文档内容
第 06 讲 双曲线及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：双曲线的定义与标准方程....................................................................................................2
题型二：双曲线方程的充要条件........................................................................................................3
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题................................................................4
题型四：双曲线上两点距离的最值问题............................................................................................7
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题........................................................................................9
题型六：离心率的值及取值范围......................................................................................................11
题型七：双曲线的简单几何性质问题..............................................................................................17
题型八：利用第一定义求解轨迹......................................................................................................20
题型九：双曲线的渐近线..................................................................................................................23
题型十：共焦点的椭圆与双曲线......................................................................................................25
题型十一：双曲线的实际应用..........................................................................................................28
02 重难创新练....................................................................................................................................32
03 过关测试........................................................................................................................................49题型一：双曲线的定义与标准方程
1．已知点 为双曲线 的左支上一点， 分别为 的左，右焦点，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】由于 为双曲线 的左支上一点， 分别为 的左，右焦点，
所以 ，故 ，
由于 ，
所以 ，
故选：A
2．（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线 的对称轴为坐标轴，一条渐近线的方程为 ，且点
在 上，则 的标准方程为 ．
【答案】 .
【解析】由双曲线的一条渐近线为 ，故设双曲线方程为： ，
又 在双曲线上，则 ，
故所求双曲线方程为： ，整理得： .
故答案为： .
3．双曲线的一个焦点坐标是 ，且双曲线经过点 ，则双曲线的实轴长为 ，标准方
程为 ．
【答案】【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是 ，
所以设双曲线的标准方程为 ，
又因为双曲线经过点 ，则有 ，又因为 ，
所以 或 ，因为 ，所以 ，
双曲线方程为 ，
所以双曲线的实轴长为 ；标准方程为 ，
故答案为： ； .
题型二：双曲线方程的充要条件
4． “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，但是取 ，则 不是双曲线，故不是充分条件，
若 为双曲线，
则 必须异号，所以 ，故是必要条件，
所以“ ”是“方程 表示双曲线”的必要不充分条件.
故选: .
5．若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】B
【解析】若方程 表示双曲线，
则 ，得 .
故选：B6． “方程 表示双曲线”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 或 .
所以“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件.
所以“方程 表示双曲线”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
7．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，其左､右焦点分别为
，过 作 的一条渐近线的垂线并交 于 两点，若 ，则 的周长为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则双曲线 ，
，渐近线 ，
不妨设直线 ， ，
联立方程 消去 得 ，则 ，
可得 ，解得 ，可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
则 ，
可得 ，所以 的周长 .
故答案为：
8．（2024·高三·江苏南京·开学考试）设双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率
为 为 上一点，且 ，若 的面积为 ，则 .
【答案】2
【解析】不妨取 点在第一象限，如下图所示：
根据双曲线定义可得 ，且 ；
由离心率为 可得 ，可得 ，即 ；
设 ，则 ；
由 的面积为 可得 ，
解得 ；
利用余弦定理可得 ，
即 ，整理可得 ，
即 ，所以 ，解得 .
故答案为：29．（2024·河南焦作·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ， 为坐标原点，
，线段 的垂直平分线与 交于 两点，且与 的一条渐近线交于第二象限的点 ，若
，则 的周长为 .
【答案】 /
【解析】记 的右焦点为 ，
由题意可知：双曲线 的一条渐近线为 ，可知点 在 的渐近线上，
且 ，即 ，
且 ， ，则 ，
可知 和 均为等边三角形，
则 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 .
不妨设A在 上方，
则 的周长为 ，
又因为 的直线方程为 ，与双曲线方程联立得 ，
整理得 ，解得 ，
且 ，可知 ，所以 的周长为 .
故答案为： .题型四：双曲线上两点距离的最值问题
10．定长为 的线段AB的端点在双曲线 的右支上运动，则AB中点M的横坐
标的最小值为 ．
【答案】
【解析】设F是右焦点，点 ， ．
由离心率为 ，右准线为 ，
则 ,
则 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：
11．已知点 ，点 在曲线 上运动，点 在曲线 上运动，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
在双曲线 中， ， ， ，圆 的圆心为 ，半径长为 ，
所以，双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
由双曲线的定义可得 ， ，
所以， ，
当且仅当 为射线 与圆 的交点，且 时，等号成立，
故 的最小值是 .
故答案为： .
12．已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】6
【解析】因为动点 满足 ，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，
则 ，即 ，
不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为 ，
左焦点为 ，右焦点为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 的最小值是6，
故答案为：6
13．（2024·湖北·一模）平面内，线段 的长度为10，动点 满足 ，则 的最小值为
．
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，
因此动点 在以 为焦点的双曲线的靠近 点的一支上，且 ，
从而 的最小值为
故答案为：2.题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
14．设点 是曲线 右支上一动点， 为左焦点，点 是圆 上一动点，则
的最小值是 ．
【答案】8
【解析】由双曲线的方程 可得 ， ，则 ，
设双曲线的右焦点 ，则 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
由题意可得 ，
当且仅当 ， ， 三点共线，且 在 ， 之间时取等号，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
15．已知 ， 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为
．
【答案】7
【解析】如图所示：
由题意 ，设 为双曲线右焦点，线段 与双曲线右支交于点 ，
所以 ，等号成立当且仅当 重合，
所以 的最小值为7.故答案为：7.
16．已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线右支上的任一点， ，则 的最
大值为 ．
【答案】 /
【解析】如图，设双曲线的右焦点为 ，由题知 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，当且仅当 三点共线时等号成立，
所以， ，当且仅当 三点共线时等号成立.
所以， 的最大值为
故答案为：
17．（2024·河北邯郸·一模）已知点 在双曲线 的右支上， ，动点 满足 ， 是
双曲线的右焦点，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】动点 满足 ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆,
设双曲线的左焦点为 ，由题知 ，
则 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立，所以 的最大值为 ，
故答案为：
题型六：离心率的值及取值范围
18．已知O为坐标原点，F为双曲线C： 的左焦点，直线 与C交于A，B两点（点
A在第一象限），若 ，且 ，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】设双曲线右焦点为 ，连接 ，
由对称性可知， ， ， ，
因为 ，所以 ，故四边形 为矩形， ，
因为 ，所以 ，
由双曲线定义可得 ，
由勾股定理得 ，
由题意得 ，
即 ，解得 ，
故 ，解得 ，
离心率为 .故答案为：
19．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 点A在C上，点B在y轴上，
， ，则C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图：
设A(x ,y )，因为 ，由 .
1 1
因为 ，所以 ；
又 在曲线 上，所以： .
由
，
由因为 ，所以 .
故答案为： .
20．已知双曲线 的左焦点为 ，直线 过点 ，在第四象限与双曲线 的渐近线交于点 ，且直线 与圆 切于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是 ．
【答案】 /
【解析】如图，因为直线 与圆 切于点 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ．因为 ，
所以 ，则 ， ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，则双曲线 的离心率 ．
故答案为：
21．某研究性学习小组发现，由双曲线 的两渐近线所成的角可求离心率 的大小，
联想到反比例函数 的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线 的离心率 .
【答案】
【解析】由题意，双曲线 的渐近线为 ，
若两渐近线垂直，则 ，解得 ，即双曲线为等轴双曲线，
所以离心率为 .
双曲线 的两渐近线为 轴和 轴，互相垂直，则双曲线 为等轴双曲线，
所以离心率为 .
故答案为： .22．已知圆 与双曲线 的渐近线有公共点，则双曲线 的离
心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】圆 ，双曲线 的渐近线为 ，
圆与双曲线的渐近线有公共点，
圆心 到渐近线的距离 ，
， ，即 ，
．
故答案为： ．
23．已知 为坐标原点，若双曲线 的右支上存在两点 ， ，使得 ，
则 的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，即 ，
所以 ，离心率 .
故答案为： .
24．（2024·山东淄博·二模）若双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 ，则离心率e
为（ ）
A． B． C．√3 D．
【答案】B
【解析】 （a＞0，b＞0）渐近线方程为 ，则 .
离心率 .故选：B.
25．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C： 的右支上存在 ，
到点 的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，结合双曲线的对称性可知，
存在以点 为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点，
所以当双曲线上的点 到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点，
设点 ，则 ，
又因为由 ，可得 ，
所以 ，
要使 最小， ，则 ，解得 ，
所以 ，
又因为双曲线中 ，所以 .
故选：A
26．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过
的直线与双曲线的右支交于 两点，若 的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
根据双曲线定义知： 的周长为 ，而 ，
所以 ，而 的周长为 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
双曲线离心率的取值范围是 .
故选：D
27．已知F是双曲线 （ ， ）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E
上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知， ，设 是双曲线E上的一个动点，∴ ，即 ，
∴ ．
易知 最小时，M为E的右顶点，则 ，
∴当 时， 在 处取得最小值，不符合题意，
故 ，此时 在 处取得最小值，符合题意，
故 ．
故选：B．题型七：双曲线的简单几何性质问题
28．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若 是双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点，
则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线 的虚轴长为 B．若 ，则 的面积为2
C． 的最小值是 D．双曲线 的焦点到其渐近线的距离是2
【答案】BC
【解析】由双曲线 ，得双曲线 ，
设双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，半焦距为 .
选项A：得 ，故双曲线 的虚轴长为 ，故A错误.
选项B：得 ，则 ， ，得 ，
故 的面积为 ，故B正确.
选项C：易知 ，故C正确.
选项D：易得双曲线 的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，
所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，故D错误.
故选：BC.
29．（多选题）已知双曲线 （ ），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率
【答案】BD
【解析】双曲线 化为： ，实半轴长 ，虚半轴长 ，
双曲线的顶点 随k的变化而变化，焦距 随k的变化而变化，AC不是；
而 ，渐近线方程 不因k的变化而变化，离心率 为常数，BD是.
故选：BD
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左焦点 与抛物线 的焦点重合， 是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点，若 ，则
【答案】ABD
【解析】 的准线方程为 ，A正确；
由 ，得 ，不妨设 ，则 ，故双曲线的实轴长为4，B正确；
令 ，知双曲线的一条渐近线方程为 ，C错误；
由双曲线的定义，知 ，可得 （ ，舍），D正确．
故选：ABD
31．（多选题）（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
【答案】AD
【解析】因为双曲线方程 ，所以 ，
对于A：实轴长为 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以焦点坐标 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以渐近线方程 ，故C错误；
对于D：因为 ，所以离心率 ，故D正确；
故选：AD.
32．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线 的右焦点为F，直线 是
C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为 B．C的离心率为C． 的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于
【答案】AD
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，依题意， ，解得 ，
对于A， 的虚轴长 ，A正确；
对于B， 的离心率 ，B错误；
对于C，点 到直线 的距离 ，即 的最小值为 ，C错误；
对于D，直线 的斜率为 ，而点 不在 上，点 在 上，则直线PF的斜率不等于 ，
D正确.
故选：AD
33．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线的方程为 ，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦距为
C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【解析】因为双曲线方程为 ，即 ，
则 ，且双曲线焦点在 轴上，
所以渐近线方程为： ，A选项错误；
焦距 ，B选项正确；
离心率 ，C选项正确；
焦点为 ，则焦点到渐近线的距离为 ，D选项错误．
故选：BC.
34．（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确
的是（ ）A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【解析】由题意可得 ，故渐近线为 ，故A错误；
易知双曲线和椭圆的离心率分别为 ，
显然它们不互为倒数，故B错误；
由双曲线的定义可知 ，
若 ，则 ，
又 ，故 的周长为 ，故C正确；
由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，即最短距离为6，故D正确．
故选：CD
题型八：利用第一定义求解轨迹
35． 是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第
四象限，若四边形 （ 为原点）的面积为4，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，根据题意可知点 在 和 相交的右侧区域，
所以点 到直线 的距离 ，到直线 的距离 ，
，即 .所以动点M的轨迹方程： .
故选：C.
36．已知圆 与圆 ，动圆 同时与圆 及 相外切，则动圆圆
心 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支
【答案】D
【解析】圆 ， ，圆心 ， ，
圆 ， ，圆心 ， ，
设 ，因为圆 同时与圆 及 相外切，
所以 ，
即 的轨迹是以 为焦点， 的双曲线的左支.
故选：D
37．已知点 ， ，若动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，由题意可知 ， ，
整理可得动点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
38．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且 ，则点P的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
又因为 可得 .
则点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
39．已知P为圆C： 上任意一点， ．若线段 的垂直平分线交直线 于点Q，
则点Q的轨迹方程为 ．【答案】
【解析】由点 是线段 垂直平分线上的点，
，
又 ，
满足双曲线定义且 ， ，
，
轨迹方程： ．
故答案为： ．
40．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点 和 的连线的斜率之积等于 ，则点P的轨迹
方程为 ．
【答案】
【解析】设点 ，
由已知得 ，整理得 ，
所以点P的轨迹方程为 ．
故答案为： .
41．动点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，则动点M的轨迹方程是
．
【答案】
【解析】动点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，所以 ，即 ，
展开整理得 ．
故答案为： ．
42．已知A，B分别为椭圆 的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴
垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】因为A，B分别为椭圆 的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，
设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x，y)，N(x，-y)，
1 1 1 1
由 ， ，得 ， ，
两式相乘得∶ ，化解得 .
故答案为： .
题型九：双曲线的渐近线
x2 y2
43．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ， . 点A
a2 b2
在双曲线 上，点 在 轴上， ， ，则双曲线 的渐近线方程为 .
【答案】【解析】因为 ，所以 三点共线，
又 ，所以 为直角三角形，
记 ，则 ，
由双曲线定义和对称性可得 ，
则有 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
记 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，得
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：
44．（2024·上海·三模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 .
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，
依题意 ，解得 .
故答案为：
45．（2024·上海宝山·二模）已知 是双曲线 上的点，过点 作双曲线两渐近线的平行线 ，
直线 分别交 轴于 两点，则 ．
【答案】4
【解析】双曲线 两渐近线的斜率为 ，设点 ，
则 、 的方程分别为 ， ，
所以 、 坐标为 ， ，所以 ，
又点 在双曲线上，则 ，所以 ．
故答案为：4
46．（2024·江西鹰潭·一模）设 为双曲线 右支上的任意一点， 为坐标原点，过点 作双曲线
两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 , 两点，则平行四边形 的面积为 ．
【答案】
【解析】设 (不妨设 在第一象限)，代入双曲线得 即 ，
不妨假设 在第一象限，所以直线 的方程为 ，直线 方程为 ，联立解得
，
直线 的一般方程为 ，
又 到渐近线 的距离为 ，
又 ，且 ， 为锐角，
∴ ，
∴平行四边形 的面积为 ，
故答案为：15
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
47．已知F是椭圆 的右焦点，A为椭圆 的上顶点，双曲线
与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率
分别为 ，则 ．
【答案】1
【解析】设椭圆 的半焦距为 ，则F(c,0)， ，所以 ，直线 与 的一条渐近线平行，所以 ，
则 ，所以 ，即得 ，又 ， ，
所以 ，即 .
故答案为：1.
48．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 共焦点，双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴
三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 的标准方程为 ，
双曲线 的标准方程为 ，设 ，
因为双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，则 ，
设椭圆 与双曲线 的公共焦点为 、 ，且 、 为两曲线的左、右焦点，
设椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为 ，在第三象限的交点为 ，
则 ，解得 ，
由对称性可知 、 的中点均为原点 ，所以，四边形 为平行四边形，
因为 、 、 、 四点共圆，则有 ，故 ，由勾股定理可得 ，即 ，即 ，
即 ，故椭圆 的离心率为 .
故选：C.
49．已知椭圆 与双曲线 共焦点（记为 ， ），点 是该椭圆与双曲线的一个公共
点，则 的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 与双曲线 共焦点，
所以有 ， ， ，
因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形，
所以不妨设点 是在第一象限，左、右焦点分别为 ， ，
设 ，由椭圆和双曲线的定义可知： ，则 ，
由余弦定理可知： ，
所以有 ，
因此 的面积为 ，
故选：D．
50．（多选题）已知椭圆C： 与双曲线 ： 共焦点，过椭圆C上一点P的切线
l与x轴、y轴分别交于A，B两点 为椭圆C的两个焦点 又O为坐标原点，当 的面积最小时，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值
D． 的平分线长为【答案】ABC
【解析】 椭圆C： 与双曲线 ： 共焦点，.
，故A正确；
这时 ， 是椭圆C： 上一点，设 ， ，则
，椭圆C上一点P的切线l的方程为 ， ，
， ，
，当且仅当 时，取得最小值．
这时 ， ，
对于B， ， ， ，故
B正确；
对于C，直线OP的斜率 ，切线l的斜率 ， ，故C正确；
对于D，不妨设P在第一象限，则 ，这时 ，
在 中，由 ，知 ， ．
设 的平分线交 于点Q，则 ，
在 中，由正弦定理得 ， ．
故D错误．
故选：ABC
题型十一：双曲线的实际应用
51．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线
造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的
外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为
26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为 ，
因为最小直径为 ，可得 ，即 ，
又因为尊高 ，上口直径为 ，底部直径为 ，
设点 ，
所以 且 ，解得 ，即 ，
可得双曲线的渐近线为 ，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为 .
故答案为： .
52．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东 方向，相距
2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建
一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到
C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是
万元（精确到0.01）【答案】85.83
【解析】以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，如图所示：
，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.
故 ， ， ， ，故轨迹方程为： .
由题意修建的三条公路总费用
，
由图形可知，当 三点共线，即 在 点处时， 有最小值 ，
由题意 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
53．（2024·上海·模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太
阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实
轴所在直线夹角分别为 和 ，则这颗彗星与太阳的最近距离是 .
【答案】2
【解析】如图，设 ， ， ，
设双曲线的方程为 ，半焦距为 ，
将 代入双曲线可得 ，则 ，①
又 ，即 ，
代入双曲线得 ②
联立①②，结合 可得 ，解得 或 （因为 ，故舍去），
，
则这颗彗星与太阳的最近距离是 .
故答案为：2.
54．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震
110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援
具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，
可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站
A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距 ，地震局以 的中点为原点O，直线l为x轴， 为
单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发
现震中P在双曲线 的右支上，且 ，则P到公路l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的焦距为2c，
由题意，得 ，所以 ，解得 ，所以 ，由 及余弦定理，
得 ，
即 ，所以 ，
的面积 ，
设P到公路l的距离为h，则 ，所以 ，
即P到公路l的距离为 ，
故选：D.
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，左、右顶点分别
为 ， ，点 在 上且 轴，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，若 （ 为坐
标原点），则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，因为 轴，
所以令 ，可得 ，解得： ，设 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，直线 的斜率为：
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
由 可得 ，解得： ,
所以 ，解得： ，即
所以 的渐近线方程为 ，
故选：C.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线
上，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为 ，渐近线方程为： ，
设F关于 的对称点为 ，
由题意可得 ，解得 ，
又点M在双曲线上，则 ，整理得： ，得离心率 ，
故选：D
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x
轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
【答案】A
【解析】由题意得 ，渐近线 ,
将 代入得 坐标为 ,所以 ,
因为 轴，所以 ,
由已知可得 ,
两边同时除以 得 ,
所以 ，即 ，
解得 ,所以 ，
而双曲线的离心率 ，
故选：A.
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和
的右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】对于双曲线 ，则 ，
根据双曲线定义有 ，
又 ， ，故 ．故选：B
5．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点
作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，则C的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意，由 ，
得 ，即 的平分线与直线PQ垂直，
设 的平分线 与直线PQ交于点D，如图，
则 ， ，又 ，
所以 ，所以 ， ．
由题得 ， ，设 ， ， ，
在 中， ， ，则 ， ，
由双曲线的性质可得 ，解得 ，
则 ，所以在 中， ，又 ， ，所以 ，
即 ，整理得 ，所以 ．
故选：A
6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的左，右顶点分别为 ，点 在双曲线
上，过点 作 轴的垂线 ，交 于点 ．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设 ，可得 ，
过P作x轴的垂线，垂足为N，所以 ,
又因为 ,
所以 ,又
所以 ，
所以 ，又 ，
所以
所以双曲线的离心率为 .
故选：A．
7．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线C： 的左，右焦点，过 的直线与y轴和C
的右支分别交于点P，Q，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】根据双曲线定义有 ，由于点P在线段 的垂直平分线上，∴ ，
又 ， ，故 ．
故选：C.
8．（2024·河北·模拟预测）双曲线 的两焦点分别为 ，过 的直线与其一支
交于 ， 两点，点 在第四象限.以 为圆心， 的实轴长为半径的圆与线段 分别交于M，N两
点，且 ，则 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，由题意得： ，
设 ，则 ，
所以 ， ，
由双曲线的定义得： ，
所以 ， ，则 ，
因为 ，在 中， ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
在 中， ，即 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
故双曲线 的渐近线方程为 ．
故选：C．
9．（多选题）（2024·安徽·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过
的直线 交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 与 轴的交点为
，记 的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】对于A，双曲线渐近线的夹角为 ，则 或者 故 或
．
对于B，设 ，则 ．
故 ，解得 ．又 ，故 ．
对于C， 令圆 切 分别为点 ，则 ，
，令点 ，而 ，
因此 ，解得 ，又 ，则点 横坐标为 ，同理点 横坐标为 ，
即直线 的方程为 ，
设直线 的倾斜角为 ，那么 ，在 中，
在 中， ，渐近线的斜率为 ．
因为 均在右支上，故 ．
如图所求， ．
对于D， ，故 ，而 ．
故 ，
由余弦定理可知 ，故 ．
故选：ABD.
10．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是
动点．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的轨迹的长度等于2
B．若 ，则 的轨迹方程为
C．若 ，则 的轨迹与圆 没有交点
D．若 ，则 的最大值为3
【答案】ACD
【解析】选项A：因为 ，所以 的轨迹为线段 ，
从而 的轨迹的长度等于2，故A正确；
选项B：因为 ，由双曲线的定义知， 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由 ，得 的轨迹方程为 ）
选项C：解法一：由 ，得 ，
化简得， ，联立 ，得 ，
这与 矛盾，所以方程组无解，故 的轨迹与圆 没有交点，故C正确；
解法二：若有交点M(x,y)，则 ，
又 ，矛盾，
所以 的轨迹与圆 没有交点，故C正确；
选项D：
解法一：由 得， ，
化简得 ，
所以 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
等于 在 轴上的投影的长度，
由图知其最大值为3，故D正确；
解法二：同法一得 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
，由圆的方程知 可取到最大值3，故D正确；
解法三：由 得， ，
当 在 的反向延长线上时取等号，
① ；
②当 在 的反向延长线上，且 时，满足条件 ，此时 ，
所以 的最大值为3，故D正确；
故选：ACD．
11．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为e，其左、
右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近
线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ）
A．若直线l斜率 ，则
B． 的周长为
C．以 为直径的圆与以 为直径的圆相交
D．若点M恰为以 为直径的圆与渐近线的一个交点，且 ，则
【答案】ABD
【解析】对于A项，由双曲线 ，可得其渐近线的方程为 ，
要使得过点 的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点，
则满足 ，所以 ，所以A正确；
对于B项，由双曲线的定义，可得 ， ，
两式相减得 ，
所以
，所以B项正确；
对于C项，设 的中点为S，则 ，
即两圆半径之和，所以两圆外切，所以C项错误；
对于D项，联立方程组 ，且 ，解得 ，
因为 ，则 ，
连接 并延长交 于 ，则 ， 为 中点，
又由 的中点为 ，则 ，从而 ，所以 ，从而 ，因此 ，所以D项正确.
故选：ABD．
12．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 ，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于
A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形
C．AB的中点可能为 D． 的值可能为
【答案】AD
【解析】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故 ， ，
所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为 ，则AC与BD不垂直，所以四边形
ABCD不可能为菱形，A正确，B错误；
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
两式作差得 ，
若 的中点为 ，可得 ，
代入上式，求得 ，故AB的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，可得 ，
则 ，此时 ，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为 ，结合双曲线渐近线 ，
易知 ， ，可得 ，
又因为 ，所以 的取值范围为 ；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得 的取值范围为 ．
综上 的取值范围为 ，所以D正确．
故选：AD.
13．（2024·山西太原·一模）已知椭圆 ， 为原点，过第一象限内椭圆外一点 作椭圆的
两条切线，切点分别为 .记直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，若 ，则
的最小值是 .
【答案】5
【解析】因为 ，故 不关于 轴对称且 的横纵坐标不为0，
所以直线 方程斜率一定存在，
设直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，可得y y =(kx +t)(kx +t)=k2x x +kt(x +x )+t2
1 2 1 2 1 2 1 2
，
且 ， ，由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
下面证明椭圆 在 处的切线方程为 ，
理由如下：
当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得： ，
所以 ，
把 代入 ，得： ，
于是 ，
则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，
整理得到 ，
其中 ，故 ，即 ，
当 时，此时 或 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
综上：椭圆 在 处的切线方程为 ；
可知：椭圆在点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
椭圆在点B(x ,y )的切线方程为 ，
2 2由于点P(x ,y )为 与 的交点，
0 0
故 ， ，
所以直线 为 ，
因为直线 的方程为 ，对照系数可得 ， ，
又 ，故 ，整理得 ，
又P(x ,y )在第一象限，
0 0
故点P(x ,y )的轨迹为双曲线 位于第一象限的部分，
0 0
，同理可得 ，
则 ，
又由于 ， ， ，故 ，
设 ，则 ，
则两式联立得 ，
由 得， ，
检验，当 时， ，又 ，
解得 ，满足要求.
故 的最小值为4
故 的最小值是5
故答案为：5.14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为 ，两个不同的点A，B都在直线QS的同
侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若 ，则 面积的取值范围是
．
【答案】
【解析】以PR为x轴，QS为y轴建系，则 ， ，
设 ， ，且 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
即A位于双曲线 的右支上，渐近线方程为 或 ，
设点A到直线PS的距离为h，又直线 与直线PS的距离为 ，点 到直线PS的距离为 ，
则 ，又 ，
所以 面积的取值范围是 ．
故答案为：
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线 ： 的一条渐近线与圆O：
交于 两点，设圆O在 两点处的切线与 轴分别交于 两点、若双曲线 的焦距为
，则四边形 周长的最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意可知渐近线方程为 ， ，
故 ，故 ，
又 ,
由于焦距为 ，故 ，则 ，
由对称性可知四边形 为平行四边形，故周长为
，设 ，由 可得 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，
故 ，
故最小值为4
故答案为：4
16．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 作直线与双曲线
的左右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为 ，连接 ，
由 关于原点对称， 也关于原点对称，可知四边形 是平行四边形，
又 ， ，则有 ， ，
又由双曲线的定义得 ，解得 ，
再由余弦定理： ，
即 ，得 ，
再由 ，
故渐近线方程为： ，故答案为： .
17．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲
线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，Q(x ,y )
2 2
由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，
所以 ， ，
所以
18．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
【解析】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．1．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛
物线 的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：D.
2．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦
点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A【解析】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
3．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径
的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
7．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过
作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .故答案为：
8．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．
点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为
的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲
线的离心率是 ．
【答案】
【解析】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足
条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【解析】 ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
13．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
．
【答案】
【解析】对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
【答案】
【解析】由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近线为
，则C的焦距为 ．
【答案】4
【解析】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为
．
【答案】
【解析】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
17．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近
线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
M在 上；② ；③ ．
①注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为 ，∴ , 渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
∵
，∴ ，∴ ．
C的方程为： ；
∴
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
,
∴
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
,
∴
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:由①②解得： , 成立；
∴③
选①③推②：
由①③解得： ， ，
∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
