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第 06 讲 双曲线及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂
线，垂足为P，O为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ，过E的右顶点A且与
一条渐近线平行的直线交y轴于点B， 的面积为2，则E的焦距为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知A，B分别是双曲线 的左、
右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且 轴.若直线PB与直线PA的斜率
之比为3，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 两点，若 的周长为 ，则当 取得
最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川成都·模拟预测）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，且
，点 为双曲线右支上一点， 为 内心，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川南充·统考三模）已知点F是双曲线 （ ）的左焦点，点E是该双曲线
的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心
率e的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，若在 上存在点 不是顶点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线 为左焦点， 分
别为左､左顶点， 为 右支上的点，且 （ 为坐标原点）.若直线 与以线段 为直径的圆
相交，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线
过点 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点．若 是 的中点，且 ，则此双曲线的离
心率为（ ）
A． B．2 C． D．
10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ， 为 的
左焦点.经过原点的直线 与 的左、右两支分别交于A， 两点，且 ， ，则 的一条
渐近线的倾斜角可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程 ，其中
，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（ ）A．可以是圆的方程 B．一定不能是抛物线的方程
C．可以是椭圆的标准方程 D．一定不能是双曲线的标准方程
12．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，
点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
13．（多选题）（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线 的左､右焦点分别为 ，
过 向圆 作一条切线 与渐近线 和 分别交于点 （ 恰好为切点，且是渐近
线与圆的交点），设双曲线的离心率为 .当 时，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当点 在第一象限时，
D．当点 在第三象限时，
14．（多选题）（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线 ： 上、下焦点分别
为 ， ，虚轴长为 ， 是双曲线上支上任意一点， 的最小值为 .设 ， ，
是直线 上的动点，直线 ， 分别与E的上支交于点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ，
.下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为 B．
C．以 为直径的圆经过 点 D．当 时， 平行于 轴
15．（多选题）（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点
，经点 反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的切线平分
.若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为13
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
16．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系 中，双曲线 ：
的下、上焦点分别是 ， ，渐近线方程为 ， 为双曲线 上任意一点，
平分 ，且 ， ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的方程为
C．若直线 与双曲线 的另一个交点为 ， 为 的中点，则
D．点 到两条渐近线的距离之积为
17．（多选题）（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆 ：
与双曲线 ： 的公共焦点， ， 分别是 与 的离心率，
且P是 与 的一个公共点，满足 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C． 的最小值为 D． 的最大值为
18．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，存在过点 的直线与双曲
线 的右支交于 两点，且 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线 的方程： ．
19．（2023·福建三明·统考三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，
即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在
一个圆上时等号成立.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线C上关于
原点对称的两点 ， 满足 ，若 ，则双曲线 的离心率
.
20．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知 是双曲线 的右顶点，点 在 上，
为 的左焦点，若 的面积为 ，则 的离心率为 ．
21．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作一条渐
近线的垂线，垂足为P，点Q为线段PF的中点， ，O为坐标原点，且点E在双曲线 上，则
.
22．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知双曲线C： ，过双曲线C的右焦点F作
直线 交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足 ，
，则双曲线C的离心率为 .
23．（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为： ，离心率为 ，过C
的右支上一点 ，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且 ．过点P作
的角平分线， 在角平分线上的投影为点H，则 的最大值为 ．
1．（2021•甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．2．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
3．（2021•北京）双曲线 的离心率为2，且过点 ， ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
4．（多选题）（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作
的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
5．（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
6．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
7．（2022•甲卷）记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与 无公
共点”的 的一个值 ．
8．（2022•甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ．
9．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
10．（2022•北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
11．（2021•乙卷）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 的焦距为
．
12．（2021•乙卷）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．13．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
14．（2021•全国）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在直线 上，则
的最小值为 ．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为 ．
（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
16．（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ， 两点，
直线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
17．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在 上，且
， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
