文档内容
第 08 讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
题型二：中点弦问题
角度1：由中点弦确定直线方程
角度2：由中点弦确定曲线方程
题型三：弦长问题
题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与椭圆的位置关系
将直线的方程 与椭圆的方程 联立成方程组，消元转化为关于 或 的一
元二次方程，其判别式为 .
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
x2 y2
代数法：设直线 ，双曲线 − =1(a>0,b>0)联立解得：
a2 b2
(b2 −a2k2 )x2 −2a2mkx−a2m2 −a2b2 =0（1） 时， ，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
， ，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2） 时，
b
存在时，若 ，k=± ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
b2 −a2k2 =0 a
若 ，
时， ，直线与双曲线相交于两点；
时， ，直线与双曲线相离，没有交点；
时 ， 直线与双曲线有一个交点；相切
不存在， 时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线 : ,抛物线:
y 2 =2px
（ ）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 的方程
(1)若 ,当 时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若 ,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线
有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线l: y=kx+b与圆锥曲线相交与A、B两点， A（x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则：
弦长|AB|= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 = √ (x −x ) 2 +(kx−kx ) 2 = √1+k2 |x −x |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= √1+k2√ (x +x ) 2 −4x x
1 2 1 2
√ 1
弦长 |AB|= 1+ k2 |y 1 −y 2 |
这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则双曲
线的离心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
双曲线的渐近线方程为： ，若双曲线 （ ， ）与直线 无公共点，则应有
，所以离心率 ，
故选：D
2．（2022·上海市第三女子中学高二期末）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
当斜率不存在时，过 的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为 ，联立 ，得 ①.
当 ，即 时，①式只有一个解；
当 时，则 ，解得 ；
综上可知过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
3．（2022·湖南·高二阶段练习）已知 为双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，
若 ，则 的面积为__________.
【答案】 ##
不妨设点 在第一象限，
由双曲线 ，可得 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故 的面积为 .
故答案为：
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））直线l过抛物线 的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两
点 ， ．若 ，则弦AB的长是____
【答案】4
由题意得 ，
由抛物线的定义知： ，
故答案为：4.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 与椭圆 相交于M，N两点，求MN的长．
【答案】
联立方程： 得 ， ，
因为斜率k=3，
= ，
故答案为： .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）直线 与椭圆 的交点个数为（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
由题意，椭圆 ，可得 ，
则椭圆的右顶点为 ，上顶点为 ，又由直线 恰好过点 ，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
例题2．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））过点 作直线 与抛物线 只有一
个交点，这样的直线 有（ ）条
A． B． C． D．
【答案】C
当直线 斜率不存在时， ，与抛物线无交点，不合同意；
当直线 斜率为零时， ，与抛物线有且仅有一个交点 ，满足题意；
当直线 斜率不为零时， ，即 ，
由 得： ，
则 ，解得： ， 满足题意的直线 有两条；
综上所述：过点 与抛物线 只有一个交点的直线 有 条.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二单元测试）若曲线 与直线 有公共点，则实数 的取值范
围是___________.
【答案】
如图，曲线 ，即为 ，表示以 为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲
线的渐近线为 与 因为 过定点 ，要使直线 与双曲线右支有交点，
则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则
故答案为：
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线 与抛物线 有且只有一个公共点，求 的值．【答案】 或1．
①当直线 与x轴平行时，方程为 ，此时 ，
与抛物线 只有一个公共点，坐标为 ，满足题意；
②当 时，方程 与抛物线方程联立，消去y得 ，
，解得 ，此时直线方程为 .
综上所述， 或1．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）若直线 与圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆
的交点的个数为（ ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
由题意 ，得 ，故点 在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过
点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
2．（2022·全国·高二课时练习）过点 作直线l与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】B
由题意，抛物线方程 ，点 恰好再抛物线 上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线 与 轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点 在抛物线上，过点 有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
3．（2022·全国·高二专题练习）直线 和曲线 的位置关系为_____.
【答案】相交
曲线 为： 可得
直线 恒过 ，由 知定点 在椭圆内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.故答案为：相交.
4．（2022·海南华侨中学高二期末）过点 且与双曲线 只有一个公共点的直线的条数是
___________.
【答案】4
显然直线斜率存在，设过点 的直线方程为 ，
联立方程 ，可得 ，
若 ，即 时，方程有1个解，即直线与双曲线只有一个公共点，满足题意；
若 ，则由 可解得 ，此时直线与双曲线相切，只有一个公共
点，满足题意，
综上，满足题意的直线有4条.
故答案为：4.
5．（2022·全国·高三专题练习）若过点 且斜率为k的直线 与双曲线 只有一个公共点，则
___________.
【答案】 或
由题意可得 ，代入双曲线方程得 .
当 ，即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当 时， ，解得 .
综上，当 或 时，直线与双曲线只有一个公共点.
故答案为： 或
题型二：中点弦问题
角度1：由中点弦确定直线方程
典型例题
例题1．（2022·河南开封·高二期末（文））如果椭圆 的弦被点 平分，那么这条弦所在的
直线的方程是（ ）
A．x+4 y=0 B．
C． D．【答案】B
设该弦所在直线与椭圆的两个交点分别为 ， ，则
因为 ，两式相减可得， ，即
由中点公式可得 ，所以 ，即 ，
所以AB所在直线方程为 ，即 ．
故选：B．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线交抛物线 于 两点，当点 恰好为
的中点时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设 ，所以 ，
两式相减得， ，
因为点 为 的中点，所以 ，
所以 ，故直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，所以 ， ，故斜率为 符合题意，因此直线
的方程为 ，
故选：D.
例题3．（2022·福建·莆田一中高二期末）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，且 为 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1) (2)
(1)∵ ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴双曲线 的标准方程为 ；
(2)设以定点 为中点的弦的端点坐标为 ，
可得 ， ，
由 在双曲线上，可得： ，
两式相减可得以定点 为中点的弦所在的直线斜率为：
则以定点 为中点的弦所在的直线方程为 ，即为 ，
联立方程 得： ， ，符合，
∴直线 的方程为： .
例题4．（2022·广东·信宜市第二中学高二开学考试）已知抛物线 上的点 (点
位于第四象限)到焦点 的距离为 .
（1）求 的值；
（2）过点 作直线 交抛物线 于 两点，且点 是线段 的中点，求直线 的方程.
【答案】（1） ， ；（2） .
（1）由抛物线的定义可知： ，解得： ，
， ，解得 ，
点 在第四象限， ；
（2）设 ，
则 ，两式作差得 ，
直线 的斜率 ， 为 的中点，
， ，直线 的方程为 ，即 （经检验，所求直线符合条件）.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
设以 为中点的弦的两端点的坐标分别为 ， ，
由题意可得， ，两式作差可得， ，
所以
因此所求直线的方程为 ，整理得 .
故选：C.
2．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程
是_______.
【答案】
椭圆方程可化为 ，
设 是椭圆上的点， 是弦 的中点，
则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，
所以弦 所在直线方程为 ，即 .
故答案为：
3．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（文））椭圆 的一个焦点 ，
离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求以点 为中点的弦 所在的直线方程.【答案】(1) ；(2) .
(1)根据题意可得 ，故可得 ，则 ，
故椭圆方程为： .
(2)显然，直线 的斜率存在，设 两点的坐标为 ，
故可得 ，故 ，
故 ，由题可知 ，
故可得 ，
故直线 的方程为 ，即 .
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 是直线l被椭圆 所截得的线段 的中点，求直
线l的方程．
【答案】 .
由题意可知l斜率必存在，设l斜率为 ，则直线 的方程为 ，
代入椭圆的方程化简得 ，
设 ，∵ ，∴ ，解得 ，
故直线l的方程为： .
另解：
由题知 在椭圆内，设直线 与椭圆相交于点 ，易知直线 斜率存在，设斜率为 ，∵
在椭圆上，
，①－②得 ，即 ，即 ，解得
.
∴直线 的方程为 ，整理得 .
5．（2022·江苏·高二课时练习）已知椭圆C： ，直线m与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB的中点为M(1，1)，求直线m的方程．
【答案】 .
设A(x y)，B(x y)．
1， 1 2， 2
由点A，B在椭圆上，
得 ，
所以 ＋ ＝0.
而kAB＝ ＝－ ＝－ ＝－ ，
则直线m：y－1＝－ (x－1)，即
6．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））已知椭圆 的离心率
为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
【答案】(1) (2)
（1） ，2b=4，所以a=4，b=2，c= ，椭圆标准方程为
（2）设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则 ，分别代入椭圆的
方程，两式相减得 ，所以 ，所以
，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ，即 ．
角度2：由中点弦确定曲线方程
典型例题
例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆 ： 右焦点 的直线 ：
交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
依题意，焦点 ，即椭圆C的半焦距 ，设 ， ，
则有 ，两式相减得： ，
而 ，且 ，即有 ，
又直线 的斜率 ，因此有 ，而 ，解得 ，经验证符合题意，
所以椭圆 的方程为 .
故选：A
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ，直线 与其相
交于 ， 两点，若 中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，设 ， ，则 的中
点为 ，由 且 ，得 ，
，即 ，联立 ，解得 ， ，故所求双曲线的方程为 ．故选
D．
例题3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ：
与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；
【答案】(1) ；设 ， ，则 ，
即 ．
因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ．
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
例题4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）斜率为1的直线交抛物线 于 ，
两点，且弦 中点的纵坐标为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
【答案】(1)
设 ， ，
，两式相减并化简得 ， ，
所以抛物线方程为 .
同类题型归类练
1．（2022·四川南充·二模（文））已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线
与椭圆 相交于不同的两点 ，若 为线段 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率为
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B直线 过点 ，所以 ，
设 ，
由 两式相减并化简得 ，
即 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， 的中点坐标为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
【答案】(1)
设 ， ， ， ，可得 ， ，
两式相减得 ，
将 ， 代入上式，
即 ，
又 ，
∴ ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
∴ ， ，
∴椭圆 的标准方程 ；
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆C∶ 经过点P（ ， ），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为- .
(1)求椭圆C的标准方程；
【答案】(1)
解：因为椭圆经过点P（ ， ），
所以 ，
设 ，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以 ，两式相减得 ，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为- ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆方程为： ；
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物
线C交于A，B两点，且 的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
【答案】（1） ；
解：（1）设点 ，则 ，所以 ，又因为直线AB的斜率为1，所以
，
将A、B两点代入抛物线方程中得： ，将上述两式相减得， ，
即 ，所以 ，即 ，所以 ，
因此，抛物线的方程为 ；
题型三：弦长问题典型例题
例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
过 且斜率为1的直线 交椭圆 于 、 两点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设直线AB方程为 ，联立椭圆方程
整理可得： ，设 ，
则 ， ，根据弦长公式有：
= ．故B，C，D错误.
故选：A.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）经过双曲线 的左焦点 作倾斜角为 的直线 ，分别交
双曲线的左、右支为点 、 ．求弦长 =_____
【答案】3
∵双曲线的左焦点为F（﹣2，0），设A（x，y），B（x，y），
1 1 1 2 2
直线AB的方程可设为 ，代入方程 得，8x2﹣4x﹣13＝0，
∴ ，
∴ .
故答案为：3.
例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））椭圆 ： 左右焦点为 ， ，离心率为
，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线l与椭圆交于 ， 两点，求 ．【答案】(1) (2)
(1)解：由题意得 ，解得 ，
又因为点 在椭圆C上，
带入 得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
(2)解：易得直线l的解析式为 ，
设 ， 联立椭圆的方程
得
，
所以 ．
例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，
且过点 ．
(1)求 的方程；
(2)若 是 上两点，直线 与圆 相切，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)由题意得，
，解得 ，
所以 的方程为 .(2)圆 的圆心为 ，半径圆 .
①当直线 的斜率不存在时，方程为 或 ，
于是有 或
解得 ，
所以 .
②当直线 的斜率为 时，方程为 或 ，
于是有 或
解得 ，
所以 .
③当直线 的斜率不为 时，设斜率为 ，方程为 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，得
建立方程组 ，消 并化简得 ，
.
设 , ,则 , ，
所以 =
而 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.所以 ，
所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
例题5．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）已知动圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨
迹为 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知直线 交轨迹 于两点 ， ，且 中点的纵坐标为 ，则 的最大值为多少？
【答案】(1) (2)
(1)由题设点 到点 的距离等于它到 的距离，
点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所求轨迹的方程为 ；
(2)由题意易知直线 的斜率存在，
设 中点为 ，直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线 ，得 ， ，
且 ， ，
又 中点为 ，即 ， ，
故 恒成立，
， ，
所以 ，
当 时， 取最大值为 .
同类题型归类练
1．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知双曲线C： 的一条渐近线方程是
，过其左焦点 作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D
双曲线C： 的一条渐近线方程是 ， ，即 左焦点 ，
， ， ， ， 双曲线C的方程为 易知直线l的方程为
，设 ， ，由 ，消去y可得 ， ，
故选：D
2．（2022·四川·遂宁中学高二期中（文））已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 且过点
，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线 过椭圆的右焦点 交椭圆于 ､ 两点，求
【答案】(1) ；(2) .
(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，
所以设椭圆的标准方程为： ，
因为椭圆的离心率为 且过点 ，
所以 ，所以椭圆的标准方程为： ；
(2)由（1）可知： ，
所以直线 的方程为： ，代入椭圆方程中，得
，设 ，
所以 ，
因此 .3．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）（1）已知A， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ，
相交于点 ，且它们的斜率之积是 .求点 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线 上的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于A， 两点，求 .
【答案】（1）轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）
.
（1）设 ，
因为 ， ，所以 ，
整理得 ，
故点 的轨迹方程为 ，
轨迹为焦点在 轴上的双曲线，不含左右顶点.
（2）由 得， ， ，所以 ,即 ，
所以右焦点 ，因为直线 的倾斜角是 ，且直线经过右焦点 ，
所以直线 的方程为 ,
由 可得： ，所以 ， ，
所以 .
4．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知点 ， ，动点 满足直线 与 的
斜率之积为 ，记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 ： 和曲线 相交于 ， 两点，求 .
【答案】(1) （ ）(2)(1)设 ，则 ， 的斜率分别为 ， ，
由已知得 ，化简得 （ ），即曲线 的方程为 （ ）；
(2)联立 消去 整理得 ，设 ， ，
则 ， ，
.
5．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C： ，圆O： .
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值.
【答案】(1) (2)最小值为 ，
(1)由题意，得 ，从而C： .
解方程组 ，整理得， ，解得
所以 .
(2)设 ，由 得 ，故切线l的方程为 ，
注意到 ，故整理得
由 且 ，即点 到切线 的距离等于 得
所以 ，
整理，得 且 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为 ，此时 .
6．（2022·安徽省舒城中学三模（文））已知抛物线C： （p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且 的最小值为1．
(1)求p；
(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为 ， ，且满足
，求｜AB｜的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，则 ，所以 ；
(2)由（1）得 ，设 ，则
则 ，由 得 ，所以 ，
设 直线方程为
联立方程组 得 ，所以 则
故 过焦点
所以 ．
题型四：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上关于原点对称的两个点，
点 在椭圆上．当 和 斜率存在时，求证： 为定值．
【答案】证明见解析
设 ， ，则 ， ， ，
点A和点P在椭圆上，则有 ，作差得 ，
，
．
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知抛物线 ， ， 是 上两个不同
的点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若 为坐标原点， ，点 满足 均与 相切，求 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：联立 得 ，
因为 在C上，则 ，
所以
因此直线 与C相切．
(2)解：由（1）知，切线 的方程为 ，切线 的方程为
联立 ，得： ，
因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
解得： ，所以 ．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过定点 的直线与椭圆交于两点 ，
（可重合），求 的取值范围．【答案】
设 ， ， ，则 ，
于是 ，
∴ ． ，
又因为点A，B在椭圆上，所以有 ，
化简得： ，
将条件代入整理得 ，
∴进而解得
因此解得 的取值范围 ，
∴ 的取值范围为： ．
同类题型归类练1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是直线 上不与 点重合的任意一点， 是坐标原点，
与直线 垂直的直线 与 的另一个交点为 .求证： 、 、 三点共线.
【答案】(1) (2)证明见解析
（1）解：由题意可得 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：设点 的坐标为 ，其中 ，易知点 、 ， ，则直线 的方
程为 ，联立 ，可得 ，即点 ，
， ，则 ，因此， 、 、 三点共线.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，过右焦点 的直线交椭圆于 、 ，
且 是线段 的中点， 是椭圆左焦点，求 的面积．
【答案】
解：因为直线 过点 、 ，所以 ，所以直线 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 、 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
联立直线AB与椭圆方程为 ，消去 整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
故 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系 中， 、 分别是椭圆 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于 ， 两点，其中点 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，设直线
的斜率为 ．
(1)若直线 平分线段 ，求 的值；
(2)求 面积 的最大值，并指出对应的点 的坐标；
(3)对任意的 ，过点 作 的垂线交椭圆于 ，求证： ， ， 三点共线．
【答案】(1) ；(2)最大值 ， ；(3)证明见解析.（1）由题设知， ， ，故 ， ， 线段 中点坐标为 ．由于直线
平分线段 ，故直线 过线段 的中点，又直线 过原点， ；
（2） ， ， ，设与 平行的直线方程为 ，联立
，得 ．由 ，解得： ．由题意可知，当
时，直线 与直线 的距离最大，最大值 ．即 面积 有最大
值，等于 ．由 ，解得 ， ， 点坐标为 ；
（3）设 ， ， ， ， 中点 ， ，则 ， ，两式作差可得：
， ，即 ． ， ，即
， ． ， ， ，即 ． ，
，故 ， ， 三点共线．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 是椭圆的焦点，点
，直线 的斜率为 为坐标原点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 的直线与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程．
【答案】(1) (2)（1）设 ，由题意 又 离心率 ， ，椭圆 的
方程为 ；
（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，方程可设为 ，联立直线与椭圆方程：
化简得： ，由 设 ，则
坐标原点 到直线的距离为
令 ，则
当且仅当 即 时等号成立， ，故当 ，即
时， 的面积最大， 此时直线的方程为： ．
第四部分：高考真题感悟
1．（多选）（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C
交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
2．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交
于M，N两点，且 ，则l的方程为___________．
【答案】
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
3．（2022·全国·高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直
线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) ．
（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线
易知直线l的斜率存在，设 ， ，联立 可得，
，所以， ，
且 ．所以由 可得，
，即 ，即
，所以 ，化简得，，即 ，所以 或 ，当 时，直线
过点 ，与题意不符，舍去，故 ．
（2）不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（1）知，
，当 均在双曲线左支时， ，所以 ，即
，解得 （负值舍去）此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无
交点，舍去；当 均在双曲线右支时，因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），于是，直线 ，直线
，联立 可得， ，因为方程有一个根
为 ，所以 ， ，同理可得， ， ．所以
， ，点 到直线 的距离 ，故 的面积为
．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．【答案】(1) ；(2) ．
(1)设 是椭圆上任意一点, ,则
，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
(2)设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆： 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
【答案】(1) (2)（1）解：依题意可得 ， ，又 ，所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，所以
，解得 ，所以 ， ，直
线 的方程为 ，令 ，解得 ，直线 的方程为 ，令 ，解得
，所以
，所以 ，
即 即
即
整理得 ，解
得
