文档内容
第 06 讲 双曲线及其性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：双曲线的定义.....................................................................................................................4
知识点2：双曲线的方程、图形及性质.............................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：双曲线的定义与标准方程....................................................................................................8
题型二：双曲线方程的充要条件......................................................................................................13
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题..............................................................15
题型四：双曲线上两点距离的最值问题..........................................................................................20
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题......................................................................................23
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................27
方向1：利用双曲线定义去转换.......................................................................................................27
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式....................................................................29
方向3：利用 ，其中2c为焦距长， ..............................................................31
方向4：坐标法...................................................................................................................................33
方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................................................................34
方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................................................................37
方向7：利用基本不等式...................................................................................................................39
方向8：利用渐近线的斜率求离心率...............................................................................................41
方向9：利用双曲线第三定义...........................................................................................................43
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围 ...................................................................45
题型七：双曲线的简单几何性质问题..............................................................................................47
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................52
题型九：双曲线的渐近线..................................................................................................................60
题型十：共焦点的椭圆与双曲线......................................................................................................66
题型十一：双曲线的实际应用..........................................................................................................73
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................77
05课本典例·高考素材........................................................................................................................81
06易错分析·答题模板........................................................................................................................84
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全..............................................................................................84
答题模板：求双曲线的标准方程......................................................................................................86考点要求 考题统计 考情分析
双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总
2024年天津卷第8题，5分
体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物
2024年甲卷（理）第5题，5
（1）双曲线的定义与 线低，在高考中双曲线的试题以选填题为
分 2023 年甲卷（文）第 8
标准方程 主，解答题考查双曲线的可能性不大．在双
题，5分
（2）双曲线的几何性 曲线的试题中，离不开渐近线的考查，几乎
2023年天津卷第9题，5分
质 所有双曲线试题均涉及渐近线，因此双曲线
2023年北京卷第12题，5分
的试题中，最为重要的是三点：方程、渐近
2023年I卷第16题，5分
线、离心率．
复习目标：
（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
（2）掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）．
（3）了解双曲线的简单应用．知识点1：双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的轨迹叫做双曲线
（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当 时，点的轨迹是以 和 为端点的两条射线；当 时，点的轨迹是线段 的
垂直平分线．
（3） 时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ， 的值），注
意 的应用．
【诊断自测】双曲线 的左右焦点分别是 与 是双曲线左支上的一点，且 ，则
（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．3
【答案】B
【解析】 是双曲线 左支上的一点，
所以 ，解得： ，
由双曲线定义可知 ， ，所以 13.
故选：B.
知识点2：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质标准方程
图形
A
2
焦点坐标 ， ，
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为 ，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双
曲线方程
共渐近线的
双曲线方程
切线方程
为切点 为切点
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 换为 ， 换成
切线方程
便得．
为双曲线
切点弦所在
为双曲线外一点
外一点
直线方程
点 为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为 ， ， ．则弦长 ，
，其中“ ”是消“ ”后关于“ ”的一元二
次方程的“ ”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
双曲线上一点 与两焦点 构成的 成为焦点三角形，
设 ， ， ，则 ，
焦点三角形
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 离心率
等轴双曲线
两渐近线互相垂直 渐近线方程为 方程可设为
．
【诊断自测】（2024·山东济南·三模）已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的
渐近线，则双曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，故可设双曲线 的方程为
，
又因为 过点 ，所以 ，解得 ，
所以，双曲线 的标准方程是 ．
故选：A．
解题方法总结
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ；
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
（4）双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．若点
点
在双曲线 外，则点 对应切点弦方程为题型一：双曲线的定义与标准方程
【典例1-1】已知 ， 是平面内两个不同的定点，则“ 为定值”是“动点 的轨迹是以
， 为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：当“ 为定值”，但“ ”时，“动点 的轨迹不是
双曲线”，不满足充分性；
必要性：以 ， 为焦点的双曲线上的动点 满足“ 为定值”，满足必要性；
因此“ 为定值”是“动点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
故选：B.
【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线 经过点 ， 离心率为2，则 的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，双曲线的焦点在 轴上，
设双曲线的方程为 ，
因为双曲线C经过点 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线的标准方程为 .
故选：C
【方法技巧】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a， b ，c，即利用待定系数法
求方程．（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义
法求方程．
【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为 ，且渐近线方程为 ，则其标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 双曲线顶点在 轴上， 可设其方程为 ，
顶点坐标为 ，渐近线方程为 ，即 ，
，解得： ， 双曲线方程为： .
故选：A.
【变式1-2】化简方程 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，则由已知得 ，
即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数 ，又 ，且 ，
所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线.
设双曲线方程为： ，则 ，所以 ，
所以 ，所以双曲线方程为 ，
即化简方程 的结果是 .
故选：D.【变式1-3】双曲线C： 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线C上，且满足
，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题，设 ， ，因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，解得 ，
所以，双曲线 的标准方程为 ．
故答案为： ．
【变式1-4】（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线 与 有相同的渐近线，
且直线 过双曲线 的焦点，则双曲线 的标准方程为 .
【答案】
【解析】设双曲线 的半焦距为 ，直线 过双曲线 的焦点，所以双曲线 的右焦点为
，
所以 .因为 的渐近线方程为 ，所以 .
结合 ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 .
故答案为： .
【变式1-5】若双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且经过点 ，则双曲线C的标准方
程是 ．
【答案】【解析】由双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为 ，又C过点 ，
所以 ， ，
整理得双曲线C的标准方程是 ．
故答案为：
【变式1-6】已知双曲线 ，四点 、 、 、 中恰
有三点在 上，则双曲线 的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为点 、 关于原点对称，且双曲线 也关于原点对称，故点 、 都在双曲线 上，
对于点 ， ， ，所以， ，即点 不在双曲线 上，
所以，点 、 、 都在双曲线 上，所以， ，解得 ，
因此，双曲线 的标准方程为 .
故答案为： .
【变式1-7】（2024·江西南昌·一模）已知中心在原点的双曲线 的离心率为2，右顶点为 ，过 的左焦
点 作 轴的垂线 ，且 与 交于 ， 两点，若 的面积为9，则 的标准方程为 .
【答案】
【解析】设双曲线标准方程为
令 ，则 ，得 ，所以 ，
易知 ，所以 …①，又 …②， …③，联立①②③求解得： ，
所以双曲线方程为： .
故答案为：
【变式1-8】（1）若双曲线过点 ，离心率 ，则其标准方程为 ．
（2）若双曲线过点 ，渐近线方程是 ，则其标准方程为 ．
（3）若双曲线与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 ，则其标准方程为 ．
【答案】
【解析】（1）由 ，设 ，则 ， ．
设所求双曲线的方程为 ①或 ②，
把 代入①，得 ，与 矛盾，舍去；
把 代入②，得 ．
∴所求双曲线的标准方程为 ．
（2）由渐近线方程 ，可设所求双曲线的方程为 ①，
将点 的坐标代入①式，得 ，
∴所求双曲线的标准方程为 ．
（3）设所求双曲线的方程为 ，
点 在双曲线上，
∴ ，即 ，
∴双曲线的标准方程为 ．故答案为： ； ； .
题型二：双曲线方程的充要条件
【典例2-1】双曲线方程为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】由方程 表示双曲线，可得 ，
当 时，可得 ，解得 或 ；
当 时，可得 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：D.
【典例2-2】（2024·河北石家庄·二模）已知曲线 ，则“ ”是“曲线 的焦点
在 轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】当 时曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故充分性成立；
当 时曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，
故由曲线 的焦点在 轴上推不出 ，即必要性不成立；
所以“ ”是“曲线 的焦点在 轴上”的充分不必要条件.
故选：A
【方法技巧】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；表示圆方程的充要条件为： ．
【变式2-1】方程 表示双曲线的必要不充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如果方程 表示双曲线，则 ，解得： ，
则方程 表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含 ．
只有选项C满足题意．
故选： ．
【变式2-2】（2024·广东佛山·二模）已知方程 ，其中
．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】因为方程 ，其中 ，
所以当 时，方程为 ，即 是圆的方程，故方程可以
是圆的方程；
当 时，方程为 ，即 是抛物线的方程，故方程可
以是抛物线的方程；
当 时，方程为 ，即 是椭圆的标准方程，故方
程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有 ，这与 矛盾，故方程不
可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
【变式2-3】 “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程 表示双曲线，故 ，
故 ，
而 为 的真子集，
故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【典例3-1】（2024·高三·重庆·开学考试）设 为双曲线 的两个焦点，点 是双曲线上的一
点，且 ，则 的面积为 .
【答案】2
【解析】
解法一：如图，由 可知，
设 ，由定义
，
的面积为 .
解法二：如图， 的面积为 .
故答案为：2.
【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为 ，过 的直线与左支交于 两点，若 ，且双曲线的实轴长为 ，则 的周长为 .
【答案】
【解析】由双曲线的定义知 ， ，
两式相加得 ，又 ， ，
则 ，
故 的周长为 .
故答案为：
【方法技巧】
||PF|−|PF||=2a
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即 1 2 ，在焦点三角形
1
S = |PF|¿|PF|sinθ ||PF|−|PF||=2a
面积问题中若已知角，则用 ΔPF 1 F 2 2 1 2 ， 1 2 及余弦定理等知识；若未知
1
S = ⋅2c⋅|y |
ΔPF F 2 0
角，则用 1 2 ．
【变式3-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，实轴长为 ， 为双曲线右支上
一点，且满足 ，则 的周长为 ．
【答案】 /
【解析】因为双曲线的实轴长 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，则 ，
根据双曲线的定义可知， ，
所以 ，
解得， ，
所以 的周长为 ,
故答案为: .
【变式3-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交该双曲线于点 、 ，且
， ，则 的面积为 ．
【答案】
【解析】设 ，则根据题意可知 ， ，所以 ， ，又易知 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
解得 ，又 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
故答案为：
【变式3-3】已知 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 交双曲线右支于 两点， 分别
是 和 的内切圆半径，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，则 ，
设圆 与 分别切于点 ，连接 ，
由圆的切线的性质可得 ，
由双曲线的定义可知 ，即 ，
设 ，则 ，得 ，所以 ，
因为 轴，所以 的横坐标也为 ，同理可证得 的横坐标也为 ，
所以 轴，且 三点共线，
由三角形内切圆的性质可知 分别为 的角平分线，
所以 ，
所以 ∽ ，所以 ，因为 ，所以 ，得 ，
因为双曲线 的渐近线为 ，所以其倾斜角分别为 和 ，
因为直线 交双曲线右支于 两点，所以直线 的倾斜角的范围为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，
由对勾函数的性质可知 在 上递减，在 上递增，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是为 .
故答案为：
【变式3-4】（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线 上， ， 分别是双曲线C的左、
右焦点，若 的面积为45，则 ．
【答案】25
【解析】设P在双曲线右支上，则 ，
由余弦定理得，
所以 ，
又
所以 ，解得 ，结合 ，
则 ，
，
又 ，
故 ，
故 .
故答案为：25
【变式3-5】（2024·广西·模拟预测）已知双曲线C的方程为 ，其左右焦点分别为 ， ，已知
点P坐标为 ，双曲线C上的点 （ ， ）满足 ，设 的内
切圆半径为r，则 ， .
【答案】 2 18
【解析】
设 的内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，
则 ，在双曲线右支上，由双曲线定义得 ，展开即得，
，
又 ，故 ，因 ，则得 ，
即 内切圆的圆心横坐标为 ，
由 ，得 ，
可得 ，即 为 的角平分线，
由于点 坐标为 ， 内切圆的圆心横坐标为 ，
则 即为 内切圆的圆心， 为切点，则内切圆半径为 ；
.
故答案为：2；18.
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
【典例4-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是双曲线 上任意一点，若 到 的两
条渐近线的距离之积为 ，则 上的点到焦点距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】所求的双曲线方程为 ，则渐近线方程为 ，
设点 ，则 ，
点 到 的两条浙近线的距离之积为 ，
解得： ，故双曲线 方程为： ，
故 ，故双曲线 上的点到焦点距离的最小值为 ．
故答案为： ．【典例4-2】双曲线 的离心率是2，左右焦点分别为 为双曲线左支上一点，
则 的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由焦半径公式得 ， ，则当 时，
.
故选：C.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化．
【变式4-1】已知双曲线 ： 的左焦点为 ，且 是双曲线上的一点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ，且 ， ，
又 ，
又 或 ，
所以
即 的最小值为 ，当点 为双曲线左定点时去最小值.
故答案为： .
【变式4-2】（2024·高三·浙江台州·期中）已知双曲线 ， 为左焦点，若 ，则双
曲线离心率为 ；若对于双曲线 上任意一点 ，线段 长度的最小值为 ，则实数 的值为 .
【答案】
【解析】由 ，根据双曲线的性质，求出半焦距 ，即可得出离心率；根据双曲线的性质，由线段长度的最小值为 ，得出 ，即可求出结果.因为双曲线 ，
若 ，则 ，所以 ，因此双曲线的离心率为 ；
因为 为左焦点，所以 ，其中 ，
若对于双曲线 上任意一点 ，为使线段 的长度最小，则点 必在该双曲线的左支上，设 ，
则 ， ，
所以
，因此 ，解得 .
故答案为： ； .
【变式4-3】已知 ､ 为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若
内切圆的圆心为 ，则圆心 到圆 上任意一点的距离的最小值为 .
【答案】1
【解析】设 内切圆与 的三边 ､ ､ 的切点分别为 ､ ､ ，根据圆的切线性质，可
得 ，即可得答案.由双曲线 ，则 .
设 内切圆与 的三边 ､ ､ 的切点分别为 ､ ､ ，
根据圆的切线性质，可得 ，
又因为 ，∴ ，即 ，
∴内切圆圆心 在直线 上.又因为圆 的圆心为 ，半径 ，
∴圆心 到圆 上任意一点的距离的最小值为 .
故答案为：1
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
【典例5-1】若点 是双曲线 右支上的一点，点 是圆 上的一点，点 是圆
上的一点，则 的最小值为 ．【答案】 /
【解析】双曲线 ，则 ， ，所以 ，设右焦点为 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
圆 ，圆心为 ，半径 ，
且 恰为双曲线的左焦点， ，
又点 是双曲线 右支上的一点，则 ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线（ 在 之间）时取等号.
故答案为：
【典例5-2】 P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的
点，则 的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】易得双曲线 的焦点分别为 (-5，0)， (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意
可得，当且仅当P与M、 三点共线以及P与N、 三点共线时所求的值最大，此时 =
【方法技巧】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，
如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
【变式5-1】过双曲线 的右支上一点P，分别向圆 和圆 作
切线，切点分别为M，N，则 的最小值为 ；此时P点坐标为 ．【答案】 13
【解析】
圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ．
设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，连接 ， ， ， ，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即 的最小值为13，
此时P点坐标为 ．
故答案为：
【变式5-2】 是双曲线 的左焦点， 是 右支上一点，过 作与直线 夹角为
的直线，并与 相交于点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】过 作 的垂线，垂足为 ，如图，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，
设 的右焦点为 ，则 ，
到 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立．
故答案为： .【变式5-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，点A在
双曲线C的右支上，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】依题意， ，即 .
所以 ,解得 ，
所以 ， ，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以 ，即 ，
所以 .
当且仅当点 在线段 上时等号成立.
故答案为： .
【变式5-4】已知点 ，点P是双曲线 左支上的动点， 为其右焦点，N是圆
的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为双曲线的焦点为 ,
圆 的圆心 ,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当 三点共线时取等号)，
(当且仅当 , , 三点共线时取等号),
，
的最小值为 .
故答案为： .【变式5-5】 P为双曲线 右支上一点，M，N分别是圆 和 上的点，
则 的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点 ， 分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为 ， ，易知 ， ，
故 的最大值为 .
故答案为：5
【变式5-6】已知双曲线的方程为 ，点 ， 是其左右焦点， 是圆 上的一点，
点 在双曲线的右支上，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】由题意可得， ，即 ，则 ， 的坐标分别为 ， ，
由双曲线的定义，得 ，
又 是圆 上的点，设圆的圆心为 ，半径为 ，
由图可知， ，
所以 ，
当且仅当 、 、 、 四点共线（ 、 在 之间）时取等号，所以 的最小值为 .
故答案为：
【变式5-7】 P是双曲线 的右支上一点，M、N分别是圆 和 上的点，
则|PM|－|PN|的最大值为 .
【答案】 /
【解析】设双曲线的左右焦点为 ，则 ，圆 的圆心为 ，半
径为 .圆 的圆心为 ，半径为 ，由圆的对称性可得 ，
，所以 ，即|PM|－|PN|的最大值为 .
故答案为：
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
x2 y2
【典例6-1】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ，焦距为 若双曲线
a2 b2
右支上存在点 ，使得 ，且 ，则双曲线 的离心率 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的定义可知得
因为 ， ，
设 ，则 ，
，
，
为直角三角形
，
，即 ，，
故选：D
【典例6-2】（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，过点 作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，
则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，由 ，
得 ，即 的平分线与直线PQ垂直，
设 的平分线 与直线PQ交于点D，如图，
则 ， ，又 ，
所以 ，所以 ， ．
由题得 ， ，设 ， ， ，
在 中， ， ，则 ， ，
由双曲线的性质可得 ，解得 ，
则 ，所以在 中， ，
又 ， ，所以 ，即 ，整理得 ，所以 ．
故选：A
【变式6-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴
垂直的直线交双曲线 于 两点.若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 为等边三角形，则 ， ，
又 ，
所以双曲线 的离心率 .
故选：A
方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例7-1】已知双曲线 的右焦点为 ，若a，b，c成等比数列，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，则有 ，
即 ，解得 ，
又 ，故 .
故选：C.【典例7-2】若双曲线C： 的渐近线与圆 没有公共点，则双曲线C的
离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 双曲线渐近线为 ，且与圆 没有公共点，
所以圆心到渐近线的距离大于半径，即 ， ， ， ．
故选：B．
【变式7-1】已知双曲线C： 的上、下焦点分别为 ， ，P是C上支上的一点
（不在y轴上）， 与x轴交于点A， 的内切圆在边 上的切点为B，若 ，则C的离心
率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设该内切圆在 上的切点分别为D，E，则有 ， ， ，
又 ， ，则 ，即 ，解得 ，
由 ，即 ，得 ，所以 ．
故选：A方向3：利用 ，其中2c为焦距长，
【典例8-1】已知 分别是双曲线 的左､右焦点，斜率为 的直线 过 ，交
的右支于点 ，交 轴于点 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，由题可知 ，
又因为 ，所以 ，
因为直线 的斜率为 ，所以 ，
设 为 的中点，连接 ，易知 ，
所以 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的离心率为 ．
故选：A.
【典例8-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 斜率为 的直线与 的右
支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如图，设 交y轴与A，A为 的中点，因为O为 的中点，故 为 的中位线，
则 ，而 ，则 ,
因为直线 的斜率为 ，故 中， ，
故设 ，则 ，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有 ，
则 ，
故选：C
【变式8-1】已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两个焦点，P为双曲
线C上一点， 且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意可得： ，
因为 ，整理得 .
故选：D.
方向4：坐标法
【典例9-1】已知双曲线 的左焦点为 为双曲线 的虚轴的一个端点，直线
与双曲线 交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设双曲线 的右焦点为 为坐标原点，由 ，得 是 的中点，在 中， 为中位线，则 ，即 轴，不妨设点 在第一象限，
由 ，解得 ， ， ，
所以 .
故答案为：
【典例9-2】（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点
的直线交双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意， ，设 ，则 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 在 双曲线上，所以 ，
结合 整理得 ，所以 ，
解得 或 （舍去），由 ，解得 .
故选：A
【变式9-1】（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的
一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．【答案】B
【解析】由题意可知： ，则 ，
不妨取一条渐近线为 ，则 ，
联立方程 ，解得 ，
由对称性可知：点 为线段 的中点，
则 ，
即 ，解得 ，则 ，
所以C的离心率为 .
故选：B.
方向5：找几何关系，利用余弦定理
【典例10-1】已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ， 为原点，若以
为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的离心率为 .
【答案】2
【解析】由以 为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，可得 ，又 ，
在 中，由余弦定理 ，得 ，所以 ，
根据直线OP为渐近线可得 ，所以 ，离心率 .故答案为：2.
【典例10-2】已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，过点 的直线与 交于
两点，且 ，现将平面 沿 所在直线折起，点 到达点 处，使面 面
，
若 ，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】
由题意， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，且 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，
所以由余弦定理有 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 或 ，又离心率 ，
所以 ，
故答案为： .
【变式10-1】（2024·高三·湖南·开学考试）已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲
线 左支上一点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得
，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，故双曲线 的离心率 .
故选：D.
【变式10-2】已知 是双曲线 的焦点，点 是双曲线 上的动点，若
， ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【解析】设 ，又 ， ，
中，由余弦定理有 ，
即 ，解得 ，
则 ， ，
由双曲线定义 ，
解得 ．∴双曲线的离心率 ．故答案为： ．
方向6：找几何关系，利用正弦定理
【典例11-1】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点
（点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵ ，则离心率 ，则排除A；
记 ， ， ，
则 ，
由正弦定理结合分比定理可知： ，
则 ，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
【典例11-2】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， 为双曲线右支上的一点，若
在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .
故选：D.
【变式11-1】已知 、 分别为双曲线C： 的左、右焦点，O为原点，双曲线上的
点P满足 ，且 ，则该双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为 ， 分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到 ，
又因为 得 ，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
所以 ，
化简得 .
故选：D.方向7：利用基本不等式
【典例12-1】已知双曲线 ，F为右焦点，过点F作 轴交双曲线于第一象限
内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当 取得最大值时，双曲线的离率为______．
【答案】
【解析】如图，
根据题意 ， ， ，
∴ ， ，
设直线 的倾斜角为 ，
∴ ，
当且仅当 时等号成立，
即 ， ， ，又
∴ ，
故答案为： ．
【典例12-2】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右顶点为 、 ，若该
双曲线上存在点 ，使得直线 、 的斜率之和为 ，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】设点 ，其中 ，易知点 、 ，且有 ，则 ，，
当点 在第一象限时， ， ，则 ， ，且 ，
由基本不等式可得 ，
因为存在点 ，使得直线 、 的斜率之和为 ，则 ，即 ，
.
故答案为： .
【变式12-1】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺
天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 的部
分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为
4，则该双曲线离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设点 ，其中 ，
易知点 ， ，且有 ，则 ，
，
当点P在第一象限时， ， ，
则 ， ，且 ，
由基本不等式可得 ，
∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，则 ，即 ，
.
∴
故答案为： ．
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
【典例13-1】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为
A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
【答案】A
【解析】由题意得 ，渐近线 ,
将 代入得 坐标为 ,所以 ,
因为 轴，所以 ,
由已知可得 ,
两边同时除以 得 ,
所以 ，即 ，
解得 ,所以 ，
而双曲线的离心率 ，
故选：A.
【典例13-2】若直线 与双曲线 有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意： 的斜率要小于双曲线渐近线 的斜率，
所以 .
故选:：D
【变式13-1】（2024·四川·一模）若双曲线 ： 的一条渐近线的斜率为 ，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，由题知 ，
所以离心率 ，
故选：B.
【变式13-2】（2024·新疆·二模）过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线
作垂线，垂足为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，知双曲线 的渐近线方程为 ．
设双曲线 的半焦距为 ，则右焦点 到渐近线的距离 ．
设点 ，则 ，即 ．
又 ，
所以 ，
解得 ．故选：A．
方向9：利用双曲线第三定义
【典例14-1】（多选题）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过点 作 的一条渐近线
的平行线交 于点 ，交另一条渐近线于点 .若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C．点 到两渐近线的距离的乘积为
D． 为坐标原点，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，不妨设过左焦点F的直线与直线 平行，交C于点A.
对于A：设双曲线半焦距为c，过点 与直线 平行的直线的方程为 ，与
联立，解得 ，
设 ，由 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线 的离心率为 ，故选项A正确；
对于B：由 ，可得 ，所以 ，
所以渐近线方程为 ，故选项B正确；
对于C：A到两渐近线距离的乘积 ，故选项C错误；
对于D： ，所以 ，
所以 ，故选项D正确．
故选：ABD.
【典例14-2】双曲线 的左右顶点为 ，过原点的直线 与双曲线 交于 两点，
若 的斜率满足 ，则双曲线 的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意知： ， ，
若 为坐标原点，则 ， ， 四边形 为平行四边形，
，即 ， ；
设 ，则 ，
，
双曲线 的离心率 .
故答案为： .
【变式14-1】设直线 与双曲线 相交于 两点， 为 上不同于 的一点，
直线 的斜率分别为 ，若 的离心率为 ，则 （ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知点 关于原点对称，设 ，则有 ， ，
都在双曲线上，有 ， ，两式相减得 ，
则 ，得 ，即 ，
又由 ，则 .
故选： .方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
【典例15-1】（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与双曲线
，若在双曲线 上存在一点P，使得过点P所作的圆 的两条切线，切点为A，
B，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】连接 、 、 ，则 ， ，
由切线长定理可知， ，又因为 ，
所以， ，所以， ，
则 ，
设点 ，则 ，且 ，所以，
，
所以， ，故 .
故选：B.
【典例15-2】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若
上存在点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以离心率 ，又双曲线的离心率大于1，所以 ．
故选：D．
【变式15-1】已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义可得 ，
因为 ，所以 ， ，
因为点 在双曲线的右支上，所以 ，即 ，
所以 ，所以离心率 ，
所以双曲线的离心率 的最大值为 ，
故选：B.
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点
在 上，若 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，不妨设点 在 的右支上，由双曲线的定义可得 ，
即 ，
由 ，可得 ，即 ，
又由 的最小值为 （当点P为双曲线右顶点时取得最小值），可得 ，即 ．
当 ，即 时，显然成立；当 ，即 时， ，可得 ．
综上可知，双曲线 的离心率的取值范围为 ．
故选：D.
【方法技巧】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可
求解出 的值或其范围．具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
【典例16-1】（多选题）双曲线C： 的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对
称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线 与 的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】BCD
【解析】对于A，C的焦点和顶点分别为 ，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 ，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率为 ，故B正确；
对于C，显然 异于 ，不妨设 ，
注意到 都在双曲线 上面，且 ，所以直线 与 的斜率之积为 ，故C正确；
对于D，双曲线C： 的一个焦点、一条渐近线可以分别是 ， ，
而点 到直线 的距离是 ，故D正确.
故选：BCD.
【典例16-2】（多选题）（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知双曲线 ，则 的（ ）
A．焦点在 轴上 B．焦距为3
C．离心率为 D．渐近线为
【答案】AC
【解析】因为双曲线 ，
所以 的标准方程为 ，
故焦点在 轴上， ，
故焦距为 ，离心率为 ，渐近线为 ，
故A，C正确，B，D错误.
故选：AC
【方法技巧】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条
渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
【变式16-1】（多选题）（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 的图象
是双曲线，设其焦点为 ，若 为其图象上任意一点，则（ ）
A． 是它的一条对称轴 B．它的离心率为
C．点 是它的一个焦点 D．
【答案】ABD
【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为 ，
容易知道 是实轴， 是虚轴，坐标原点是对称中心，
联立实轴方程 与反比例函数表达式 得实轴顶点 ，
所以 ，其中一个焦点坐标应为 而不是 ，由双曲线定义可知 ．
故选：ABD.
【变式16-2】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线 的焦
点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周长为16
C． 的面积为 D．
【答案】AB
【解析】由已知，双曲线右焦点 ，即 ，故A项正确．且抛物线方程为 ．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程 ，
整理可得． ，解得 或 （舍去负值），
所以 ，代入 可得， ．
设 ，又 ，所以 ， ， ，则 的
周长为16，故B项正确；
对于C项，易知 ，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得， ，故D项错误．
故选：AB
【变式16-3】（多选题）下列关于双曲线 说法正确的是（ ）
A．实轴长为6 B．与双曲线 有相同的渐近线
C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆 有同样的焦点【答案】ABD
【解析】由题意，双曲线 满足 ，即 ，于是 ，故A选项正确；
双曲线的焦点在 轴上，故渐近线方程为： ，而双曲线 焦点也在 轴，
故渐近线为 ，即它们渐近线方程相同，B选项正确；
焦点为 ，不妨取其中一个焦点 和一条渐近线 ，
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为： ，C选项错误；
椭圆 的焦点为 ，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.
故选：ABD
【变式16-4】（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线 的右顶点为A，右焦点为F，
双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【解析】设 ，则 ， ， ，
则 ，得 或 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ．
故选：AB．
【变式16-5】（多选题）（2024·河北沧州·三模）已知 ， 分别为双曲线 的左、
右焦点， 为双曲线上第一象限内一点，且 ， ， 关于 的平分线的对称点
恰好在 上，则（ ）
A． 的实轴长为2
B． 的离心率为C． 的面积为
D． 的平分线所在直线的方程为
【答案】ACD
【解析】由题意，
在 中，
∵ 关于 的平分线的对称点 恰好在 上，
∴ ， ， 三点共线，且 ，
∵ ，∴ .
设 ， ，
根据双曲线定义可得 ， ，
解得 ， ，即 ，∴ .
在 中，根据勾股定理可得， ，解得 ，
∴ 的实轴长为2，所以A正确；
又 ， ，∴ 的离心率为 ，所以B不正确；
的面积为 ，∴C正确；
∵ ，∴ ，
∵ ，易得 的平分线的倾斜角为 ，
∴ 的平分线所在直线的方程为 ，即 ，所以D正确.
故选：ACD.
题型八：利用第一定义求解轨迹
【典例17-1】（2024·高三·云南·阶段练习）设 两点的坐标分别为 ， ，直线 与 相交
于点 ，且它们的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】设点 ，则 的斜率为 ， 的斜率为 ，
故 ，
所以 ，故D正确.
故选：D
【典例17-2】已知动圆P与圆M： ，圆N： 均外切，记圆心P的运动轨迹为
曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圆M： ，得圆心 ，半径 ，
由圆N： ，得圆心 ，半径 ．
设圆P的半径为r，则有 ， ．
两式相减得 ，
所以圆心P的运动轨迹为以 、 为焦点的双曲线的左支，
又 ，所以C的方程为 ．
故选：B．
【方法技巧】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
【变式17-1】过椭圆 右焦点F的圆与圆O： 外切，则该圆直径FQ的端点Q
的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆 ，得椭圆半焦距 ，即有 ，则椭圆的左焦点
为 ，
设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，
由圆O与圆C外切，得 ，又 ， ，
则 ，
因此Q的轨迹是以 、F为焦点，实轴长 的双曲线的右支，即 ， ，
所以双曲线方程： ．
故选：C
【变式17-2】已知动圆与圆 及圆 都外切，那么动圆圆心轨迹方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆 ： ，圆心 ，半径 ，
圆 ： ，圆心 ，半径 ，
设动圆圆心 ，半径为 ，由动圆 与圆 ， 都外切，
得 ，则 ，
因此圆心 的轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲线左支，即 ，半焦距 ，虚半轴长 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程是 .
故选：B
【变式17-3】设 是椭圆 与x轴的两个交点， 是椭圆上垂直于 的弦的端点，则直
线 与 交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，设直线 与 的交点为 ，则
∵ 共线，故 ①，又∵ 共线，故 ②.
由①，② 两式相乘得 （*）,
因 在椭圆 上，则 ，可得： 将其代入（*）式，即得：
，
化简得： ，即P的轨迹方程为 .
故选：C.
【变式17-4】已知圆 ，动圆 与圆 都外切，则动圆圆心
的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由题可得圆 圆心 ，半径为 ；圆 圆心(2,0)，半径为
由图设动圆P与圆 ，圆 外切切点分别为A，B.则 共线， 共线.
则 ，注意到 ，
则 ，又 ，则点P轨迹为以 为焦点双曲线的右支.
设双曲线方程为： ，由题可得 .
故相应轨迹方程为： .
故选：A
【变式17-5】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线 与直线 有唯一的公
共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 两点．当点 运动时，点
的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，
所以直线 与双曲线相切，
联立 ，消去 并整理得 ，所以 ，即 ，
将 代入 ，得 ，
得 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，即 ，
由 可知 ，
所以过点 且与 垂直的直线为 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
则 ， ，
由 ，得 ， ，
代入 ，得 ，即 ，
故选：D
【变式17-6】（2024·广东·一模）如图，在矩形 中， 分别是矩形四条边的
中点，点 在直线 上，点 在直线 上， ，直线 与直线 相交于点
，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.
因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以直线 的方程为 ①，
因为 ，所以直线 的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点 可到达 ，但不可到达 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
【变式17-7】已知圆 ，圆 ，若动圆M与圆 均外切，则动圆圆
心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径 ，
设动圆 的半径为 ，由动圆 与圆 ， 都外切，得 ，
则 ，因此 点的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设方程为 ，则 ，
所以M的轨迹方程为 .
故答案为： .
【变式17-8】已知点 为圆 上的动点，点 ，延长 至 ，使得
，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，记 的轨迹为 .则 的方程为 .
【答案】【解析】连接 ，如下图所示：
因为 为 的中点，所以 ，
由垂直平分线的性质可知： ，
所以 ，
所以 的轨迹是以 为焦点且实轴长为 的双曲线，
所以 ，所以 ，
所以轨迹方程为 ，
故答案为： .
【变式17-9】已知椭圆 的方程为 ，其左､右顶点分别为 ，一条垂直于 轴的直线 交椭圆
于 两点，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知 ，
设直线 为 ， ，
由 三点共线及B,F,M三点共线，
得 ，两式相乘化简，得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
【变式17-10】已知椭圆 ，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交
椭圆于C，D两点，且 ，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设直线l的方程为 ，直线m的方程为 ，
所以 ，
不妨设点 ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
故答案为：题型九：双曲线的渐近线
【典例18-1】（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 作直线
与双曲线的左右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为 ，连接 ，
由 关于原点对称， 也关于原点对称，可知四边形 是平行四边形，
又 ， ，则有 ， ，
又由双曲线的定义得 ，解得 ，
再由余弦定理： ，
即 ，得 ，
再由 ，
故渐近线方程为： ，
故答案为： .
【典例18-2】（2024·云南大理·模拟预测）抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为
．
【答案】 /0.5【解析】抛物线 ，即 的焦点为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
所以点 到直线 的距离 ．
故答案为：
【方法技巧】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程
可得出a， b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件．另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长 b ．
【变式18-1】（2024·山东烟台·三模）已知双曲线 ： （ ， ）的渐近线方程为
，其右焦点为F，若直线 与 在第一象限的交点为P且 轴，则实数k的值为 .
【答案】
【解析】因为双曲线 ： （ ， ）的渐近线方程为 ，依题意有 ，
即 ，又右焦点为F(c,0)，且 轴，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
【变式18-2】（2024·上海奉贤·三模）若曲线 得右顶点 ，若对线段 上任意一点 ，
端点除外，在 上存在关于 轴对称得两点 、 使得三角形 为等边三角形，则正数 得取值范围是
．
【答案】
【解析】由任意点 线段 上，端点除外，在 上存在关于 轴对称得两点 使得 为等边三角形，即存在点 使得 ，所以存在点 使得 ，
由双曲线 的其中一条渐近线方程为 ，
则满足 的斜率大于或等于 ，即 ，所以 ，
又由 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【变式18-3】（2024·河南·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过
的直线与 的两条渐近线分别交于 轴上方的 两点， 为原点，若直线 垂直平分 ，则
.
【答案】
【解析】
因为 垂直平分 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故 ，
因为 分别为 ， 的中点，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
【变式18-4】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）设O为坐标原点，双曲线 的左焦
点为F，过F的直线与 的左、右两支分别交于P，Q两点，且 ，则C的渐近线
方程为 .
【答案】
【解析】如图所示，由 ，不妨设 ，则 ，
双曲线 的右焦点为 ，由双曲线的定义可知， ，
由 得， ，则 ，①
在 中， ，②
在 中， ，③
由①②得， ，所以 ，④
由①③得， ，所以 ，⑤
由④⑤得 ，故 ，
故 的渐近线方程为 .
故答案为：
【变式18-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过右焦点作其中一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，且直线 与另一条渐近线交于点 ，设 为坐标原点，则
的面积为 .
【答案】
【解析】由题意，得双曲线 的渐近线方程为 .
不妨设直线 为过右焦点 且与渐近线 垂直的直线，
则直线 的方程为 ，联立 ，
解得 ，即 .
同理，联立 ，解得 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
【变式18-6】（2024·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，离心率为 的双曲线
的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线上一点，且 轴，过点 作双曲
线 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于 ， 两点，若四边形 的面积为 ，则 的
面积为 .
【答案】【解析】由已知得 ，所以 ，且 ，
所以双曲线 的两条渐近线是 ，所以四边形 是矩形，
且
所以四边形 的面积 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
故得解.
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例19-1】已知椭圆 与双曲线 共焦点（记为 ， ），点 是该椭圆与双曲线的
一个公共点，则 的面积为 .
【答案】
【解析】因为椭圆 与双曲线 共焦点，
所以有 ，
因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，
所以不妨设点 是在第一象限，左、右焦点分别为 ， ，
设 ，由椭圆和双曲线的定义可知： ，
由余弦定理可知： ，所以有 ，
因此 的面积为 ，
故答案为：
【典例19-2】设椭圆 双曲线 共焦点 ， ，离心率分别为 ， ，其中
．设曲线 ， 在第一、三象限的交点分别为点 ， ，若四边形 为矩形，则 ．
【答案】
【解析】如图所示：
由椭圆和双曲线的定义得 ，
设 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
又因为 ，解得 ．
故答案为：
【方法技巧】椭圆离心率 与双曲线离心率 必定满足的关系式为： ．
【变式19-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐
近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
【变式19-2】（2024·宁夏中卫·三模）已知椭圆 与双曲线 共焦点，过椭圆 上一点 的切线 与 轴、 轴分别交于 、 两点（ 、 为椭圆 的两个焦点）．又 为坐标原点，
当 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ．
① ；
②当点 在第一象限时坐标为 ；
③直线 的斜率与切线 的斜率之积为定值 ；
④ 的角平分线 （点 在 上）长为 ．
【答案】①④
【解析】对于①，双曲线 的焦点坐标为 ，所以， ， ， ，①正确；
对于②，由于椭圆的对称性，设点 为第一象限内的点，
设点 ，则 ，先证明椭圆 在其上一点 处的切线方程为 .
联立 ，可得 ，即 ，解得 .
所以，椭圆 在其上一点 处的切线方程为 .
所以点 、 ，由基本不等式可得 ，可得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，此时 ， ，②错误；
对于③， ， ，所以， ，③错误；
对于④，以 为直径的圆的方程为 ，
，则点 在圆 上，则 ，
，由等面积法可得 ，解得 .
故答案为：①④.
【变式19-3】（2024·陕西榆林·三模）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们在第一象限的交点为 ，设，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，交点 到两焦点的距离分别为 ，焦
距为 ，利用余弦定理得到 ，再根据椭圆和双曲线的定义，得到 ，
代入求解.设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，
交点 到两焦点的距离分别为 ，焦距为 ，
则 ，
又 ， ，故 ， ，
所以 ，
化简得 ，
即 .
故选：B
【变式19-4】已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）共焦点 ，
，过 引直线 与双曲线左、右两支分别交于点 ， ，过 作 ，垂足为 ，且 （ 为
坐标原点），若 ，则 与 的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
故焦点坐标为 、 ，
则椭圆的离心率为 ，
由 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，由 为 中点，故 ， ，
由 ，故 ，
则 ， ，
由双曲线定义可知， ，
故 ，则离心率为 ，
故 与 的离心率之和为 .
故选：B.
【变式19-5】（多选题）如图， 是椭圆 与双曲线 在
第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．
【答案】ABD【解析】对于A，椭圆 ，双曲线 ，
由椭圆､双曲线的定义可知， ，解得 ，故A正确；
对于B，令 ，
由余弦定理得 ，
当 时， ，即 ，因此 ，故B正确；
当 时， ，即 ，有 ，
而 ，则有 ，解得 ，故C错误；
，
，解得 ，
而 ，因此 ，故D正确.
故选：ABD.
【变式19-6】（多选题）若 是椭圆 与双曲线 在第一
象限的交点，且 ， 共焦点 ， ， ， ， 的离心率分别为 ， ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． ， B．
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值为2【答案】BC
【解析】依题意， ，解得 ，A不正确；
令 ，由余弦定理得： ，
因为在椭圆 中 ，在双曲线 中， ，
所以 ，故B选项正确；
当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以， ，故C选项正确；
当 时， ，即 ，
所以， ，有 ，
因为 ，
所以， ，解得 ，D不正确；
故选：BC
题型十一：双曲线的实际应用
【典例20-1】（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势
既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的
任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会
实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如
图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为 （ ），内部虚线为该
双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．【答案】
【解析】如图所示，双曲线 ，其中一条渐近线方程为 ，
由直线 ，其中 ，
联立方程组 ，解得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以截面圆环的面积为 ，即旋转面的面积为 ，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为 ，高为3的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为 .
故答案为： .
【典例20-2】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O为双曲线的一支的顶点.小明经
过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且 与 垂直， ，若该双曲线的焦点
位于直线 上，则在点O以下的焦点距点O .【答案】
【解析】设该双曲线的方程为 .
因为渐近线相互垂直，所以 .
由题意知， ，
解得 ，
故该双曲线的一个焦点位于点O以下 .
故答案为：
【方法技巧】
双曲线在实际应用中展现出多样性和重要性.在光学领域，其反射特性被用于设计高精度望远镜；在建
筑方面，双曲线冷却塔优化了流体流动，提高了能源效率；此外，在通信和导航系统中，双曲线定位技术
实现了精准定位.这些应用体现了双曲线在科学技术和工程实践中的广泛价值和深远影响.
【变式20-1】如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，篮球的外形轮廓为圆 ，将篮
球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，
，设该双曲线的中心在原点，实轴在 轴上，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】根据题意，设双曲线的方程为 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，
所以 在双曲线上，
代入 可得 ，解得 ，
所以双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【变式20-2】如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面 ，水面宽 . 若水面下降 ，则水面宽
是 ．（结果精确到 ）
【答案】
【解析】以双曲线的对称轴为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线方程为 ，
顶点为 ， ，
将点 的坐标代入双曲线方程得， ，解得 ，
水面下降 米后，即 ，
代入双曲线方程得 ，解得 ，
宽度为 .
故答案为： .
【变式20-3】若 ､ ､ 是三个雷达观察哨， 在 的正东，两地相距 ， 在 的北偏东30°，两地
相距 ，在某一时刻， 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为 ， 后 ､ 两个观察
哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点 的坐标 .【答案】
【解析】由题意，点 ， ， 即 ，
则线段 的中点为 ，直线 的斜率 ，
所以线段 的垂直平分线的斜率 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 即 ，
设 ，由 可得点 在线段 的垂直平分线上，
又 ，所以点 在以 ､ 为焦点的双曲线的左支上，
该双曲线的方程为 ，
所以 ，解得 .
所以点 的坐标为 .
故答案为： .1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双
曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.
2．（2024年天津高考数学真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右
支上一点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .
故选：C
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一
条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的渐近线为 ，
当渐近线为 时，圆心 到该渐近线的距离 ，不合题意；
当渐近线为 时，则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段
AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 的中点 ，可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D1．已知双曲线 与直线 有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交
x轴、y轴于 ， 两点．当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如
果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
【解析】联立方程 可得 ，
因为有唯一公共点且 ，则 ，
整理得 ，可解得点 坐标为 ，即 ，其中 ，
于是，过点M且与l垂直的直线为 ，
可得 ，即 ，
则 ，即 ，其中 ，
所以点 的轨迹方程是 （ ），轨迹是焦点在 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双
曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线 ，直线 ，其它条件不变，可得点
的轨迹方程是 ，轨迹是焦点在 轴上，实轴长为 ，虚轴
长为 的双曲线（去掉两个顶点）.
2．设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ， ，双曲线的渐近线的斜率小于
，求 和 的取值范围．
【解析】设椭圆和双曲线的焦半径分别为 ，由题意得双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
3．M是一个动点，MA与直线 垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线 垂直，垂足B位于第四
象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程．
【解析】设 ，根据题意可知点 在 和 相交的右侧区域，
所以点 到直线 的距离 ，到直线 的距离 ，
即
所以动点M的轨迹方程： .
4．设动点M与定点 的距离和M到定直线 的距离的比是 ，求动点M的轨迹方
程，并说明轨迹的形状．
【解析】设动点 ，设d为点M到直线l的距离，
由题意得 ，即 ，
左右同时平方，化简可得 ，
所以 ，令 ，
所以 ，即 ，
所以动点M的轨迹方程为 ，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为
的双曲线.
5．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在
怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
【解析】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则 ，设爆炸点为 ，
则 ，
根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以点M的轨迹方程为： .
6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直
线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
【解析】连接QA，如图所示：
因为l为PA的垂直平分线，
所以 ，所以 为定值，
又因为点A在圆外，所以 ，
根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线.
易错点：双曲线焦点位置考虑不周全
易错分析： 考虑双曲线焦点位置时，易错点在于未全面分析双曲线的实轴、虚轴与坐标轴的关系。
若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误。因此，应准确判断双曲线的实轴、虚轴与
x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判。
【易错题1】已知双曲线的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为
.
【答案】 或2
【解析】由题设，圆的标准方程为 ，即圆心 ，半径为 ，
若双曲线为 时，渐近线为 且 ，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为 ，
由弦长、弦心距、半径的关系知： ，故 ，得： ，又 ，
所以 ，故 .
若双曲线为 时，渐近线为 且 ，
所以圆心到双曲线渐近线的距离为 ，
由弦长、弦心距、半径的关系知： ，故 ，得： ，又 ，所以 ，故 .
综上，双曲线的离心率为 或2.
故答案为： 或2.
【易错题2】若双曲线的渐近线方程是 ，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当双曲线的焦点在 轴上时，双曲线的方程可设为
由 ，解得 ，此时双曲线的方程为
当双曲线的焦点在 轴上时，双曲线的方程可设为
由 ，解得 ，此时双曲线的方程为
故选：C
答题模板：求双曲线的标准方程
1、模板解决思路
求双曲线的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在 x 轴上还是在y轴上，再设出相应
的标准方程，由已知条件确定 的值.
2、模板解决步骤
第一步：根据条件判断双曲线的焦点位置，设出双曲线的方程.
第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数。
第三步：写出双曲线的方程.【典型例题1】已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为6，且直线 与双曲线 的
右支有交点，则当双曲线 的离心率最小时，双曲线 的标准方程为 ．
【答案】
【解析】解法一 由题，双曲线 的半焦距 ，故双曲线 的左、右焦点分别为 ，
,
当双曲线 的离心率 最小时， 取得最大值，
设直线 与双曲线 的右支的一个交点为 ，则 最大．
记点 关于直线 的对称点为A(x ,y )，则 ，解得 ，
0 0
所以 ．因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，则双曲线 的标准方程为 ．
解法二 由于双曲线 的离心率越大，双曲线的开口越大，离心率越小，双曲线 的开口越小，
要保证直线 与双曲线 的右支有交点，则当双曲线 的离心率最小时， 与双曲线
的右支相切,
与 ，联立得： ，
则 ，解得 ，又 ，所以 ， ，
则双曲线 的标准方程为 ．
故答案为： .
【典型例题2】已知双曲线 的中心为原点，焦点在 轴上，焦距为8，且 的离心率与它的一条渐近线的
斜率之比恰好为2，则 的标准方程为 .
【答案】
【解析】设 的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，
由已知得 ，即 ，又焦距为8，
所以 ， ， ，所以 的标准方程为 ．
故答案为： ．
