定值 ；
④ 的角平分线 （点 在 上）长为 ．
【变式19-3】（2024·陕西榆林·三模）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们在第一象限的交点为 ，设，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式19-4】已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）共焦点 ，
，过 引直线 与双曲线左、右两支分别交于点 ， ，过 作 ，垂足为 ，且 （ 为
坐标原点），若 ，则 与 的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式19-5】（多选题）如图， 是椭圆 与双曲线 在
第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．【变式19-6】（多选题）若 是椭圆 与双曲线 在第一
象限的交点，且 ， 共焦点 ， ， ， ， 的离心率分别为 ， ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． ， B．
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为2
题型十一：双曲线的实际应用
【典例20-1】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势
既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的
任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会
实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如
图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为 （ ），内部虚线为该
双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
【典例20-2】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经
过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且 与 垂直， ，若该双曲线的焦点
位于直线 上，则在点O以下的焦点距点O .【方法技巧】
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建
筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术
实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
【变式20-1】如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆 ，将篮
球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，
，设该双曲线的中心在原点，实轴在 轴上，则该双曲线的渐近线方程为 .
【变式20-2】如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面 ，水面宽 . 若水面下降 ，则水面宽
是 ．（结果精确到 ）【变式20-3】若 ､ ､ 是三个雷达观察哨， 在 的正东，两地相距 ， 在 的北偏东30°，两地
相距 ，在某一时刻， 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为 ， 后 ､ 两个观察
哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点 的坐标 .
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双
曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024年天津高考数学真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右
支上一点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向
一条渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
1．已知双曲线 与直线 有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交
x轴、y轴于 ， 两点．当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如
果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？2．设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，双曲线的渐近线的斜率小于
，求 和 的取值范围．
3．M是一个动点，MA与直线 垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线 垂直，垂足B位于第四
象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
4．设动点M与定点 的距离和M到定直线 的距离的比是 ，求动点M的轨迹方
程，并说明轨迹的形状．
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在
怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直
线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？易错点：双曲线焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。
若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与
x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知双曲线的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为
.
【易错题2】若双曲线的渐近线方程是 ，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或答题模板：求双曲线的标准方程
1、模板解决思路
求双曲线的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在 x 轴上还是在y轴上，再设出相应
的标准方程，由已知条件确定 的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断双曲线的焦点位置，设出双曲线的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出双曲线的方程.
【典型例题1】已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为6，且直线 与双曲线 的
右支有交点，则当双曲线 的离心率最小时，双曲线 的标准方程为 ．
【典型例题2】已知双曲线 的中心为原点，焦点在 轴上，焦距为8，且 的离心率与它的一条渐近线的
斜率之比恰好为2，则 的标准方程为 .
