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重难点突破06 弦长问题及长度和、差、商、积问题
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1、弦长公式的两种形式
①若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
②若 ， 是直线 与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去 后得到一元二次方程
，则 ．
题型一：弦长问题
例1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相切，且交椭圆于 两点，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】设直线 ，
直线 与圆 相切，
，
将直线 方程与椭圆方程联立，得 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
由对称性，不妨取 ，
故答案为： .
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、
两点，则弦 的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆 中， ， ，则 ，故点 ，
设点 、 ，由题意可知，直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ， ，由韦达定理可得 ， ，
所以， .
故答案为： .
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ， 的上顶点为A，两个焦点为 ，
，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， 的周长是13，则 ．
【答案】6
【解析】如图，连接 ，
因为 的离心率为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
又 ，所以直线 为线段 的垂直平分线，
所以 ， ，
则 的周长为 ，
，
而 ，所以直线 的方程为 ，
代入椭圆 的方程 ，得 ，
设 ， ，则 ，所以 ，
故答案为：6.
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： ，若直线 的倾斜角为60°，且与双曲线C
的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 ，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】双曲线双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
而直线 的倾斜角为60°，则直线 的斜率为 ，可设直线 的方程为 ，
与双曲线方程 联立，化简可得 ，
由 ，得 或 ．
设 ， ，则 ， ，
则 ，所以 ，
，解得： （舍去）或 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，可得 .
故点P的坐标为 .
故答案为： .
变式2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，
分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，设 ， ，
由双曲线定义可得 ，所以 ，
即 ， ，即 .故答案为： .
变式3．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到
的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．
已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再
经抛物线上的另一点 射出，则 ．
【答案】
【解析】如图，由题意可知 轴， ，
将 代入 中得 ，即 ,
又 ，则 ，故 的方程为 ，联立 ，
可得 ，解得 ，或 （此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则 ，故 ，
故答案为： .
变式4．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，准线与
轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 ．
【答案】8
【解析】由题意得， ，当直线 的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线 的方程为 ，不妨设 ，
联立 ，可得 ，易得 ，
设 ，则 ，
则 ，
则 ，，
由正弦定理得 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
又由焦半径公式可知 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
则 ，解得 ，
故 ，
当 时，同理可得到 .
故答案为：8
变式5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经
过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【解析】（1）因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
所以有 ，
又因为离心率为2，
所以有 代入 中，可得 ，∴C的标准方程为： ；
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为 ，
所以直线l的斜率为 ，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为 ，
方程为 与双曲线方程联立为：
，
设 ，则有 ，
变式6．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线 的准线方
程是 .
(1)求抛物线的方程；(2)设直线 与抛物线相交于 ， 两点，若 ，求实数k的值.
【解析】（1）因为抛物线 的准线方程为 ，
所以 ， 解得 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）如图，
设 ， .
将 代入 ，
消去 整理得 .
当 时，
， .
，
化简得： ，解得 ，
经检验，此时 ，故 .
题型二：长度和问题
例4．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆 和两个半圆
、 组成曲线 ，其中点 依次为 的左、
右顶点，点 为 的下顶点，点 依次为 的左、右焦点．若点 分别为曲线 的圆心．(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条平行线 分别与 和 交与 和 ，求 的最小值．
【解析】（1）由两圆的方程知：圆心分别为 ， ，即 ， ，
，解得： ， .
（2）由题意知： ；
， 由对称性可知： 为椭圆 截直线 的弦长，
设 ，其与椭圆 交于点 和
由 得： ，则
， ，
，
当 时， 取得最小值 ， 的最小值为 .
例5．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当 且 时，我们把方程
表示的椭圆 称为椭圆 的相似椭圆．已知椭圆 ，
椭圆 （ 且 ）是椭圆 的相似椭圆，点 为椭圆 上异于其左、右顶点 的任意一点．
(1)当 时，若与椭圆 有且只有一个公共点的直线 恰好相交于点 ，直线 的斜率分别为 ，
求 的值；
(2)当 （e为椭圆 的离心率）时，设直线 与椭圆 交于点 ，直线 与椭圆 交于点 ，
求 的值．
【解析】（1）设 ，则直线 的方程为 ，即 ，记 ，则 的方程为 ，
将其代入椭圆 的方程，消去 ，得 ，
因为直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
所以 ，即 ，
将 代入上式，整理得 ，
同理可得， ，
所以 为关于 的方程 的两根，
所以， ．
又点 在椭圆 上，
所以 ，
所以 ．
（2）由椭圆 ，得其离心率 ，
所以当 ，即 时，椭圆 的标准方程为 ，
所以， ， ，恰好为椭圆 的左、右焦点，
易知直线 的斜率均存在且不为 ，
所以 ，
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ．
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ．由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ．
例6．（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，
点 为 上的一个动点(非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的
最大值为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于
两点，证明： 为定值．
【解析】（1） 的周长为 ，由椭圆的定义得 ，即 ，
又 面积的最大值为2， ，即 ，
， ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 .（2）由（1）可知 ， ，椭圆 的离心率 ，
设椭圆 的方程为 ，则有 ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ，
设 ， ， ， 点 在曲线 上， ，
依题意，可设直线 ， 的斜率分别为 ，
则 的方程分别为 ， ，
于是 ，
联立方程组 ，消去 整理，得 ，
， ，
，
同理可得： ，
， ，
为定值.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 的取值范围.
【解析】（1）∵ ，所以 .设椭圆方程为 ，将 代入，得 .
故椭圆方程为 .
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
易得其中一条弦为长轴 ，另一条弦长为椭圆的通径为 ，即 ；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设 ， ，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
将直线 的方程代入椭圆方程中，并整理得：
，
∴ ， ，
∴ ，
同理， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ .
综合②可知， 的取值范围为 .
题型三：长度差问题例7．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线 经过点 ，直线
与 交于 ， 两点（异于坐标原点 ）．
(1)若 ，证明：直线 过定点．
(2)已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交 于 ， 两点，试问是否
存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：将点 代入 ，得 ，即 ．
联立 得 ，
由 ，设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 恒成立，则 ，
所以 的方程为 ，故直线 过定点 ．
（2）联立 得 ，则
且 ，即 ，
，
设 ，同理可得 ．因为直线 在 的右侧，所以 ，则 ，即 ．
所以 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以满足条件的 存在， .
例8．（2023·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为椭圆 ：
的右焦点F，点P为抛物线 与椭圆 在第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线l过点F，交抛物线 于A，C两点，交椭圆 于B，D两点（A，B，C，D依次排序），且
，求直线l的方程.
【解析】（1）由抛物线 可知： ，
故由 得： ，故 ，则 ，
则对于 有： ，解得 ，
故椭圆方程为： ；
（2）过点 的直线 的斜率不存在时， ， ， ，
所以直线 在点 的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，
不满足题意，如下图；所以过点 的直线 的斜率存在，
故设直线 的斜率为k，则直线方程为 ，
联立抛物线方程： ，整理得： ，
设 ，则 ，
故 ，
联立 ，整理得 ，
设 ，则 ，
则
，
又 ，
即 ，整理得 ，
解得 ，因为 ， ，而 ，
且A，B，C，D依次排序，所以 ，如下图，
故 ，故直线 的方程为 .
综上，直线 的方程为 .题型四：长度商问题
例9．（2023·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线 的离心率是 ，点 是双曲线
的一个焦点，且点 到双曲线 的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)设点 在直线 上，过点 作两条直线 ，直线 与双曲线 交于 两点，直线 与双曲线
交于 两点.若直线 与直线 的倾斜角互补，证明： .
【解析】（1）根据双曲线的对称性，不妨设 ，其渐近线方程为 ，
因为焦点 到双曲线 的一条渐近线的距离是2.
所以 ，
因为双曲线 的离心率是 ，
所以， ，解得
所以，双曲线 的标准方程为 .
（2）证明：由题意可知直线 的斜率存在，设 ，
直线 .联立 整理得 ，
所以， .
故 .
设直线 的斜率为 ，同理可得 .
因为直线 与直线 的倾斜角互补，
所以 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以 .
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，圆 与圆 、圆
外切，
(1)求圆心 的轨迹方程
(2)若过点 且斜率 的直线与 交与 两点，线段 的垂直平分线交 轴与点 ，证明 的值是
定值.
【解析】（1）因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标 ，圆C半径为 ，
则 ， ，
所以 <4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又 ， ， ，
所以其轨迹方程为 ；
（2）设直线为 ，联立 ，消去y得： ，
所以 ，
设MN中点坐标为G，则 ，
所以 ，
，
直线GP的方程为: ，
，
所以 ，
所以 =1.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过点F与
x轴垂直的直线 与双曲线C交于M，N两点，且 .
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于
G，H两点，若 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，
解得故C的方程为 .
（2）显然直线 率存在，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
因为 与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故 ，
解得 ，
此时有 .
，
，
由 ，解得 ，同理可得 ，
所以 .
因为 ，故 .
因为 ，故 ，
故实数 的取值范围是 .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为 ，右焦点 到渐近线的
距离为 .
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线 交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证： 为定值.
【解析】（1）设双曲线方程为由题知
双曲线方程为：
（2）设直线l的方程为 代入
整理得 ，设
所以：
由弦长公式得：
设AB的中点
则 ， 代入l得：
AB的垂直平分线方程为
令y=0得 ，即 ，所以： 为定值.
变式9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分
别为 ，且 .过右焦点 的直线 与 交于 两点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过原点 作一条垂直于 的直线 交 于 两点，求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，
又 的周长为 ，即 ，
，
椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，当直线 的斜率为0时，得 ；
当直线 的斜率不为0时，设直线 ，直线 ，
联立直线 和椭圆 的方程，并消去 整理得
，
.
由根与系数的关系得 ，
所以 .
联立直线 和椭圆 的方程，并消去 整理得
，由根与系数的关系得 ，
，
所以 .
令 ，则
不妨设
，
，
，，
综上可得， 的取值范围为 .
变式10．（2023·陕西·统考一模）在椭圆C： ， ，过点 与 的直线的斜
率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线 上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当
取最大值时，求直线MN的方程．
【解析】（1）过点 与 的直线的斜率为 ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，解得 ， ．
所以椭圆C的标准方程是 ．
（2）如图所示，
由题知 ，设点 ，则直线FP的斜率为 ．
当 时，直线MN的斜率 ，直线MN的方程是 ；
当 时，直线MN的方程是 ，也符合 的形式，
将直线MN的方程 代入椭圆 方程得 ，且
，
设 ， ，则 ， ，所以
．
又 ，令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，由 ，解得 ，
即当 时 取最大值时，此时直线MN的方程为 或 ．
变式11．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆 ）中，
，过点 与 的直线的斜率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为椭圆 的右焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交椭圆 于 两点，求
的最大值.
【解析】（1）过点 与 的直线的斜率为 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
（2）由题知 ，作出图形如图所示
设点 ，则直线 的斜率为 .
当 时，直线 的斜率 ，直线 的方程是 ；当 时，直线 的方程是 ，也符合 的形式，
将直线 的方程 代入椭圆 方程得
，且 ，
设 ，则 .
所以
又 ，令 ，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
由 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
变式12．（2023·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系 中， 为
动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，
且 ，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ， ，设点 与点 关于原点 对称， 的角平分线为直线 ，过点 作 的
垂线，垂足为 ，交 于另一点 ，求 的最大值.
【解析】（1）由题意设 ，由点到直线距离公式得
， ，
∴ ，
∴ ，又∵垂足 位于第一象限，
垂足 位于第四象限， ，∴ 的轨迹方程为 .
（2）由对称性，不妨设 在第一象限，设 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，记 ，由 为 的角平分线，
则有 ，
其中 ， ， ， ，
∴ ，
同理得： ，代入 中，
∴ ，化简得： .
将 代入 ， 中，
解得： ， ，
∴ ， ，
设直线 的方程为 ，将 代入，
解得： ，
∴直线 的方程为 ， ，
由点到直线距离公式得： .
由直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ，
将 点代入，解得： ，
∴直线 的方程为 ，将其与 联立得：，
设 ，则 ， ，
由 可知 ， ，
由均值不等式， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，故 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
∴ 的最大值为 .
变式13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知 ， 为椭圆
的两个焦点．且 ，P为椭圆上一点， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 的中点为 为坐标原点，直线 交直线 于点 ．
求 的最大值．
【解析】（1）依题意 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）依题意可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，
， ， ，
设 ，则 ，，
.
.
的中点为 ，则 ，即 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
而 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最大值为 .
变式14．（2023·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且
.(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意可设直线 的方程为： ， ，
联立抛物线方程 ，
所以 ，
又 ，
化简得 ，
解之得 ，即直线 为： ，显然过定点 ；
（2）由抛物线 ，
则点 的切线方程分别为 ，
易知 ，联立切线方程可得 ，
结合（1）可知 ，∴ ，
故 ， ，
由弦长公式及（1）可得 ，
所以 ，
易知 ，
即 的取值范围为 .
变式15．（2023·四川绵阳·统考三模）过点 的直线 与拋物线 交于点 ， （
在第一象限），且当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求抛物线的方程；
(2)若 ，延长 交抛物线 于点 ，延长 交 轴于点 ，求 的值.【解析】（1）由题意直线l的斜率 ，所以l得方程为 ，
联立方程 ，解得 ， ，
由弦长公式得： ，
，解得 ， 抛物线方程为 ；
（2）由（1）知：抛物线方程为 ，设 ，直线l的方程为
，显然 时存在的，
如图：
联立方程 ，得 ， ， ① ，
直线MB的方程为： ，即 ，
， ②，
直线PN的方程为： ，
令 得 ， ，
， ，
由①②得： ；
综上，抛物线方程为 ， .
变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 上的点 到其焦点F的距离为
2．
(1)求抛物线C的方程；(2)已知点D在直线l： 上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交
于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求 的值．
【解析】（1）因为点 ，在抛物线C： 上，
所以 ，抛物线的准线方程为 ，
由抛物线的定义得： ，解得 ，即抛物线C的方程为 ；
（2）由题意可设 ， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 ，整理得 ，
设点 ，同理可得 ，
则直线AB方程为： ，
令 得 ，即点 ，
因为直线NF与直线AB垂直，
所以直线NF方程为： ，
令 得 ，即点 ，
∴ ，
当且仅当 时， 时上式等号成立，
联立 ，得 ，
∴ ， ， ，
，
∴ ．
变式17．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若
，求 的最大值．
【解析】（1）由题意得 ，设F关于直线 的对称点为 ，则 ，解得
，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由 可得 ，设 ， ，则 ， ，
∴ ，
，∴线段AB的中点坐标为 ，则线段AB的垂直平分线方程为
，令 ，得 ，故 ，
又 ，得 ．
∴ ，令 ，
则 ， ，∴ ，
易知函数 在 上单调递增，∴当 时， 取得最小值，
此时 ，故 的最大值为 ．
变式18．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线
有一个相同的焦点 ，椭圆的长轴长为2p．(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点， 为椭圆的左焦点，直线 交椭圆于A，B两点，直线 与抛物线交于P，Q两
点，求 的最大值．
【解析】（1）由题意， ，又 ， ，
抛物线方程为： ，椭圆方程为 ；
（2）由（1）知： ，由题意 的斜率不为0，
设直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
，
联立方程 ，得： ，
；
联立方程 ，得 ，
，
又点P是 的交点， ，得 ，
点P在抛物线上， ， ， ，
，考察函数 ，是增函数， ，
，即最大值为 ；
综上，抛物线方程为： ，椭圆方程为 ， 的最大值为 .
题型五：长度积问题
例12．（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线 ， 为 的焦点，过点 的直线
与 交于 ， 两点，且在 ， 两点处的切线交于点 ，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程；
(2)证明： ．
【解析】（1）由题意知 ，将 代入 ，解得 ，
所以当 与 轴垂直时， ，所以 ，
故抛物线 的方程为 ．
（2）
证明：法一：根据题意知直线 的斜率存在， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
所以 ， ， ．
对 求导，得 ，
所以 ，所以 ．
由 得 所以 ．当 时，根据对称性得 ， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
综上， ．
法二：根据题意知直线 的斜率存在， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，所以 ， ， ．
对 求导，得 ，由 得 所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
又 ，所以 ．
例13．（2023·浙江·校考模拟预测）已知抛物线： ，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B
两点，与椭圆 交于C、D两点，其中 ．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线 ，使得 是 与 的等比中项，若存在，请求出AB的方程及 ；若不存在，请
说明理由．
【解析】（1）设直线 的方程为 ， ，
由 得 ，则 ，
，
，
又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以抛物线方程为 ；
（2）由（1）可知： ，
所以 ，
设 ，
由 得 ，
则 ，
所以 ，
若 是 与 的等比中项，
则 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以方程 无解，
所以不存在直线 ，使得 是 与 的等比中项．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且直线
被椭圆 截得的弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）直线 ，经过点 ， ，被椭圆 截得的弦长为 ，可得 ．
又 ， ，解得： ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）可得：圆 的方程为： ．
设 ，则以 为直径的圆的方程为： ，
与 相减可得：直线 的方程为： ，
设 ， ， ， ，联立 ，化为： ，
，则 ， ，
故 ．
又圆心 到直线 的距离 ，
，
，
令 ，则 ，
，可得 ，可得： ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为
上一点，且当 轴时， .(1)求 的方程；
(2)设 在点 处的切线交 轴于点 ，证明： .
【解析】（1）由题意知， ，得 ，
当 轴时，设 ，
代入椭圆方程，得 ，解得 ，即 ，
由椭圆的定义知， ，又 ，
所以 ，由 ，解得 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为 ，此时点P与点Q重合，等式成立；
当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；
当切线斜率存在时，设 ，
由 ，得 ，则 ，
所以切线的斜率为 ，得切线方程为 ，
即 ，
整理得 ，
即 ，所以切线方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
由(1)知， ，
则 ，
，
又 ，得 ，所以 ，
，
所以 ，即 ，即证.
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 作 轴的
垂线，与 交于 两点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ， ， 交于点 ，求
的取值范围．
【解析】（1）由椭圆 的离心率为 ，得 ，即 ①，
将 代入椭圆方程得 ，则 ，
由 ，得 ，即 ②，
由①②并结合 ，得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）①当直线 的斜率为0时，直线 的方程为 ，此时 ， ，所以
；
②当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为0，此时 ， ，所以 ；
③当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 （ ），
联立 ，整理得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以
．
因为 ，所以可用 替换 表达式中的 得 ，
所以 ．
令 ，因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，
因为 ， 则 ，所以 ；
综上所述： 的取值范围为 ．
变式21．（2023·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 经过点 ，左，
右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设A为椭圆 的右顶点，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，以 为直径的圆过点A，求
的最大值．
【解析】（1）根据题意可得 解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）
由(1)得 ，设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，
， ,
，
，
因为以 为直径的圆过点A，故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
解得 或 舍去 ，
当 时， ，且 ，点A到MN的距离为 ，
所以 ，
化简得 ，
令 ，则 ，，
由对勾函数的单调性知 ，在 上单调递增，
即 时 取得最小值 ，此时 .
变式22．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的焦距为2，且经过点
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的
定点T，使 恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【解析】（1）由椭圆 的焦距为2，故 ，则 ，
又由椭圆 经过点 ，代入 得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 ，
由椭圆右焦点 ，故可设直线l的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
设 ， ，且 ，
设存在点 ，设 点坐标为 ，由 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ，则 ，所以 ，
所以 ，整理得 ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，即存在点 满足题意．
题型六：长度的范围与最值问题
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一
个焦点， 与 的公共弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，过点
作垂直于 的直线交 轴于点 ，试求 的取值范围．
【解析】（1）抛物线 的焦点 为 ，
由题意可得 ①
由 与 关于 轴对称，可得 与 的公共点为 ，
可得 ②
由①②解得 ， ，
即有椭圆 的方程为 ；
（2）设 ， ，代入椭圆方程，可得 ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
即有 ，
由 为中点，可得 ，又 的斜率为 ，
即有 ，令 ，可得 ，
即有可得
又
，
即有 ，
由 ，可得 ，
即有 ，
则有 的取值范围为 ．
例16．（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆 的两个焦点 ， ，
动点 在椭圆上，且使得 的点 恰有两个，动点 到焦点 的距离的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点分别为
， ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求弦 长的取值范围．
【解析】（1）设半焦距为 ，由使得 的点 恰有两个可得 ，
动点 到焦点 的距离的最大值为 ，可得 ，即 ，
所以椭圆 的方程是 .
（2）圆 的方程为 ，设直线 上动点 的坐标为 .
设 ，连接OA，因为直线 为切线，故 ，否则直线 垂直于 轴，则 与直线 平行，
若 ，则 ，故 ，
故直线 的方程为： ，
整理得到： ；
当 时，若 ，直线 的方程为： ；若 ，则直线 的方程为： ，
满足 .
故直线 的方程为 ，同理直线 的方程为 ，
又 在直线 和 上，即 ，
故直线 的方程为 .
联立 ，消去 得 ，
设 ， ．
则 ，
从而
，又 ，从而 ，所以 .
例17．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的
右焦点 且垂直于 轴的直线 与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题可知， ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题可知，直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，
联立 消去 ，得 ，
所以 ，解得 ，
且 ，
所以
.
联立 可得 ，同理可得 ，所以 ，
所以 ，
其中 ，则 ，所以 .
变式23．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆 的左右焦点 ，
分别是双曲线 的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且 ？若存在，
写出该圆的方程，并求 的取值范围，若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得： ，
故 ，
双曲线渐的近线方程为 ，
故椭圆右顶点 到双曲线渐近线距离为 ，
因为 ，解得： ，
故 ，
所以椭圆方程为 ；
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 为 ，
联立 与 ，得：
，
由 得： ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
其中，
整理得： ，
将 代入 中，解得： ，
又 ，解得： ，综上： 或 ，
原点到直线 的距离为 ，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且 ，
该圆的半径即为 ，故圆的方程为 ，
当直线 斜率不存在时，此时直线 的方程为 ，
与椭圆 的两个交点为 ， 或 ， ，
此时 ，满足要求，
经验证，此时圆 上的切线在 轴上的截距满足 或 ，
综上：存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，且
；
，
将 代入上式，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ，
又 ，
当直线 的斜率不存在时，此时 ，
综上： 的取值范围为 .
变式24．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点
分别为 ，离心率为 ，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 不在 轴上）， 的
周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，且 为坐标原点），求 的取值范围.
【解析】（1）由 的周长为 ，得 ，即 ，
又离心率 ，所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）知 的坐标为 ，
①当直线 的斜率不存在时， ， ，则 ；
②当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 且 ，
联立 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，，
设点 ，则 ，即 ，代入椭圆方程得 ，
解得 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 的取值范围是 .
综上所述， 的取值范围是 .
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过
的左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
【解析】（1）证明：设 、 ，因为椭圆 的焦距为 ，所以 ，解得 ．
又因为椭圆 的离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
因为直线 经过 、 ， ，
所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
由 ，得 ， .
所以 ，，
因此， .
（2）证明：若直线 、 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，不合乎
题意，
所以，直线 的斜率存在且不为零，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，其中 ．
联立 可得 ，
设 、 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
易知 且 ，将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
所以
，
同理可得 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 .
变式26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的两个焦点为 ， ，且 ， 的
双曲线 的顶点，双曲线 的一条渐近线方程为 ，设P为该双曲线 上异于顶点的任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且直线 和 与椭圆 的交点分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)证明：直线 ， 的斜率之积 · 为定值；
(3)求 的取值范围．
【解析】（1）设双曲线 的标准方程为 ，由题意知 ，且 ，
即 ，
所以双曲线 的标准方程为： ；
（2）设点 ，由题可知 ，则 ， ，
所以 ，
而由点 在双曲线上，可知 ，即有 ，
从而 ，故 ；
（3）由上可知 ，且 ，且不能同时取 或 ，
所以可设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
把直线 的方程为 代入椭圆方程 ，
整理得 ，
设 ， ，则有 ， ，
因此 ，同理可得 ，
因此 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .
变式27．（2023·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点 到点 的距离与到直线
的距离之比为 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与 交于A，B两点，与 轴交于点 ，线段AB的垂直平分线
与 轴交于点 ，求 的取值范围．
【解析】（1）设 ，由题意 ，
因为 ，所以 ，
即 ，两边平方并整理得 ．
故点 的轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 方程为 ，
联立 ，消 并整理得， ，显然 ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，可得线段 中点坐标为 ，所以线段 中垂线的方程为 ，
令 ，可得 ，
对于直线 ，令 ，可得 ，
所以
又 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，故 ．
变式28．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点是双曲线
的顶点， 的焦点到 的渐近线的距离为 .直线 与 相交于
A，B两点， .
(1)求证：
(2)若直线l与 相交于P，Q两点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得椭圆焦点坐标为 ，双曲线渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以 的方程为 ，
由 ，消y得 ，
所以 得 ，设 ， ，则 ，
所以
，
化简得 ，得证；
（2）由 消x，得 ，
所以 ，即 ，
结合 ，及 ，可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
变式29．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知点 在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点 的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆 ，直线 与圆O相切且与点 的轨迹交于不同两点 ，当 且
时，求弦长 的取值范围.
【解析】（1）由关系式 ，结合椭圆的定义，
点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆.
∴ ，
∴点M的方程为 .
（2）由题意，联立方程 ，则
设 ， ，
则 ， ,
因直线 与圆 相切，且 ，
∴ ，
，
， ①
②
将①代入② .
因为 ，所以 .变式30．（2023·四川遂宁·统考三模）已知椭圆 的左、右顶点为 ，点 是椭
圆 的上顶点，直线 与圆 相切，且椭圆 的离心率为
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，过左焦点 的直线 与椭圆 交于 两点（ 不在 轴上）且 (O为
坐标原点)，求 的取值范围．
【解析】（1）由题设 因为 ，
所以：
，所以 ，
所以椭圆方程为
（2）由（1）知 的坐标为 ，
①当直线 的斜率不存在时， ， ，则 ；
②当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 的方程为 且 ，
联立 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
，
设点 ，则 ，即 ，代入椭圆方程得 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 的取值范围是 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
变式31．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 , 分别交椭圆 于 , 两点及 两点.求 的取值范围.
【解析】（1）椭圆 : 过点 ，且离心率为
所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，则直线 ： ，代入椭圆方程得 ，
所以 ；直线 ： ，代入椭圆方程得 ，所以 ，
所以 ；
当直线 的斜率不存在时，同理可得 ；
当直线 , 的斜率均存在，不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
，则 ，消去 得 ，
恒成立，所以 ，
所以
；
同理可得，将 换成 可得
所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
变式32．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点 到定
点 的距离与动点 到定直线 的距离的比值为 ，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且 （O为坐标原点），求弦长 的取值范围.
【解析】（1）由题意得， ，两边平方化简得 ，
即可整理得曲线C的标准方程为 ；
（2）i.当直线l的斜率k不存在时，由椭圆对称性有 ，又 ，故 为等腰直角三角形，
故 ，代入方程有 ，
则弦长 ；
ii.当直线l的斜率k存在时，设直线l为 ，联立椭圆消y得 ，
∴ ， ，由 ，
即
，整理得 .
从而
.
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
综上，弦长 的取值范围为 .
变式33．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆 过点 .
(1)若椭圆E的离心率 ，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率 ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆 相切，
求线段 的最大值.
【解析】（1）∵ 在椭圆，∴ ，有 ，所以 ，
又∵ ，所以 ，∵ ，∴ ；
（2）由（1）可知 ，又 ，所以 ，椭圆 .
因为直线 与 相切，故 .
若直线 的斜率不存在，不妨设直线 为： ，代入椭圆方程可得此时线段 .
若直线 的斜率存在，可设直线 的方程为： .
由直线 与 相切，故 ，可得： .
联立 得 ，所以 ，
线段
.
又因为 ，所以 .
当且仅当 ，故当 时， 的最大值为2.
综上所述：当 时，线段 的最大值2.
变式34．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 、 ，点P在椭圆E上， ，且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 与椭圆E相交于A，B两点，与圆 相交于C，D两点，求 的
取值范围．
【解析】（1）因为点 在椭圆上．所以 ，又因为 |，所以 ，，
因为 ，所以 ，又 ，
解得 ， ，所以椭圆的标准方程为
（2）设 ， ，
联立直线 与椭圆 的方程： ，整理可得 ．
，有 ， ，
所以弦长 ，
圆 的圆心 到直线 的距离为 ， 所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，则 ，
所以以 的取值范围为 .
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的短轴长为4，离心率为
．点 为圆 ： 上任意一点， 为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记线段 与椭圆 交点为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意可知： ， ， ，则 ，
∴椭圆的标准方程： ；
（2）由题意可知： ，
设 ，则 ，
∴ ，
由 ，当 时， ，当 时， ，∴ 的取值范围 ；
题型七：长度的定值问题
例18．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆 ， 的左右焦点
是双曲线 的左右顶点， 的离心率为 ．点 在 上（异于 两点），过点 和 分别
作直线交椭圆 于 和 点．
(1)求证： 为定值；
(2)求证： 为定值．
【解析】（1）由题意知： ， ， 双曲线的 ，
又双曲线离心率 ， ， ， ；
设 ， ， ，则 ，
，
即 为定值 .
（2）设直线 的方程分别为 ， ， ， ，
由（1）知： ，
由 得： ，
， ，
；同理可得： ，
，
即 为定值 ．
例19．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆 ．
(1)点 是椭圆 上任意一点，求点 与点 两点之间距离 的最大值和最小值；
(2) 和 分别为椭圆 的右顶点和上顶点． 为椭圆 上第三象限点．直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ．求 ．
【解析】（1）设 ， ，则 ，
，
当 时， ，当 时， .
（2）如图所示：过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设 ，
例20．（2023·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：
的焦点F重合，且椭圆C的离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数 ，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）抛物线E： 的焦点 ，设椭圆标准方程为 ，由右焦点
得椭圆C的半焦距 ，
又椭圆C的离心率 ，所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程 .
（2）如图所示：
当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，∴直线l的斜率不为0，
设直线 ， ，联立方程组 ，
消去x，得 ，
所以 ， ，
所以
.
联立方程组 ，消去x，得 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
令 ，得 .当 时， ，
即存在 .使 为定值 .
变式36．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E： 的焦点关于其准线的对称点为
，椭圆C： 的左，右焦点分别是 ， ，且与E有一个共同的焦点，线段
的中点是C的左顶点．过点 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： ．
【解析】（1）抛物线E的焦点 关于其准线 的对称点为 ，
所以 ，即 ．
因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以 ， ，
所以线段 的中点为 ，所以 ， ．
故C的方程为 ．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．
当 时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，
， ， ，则 ．
当 时，直线l的方程为 ，设 ， ，线段AB的中点为 ， ．
联立 ，消去y，得 ，
则 ， ，
所以 ，
则 ．由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为 ，
令 ，得 ，
则 ．
又 ，
所以 ．
综上， ．
变式37．（2023·天津红桥·统考一模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率
，长轴为4，且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ，其中 为坐标原点，求直线 的斜率；
(3)若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，判断 是否为定值？若是定值，请求出，若不是定
值，请说明理由．
【解析】（1）由离心率 ，长轴为4，得 ， ，
所以 ，
故椭圆C的标准方程为： ．
（2）由（1）得椭圆的右焦点 的坐标为 ，
设直线 的方程为： ，直线 与椭圆 交于两点 ， ，
由 得， ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，
故直线 的斜率为 ．
（3） 是定值，理由如下，
由（2）得：直线 的方程为： ，直线 与椭圆 交于两点 ， ，
， ，
则
，
由 是椭圆 经过原点 的弦，设 ， ，直线 的斜率为 ，
则 ，
由 得， ，且 ，
得 ，
所以 ，为定值．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与椭圆
交于 两点（ 在 轴上方），且 ，设点 在 轴上的射影为点 ，
的面积为 ，抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过抛物线
的焦点与椭圆 交于 两，点，与抛物线 交于 两点.(1)求椭圆 及抛物线 的标准方程；
(2)是否存在常数 ，使 为常数？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可设 ，可得 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
点P坐标代入椭圆方程得 ，所以椭圆C方程为 ，
所以 ，即 ，所以抛物线E方程为 .
（2）设 .
直线l的方程为 ，与椭圆C的方程联立 得 ，
则 恒成立，所以
则 .
直线l的方程为 ，与抛物线E的方程联立 得 .
.
.
要使 为常数，则 ，得 .故存在 ，使 为常数.
变式39．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过
的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值.
【解析】（1）根据题意有 ，C的一条渐近线方程为 ，
将 代入C的方程有 ， ，
所以M，N到直线 的距离之和为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，故 .
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知 ， ，
故 .
设 ，代入C的方程有： ，
设 ， ，则 ， ，所以
，
所以 .
综上， 的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，
故 .
当l不垂直于x轴时，设 ，
代入C的方程有： .
设 ， ，则 ， ，
所以 .
综上， 的值为6.
变式40．（2023·安徽淮北·统考二模）已知抛物线 的焦点和椭圆
的右焦点 重合，过点 任意作直线 分别交抛物线 于 ，交椭圆 于 .当 垂直于
轴时 ， .(1)求 和 的方程；
(2)是否存在常数 ，使 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知可得， 的方程为 ，
代入抛物线方程可得， ，解得 ，所以 .
由题意知 ，得 ，
所以，抛物线方程是 .
所以直线 的方程为 ，焦点 ，所以 .
将直线 的方程 代入椭圆方程可得， ，解得 ，
所以 .
由已知可得， ，解得 ，
所以，椭圆的方程为 .
（2）假设存在常数 ，使 为定值.
设直线 的方程为： ，设 ， ，
联立方程 ，消 化简得 .
则 恒成立，且 ，
所以 .
设 ， ，
联立方程 ，消 化简得 .
则 恒成立，且 ，
所以， .
所以， .
因为 为定值，
所以有 ，所以 .
所以，假设成立.
所以，存在常数 ，使 为定值 .
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，
连接椭圆 的四个顶点所成的四边形的周长为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)已知过点 的直线 与椭圆交于 两点，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆交于 两点，求
的值.【解析】（1）根据题意 ，
所以 ，
椭圆顶点围成的四边形周长为： ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，
故椭圆方程为： ，
椭圆离心率为 .
（2）①当直线PQ斜率不存在时，
|PQ| ，|MN| ，
此时 .
②当直线PQ斜率为0时，
|PQ| ，|MN| ，
此时 .
③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ: ，直线MN：
联立
所以
所以 ，
所以 ，
PQ同理可得， .
此时 .
综上所述， 的值为 .
变式42．（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C： 的长
轴长为4，且离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点 且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：
为定值.
【解析】（1）由题设可得 ，
设椭圆的半焦距为 ，则 ，故 ，故 ，
故椭圆的方程为： .
（2）当 时， ，此时 ，而 ，故 ，故 .
当 时，直线 的方程为 ， ，
由 可得 ，
此时 ，
， ，
且 .的中垂线的方程为： ，
令 ，则 ，故 ，
故 .
变式43．（2023·天津河北·高三统考期末）已知椭圆 点 ，且离心率 ，F为椭
圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点 ，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点， ，连接OT与PQ交于点H.
①若 ，求 ；
②求 的值.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ,
椭圆C的方程为 .
（2）①当 时，即 ，直线 的斜率为 ，
∴直线 的斜率为 ，则直线 的方程 ，
联立方程 ，消去 得： ，解得 ，
∴ .
②∵ ，则直线 的斜率为 ，
当 时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则 ；当 时，则直线 的斜率为 ，则直线 的方程 ，
联立方程 ，消去 得： ，显然 ，
设 ，则 ，
∴线段 的中点的横坐标为 ，
∵直线 的方程为 ，联立方程 ，解得 ，
即点H为线段 的中点，则 ；
综上所述： .
变式44．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E： ．焦距为2c， ，左、右
焦点分别为 ， ．在椭圆E上任取一点 ， 的周长为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点 关于原点的对称点为Q．过右焦点 作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求 的
取值范围；
(3)若过点 的直线 与椭圆E交于C，D两点，求 的值．
【解析】（1）焦距为2c， ，可得 ，
又 的周长为 ，所以 ，即 ，
所以可得
所以椭圆的方程为： ；
（2）设 ,当直线 的斜率为0时,得: , ,
当直线 的斜率不为0时,设直线 ,
直线 ,
联立直线 和椭圆 的方程，并消去 整理得:
,
由韦达定理得:
,
联立直线 和椭圆 的方程,并消去 整理得:
由韦达定理得:
所以 .
令 ,则
， ，所以 ，所以当 即 时， 取得最小值， ，
综上, 的取值范围为 .
（3）
因为 与椭圆E交于C，D两点，而 在直线 上，
设直线CD的参数方程为 ，代入椭圆 中可得 ，
设C，D的参数分别为 ， ，
所以 ，
所以 ;
所以 的值为 ．
变式45．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的长轴是短轴的2倍，且右焦点为
，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且 为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线 与x轴分别交于点M，N，判断 是否为定
值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）长轴是短轴的2倍，且右焦点为 ,
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得： ，
故 ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）若点B在第一象限且 为等边三角形，
设 ， ，
则 ，
又 ，故 ，
该等边三角形的边长为 ；
（3） 是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线 的斜率存在，
设 ， ，则 ， ， ，
则 ，
则直线 ，
令 得： ，则 ，直线 ，
令 得： ，则 ，
所以
因为 ，
所以 ，
故 ，
故 是定值，为4.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C以 为渐近线，其上焦点F坐标为 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于 两点， 的中垂线交y轴于点T，问 是否为定值，
若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线C以 为渐近线，
设双曲线方程为 ，即 ,
∵ ，∴ ，即： ，
∴ ，∴ ，即 .,
所以双曲线C的方程为： .
（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l： ， ， ，
，
化简得： ， ，
此方程的两根为 ，则 ，∴
.，
中点M坐标为 ，即 ，
∴PQ中垂线方程为： ，
令 ，∴ ，∴ ，
则 ，
∴ ，即 为定值，定值为 .
变式47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 长轴的顶点与双曲线
实轴的顶点相同，且 的右焦点 到 的渐近线的距离为 ．
(1)求 与 的方程；
(2)若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 倍，且 经过点 ， 与 交于 、 两点，与 交
于 、 两点，求 ．
【解析】（1）由题意可得 ，则 ．
因为 的渐近线方程为 ，即 ，
椭圆 的右焦点为 ，由题意可得 ， ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ．（2）设直线 的倾斜角为 ，
所以，直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 得 ，则 ，
设 、 ，则 ， ，
所以 ,
联立 可得 ， ，
设点 、 ，则 ， ，
所以， ，故 ．
变式48．（2023·山东青岛·高三统考期末）已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，
上，下顶点分别为 ，四边形 的内切圆的面积为 ，其离心率 ；抛物线
的焦点与椭圆 的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线 的焦点且与椭圆 交于
A，B两点，与抛物线 交于C，D两点.
(1)求椭圆 及抛物线 的方程；
(2)是否存在常数 ，使得 为一个与k无关的常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【解析】（1）由椭圆 可知： ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
因为四边形 的内切圆的面积为 ，所以原点O到直线 的距离为 ，即 ①，因为离心率 ，所以 ②，又 ③，
由①②③可得： ，所以椭圆 的方程为： ，
因为抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，
所以 ，所以 ，从而抛物线 的方程为： .
（2）由（1）知：抛物线 焦点为 ．由题意，设直线l： ，
设 ， ， ， ，
由 可得： ，
所以 ，
所以
，
由 可得： ，所以 ，
因为直线l过抛物线 的焦点，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
由 可得： .变式49．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图， ， ， ， 是抛物线 ： 上的
四个点（ ， 在 轴上方， ， 在 轴下方），已知直线 与 的斜率分别为 和2，且直线
与 相交于点 ．
(1)若点 的横坐标为6，则当 的面积取得最大值时，求点 的坐标．
(2)试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题可知，点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，
则 的长度为定值．
将直线 平移到与抛物线 相切，切点为 ，此时 的面积取得最大值．
设切线的方程为 ，联立方程组
消去 整理得 ．
，解得 ，
将 代入 ，解得 ， ，故点 的坐标为 ．
（2）设 ，则直线 的方程为 ，
联立方程组 消去 整理得 ，
则 ， ．
同理可得， ， ．
， ，
， ，
所以 ．
故 是定值，且该定值为2．
