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第 68 讲 圆锥曲线中的离心率问题
题组一、由概念与性质求圆锥曲线离心率值的问题
例1、（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，
该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
（ ， ）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 ，则该双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点
P，Q在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式2、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地
体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完
美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个
焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
题组二、由等量关系求圆锥曲线中离心率值的问题
例2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双
曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线
的离心率为
A． B． C．2 D．变式1、（2023·安徽·统考一模）已知直线 与椭圆 交于 两点，线段 中点
在直线 上，且线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则椭圆 的离心率是__________.
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线C：
的左，右焦点，过 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于点 ，点 在 轴上，
满足 ，且 经过 的内切圆圆心，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为
P，点Q在双曲线 上，且满 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
题组三、由不等关系求圆锥曲线中离心率的范围问题
例3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ，
是椭圆 与抛物线 的公共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭
圆 的离心率的最大值为______．
变式1、（2023·广东茂名·统考一模）已知直线 与双曲线 交于A，B两点
（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 的内心到y轴的距离不
小于 ，则双曲线C的离心率取值范围是______.
变式2、（2023·广东汕头·统考一模）过双曲线 上的任意一点 ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是___________.
题组四、由存在性求圆锥曲线中离心率的范围问题
例4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
(-c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、
右焦点分别为 ， ，若在C上存在点P（不是顶点），使得 ，则C的离心率的取值
范围为______．
变式2、（2023·广东·统考一模）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆 的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
