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第 05 讲 椭圆 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．若方程 表示的曲线为焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为方程 表示的曲线为焦点在 轴上的椭圆，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
2．已知椭圆 的两个焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于 ， 两点，若 的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 .
因为 ， 是椭圆的上的点， 、 是椭圆的焦点，
所以 ，
因此 的周长为 ，
故选：D
3．线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小
值是（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】B
若以 为原点 为x轴建立平面直角坐标系，由 ，则 ，若 ，
故 轨迹是以 为焦点，焦距为4，长轴长为6的椭圆，且轨迹方程为 ，
所以|PM|的最小值是 .
故选：B
4．设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是 上的点 ，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：依题意 ， ，所以 ，
，所以 ，又 ，所以
，所以离心率 ；
故选：D
5．已知点 在椭圆 上， 与 分别为左、右焦点，若 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ， ，又 ，解得 ，.
故选：A.
6．若 ， 是椭圆 ： 与双曲线 ： 的公共焦点，且P是 与
一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题可知： ， ，解得 ，
不妨设 为 在第一象限的交点， ，
由椭圆和双曲线定义可得： ，解得 ，
则 ，又 ，
在△ 中，由余弦定理可得： ，则 .
故选：B.
7．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一
个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，
进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与
整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数.已知焦点在
轴上的椭圆 的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
焦点在 轴上的椭圆 中，
，
所以 ，
由题意得 ，即 ，即 ，
解得 ，
故选:A.8．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点P是椭圆 上的动点， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
根据椭圆的定义可知， ，即 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.
故选：A
二、多选题
9．已知椭圆 中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆 的离心率为 ，且过点 ，则椭圆 的标准
方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
①当椭圆 的焦点在 轴上时，设椭圆 的标准方程为 ，
由椭圆 的离心率为 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ，
因为椭圆过点 ，所以 ， ， ，椭圆 的标准方程为 .
②当椭圆 的焦点在 轴上时，设椭圆方程为 ，
由椭圆 的离心率为 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ，
因为椭圆过点 ，所以 ， ， ，椭圆 的标准方程为 .故选：AC
10．在平面直角坐标系xOy中，已知 ， ， ，若动点P满足 ，则
（ ）
A．存在点P，使得
B． 面积的最大值为
C．对任意的点P，都有
D．椭圆上存在2个点P，使得 的面积为
【答案】AD
由题知，点P的轨迹是 ， ，焦点在x轴上的椭圆，
则 ，椭圆方程为 ，
A：当点P为椭圆右顶点时， ，故A正确；
B：当点P为椭圆上、下顶点时， 面积的取最大值，
且最大值为 ，故B错误；
C： ，
因 ，故C错误；
D：设使得 的面积为 的P点坐标为 ，
由 坐标知， ，直线 的方程为 ，
则 ，解得 或 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，因此存在两个交点；
同理可得直线 与椭圆没有交点；
综上，有且仅有2个点 ，使得 的面积为 ，故D正确；
故选：AD
三、填空题
11．已知 、 动点 满足 ，则动点 的轨迹方程_______．【答案】
因为 ，所以，点 的轨迹是以 、 的椭圆，
且 ，则 ， ，则 ，
因此，动点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
12．已知 ，F是椭圆C： 的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则 的最小值为
___________.
【答案】4
设椭圆C的右焦点为 ，依题意， ，由椭圆的定义得： ，
而 ，即 ，有 ，
因此， ，当且仅当点P是线段 的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以 的最小值为4.
故答案为：4
四、解答题
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过 ， 两点；
(2)焦点在 轴上，半焦距 ，离心率 .
【答案】(1) (2)
(1)设所求椭圆的标准方程为 ，
因为椭圆经过 两点，所以 ，
故椭圆的标准方程为 .
(2)设所求椭圆的标准方程为 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 .
14．已知两定点 ，动点 满足 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；(2) .
(1)依题意知 ，
∴P点的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，且 ．
故所求 点的轨迹方程为 ；
(2)设 ，则 ．
在 中，由余弦定理得，
，
解得 ．
．
B 能力提升
1．设椭圆 （ ）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为 的直线与C的一个
交点为Q（点Q在x轴上方），且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设椭圆右焦点为 ，连接Q ，∵ ， ，∴|OQ|＝ ，∴∠FQ ＝90°，∵ ，∴ ，FQ过F(－
c，0)， Q过 (c，0)，
则 ，
由 ，
∵Q在椭圆上，∴ ，又 ，解得 ，
∴离心率 ．
故选：D．
2．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上一点，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．与 的取值有关
【答案】B
解：由椭圆定义可知： ，
，
，
即
∴
故选：B
3．设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一
点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
记椭圆的左焦点为 ，连接 ，则即
所以椭圆 的圆心率的取值范围是 .
故选：A.
4．设AB是椭圆 （ ）的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的
上半部分于P、P、… 、P ，F 为椭圆的左焦点，则 的值是
1 2 99 1
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设椭圆右焦点为F，由椭圆的定义知 ，2， ， ，
2
．
由题意知 ， ， ， 关于 轴成对称分布，
．
又 ，
故所求的值为 ．
故选：D．
5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以
椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆方
程为 ，椭圆 的离心率为 ， 为蒙日圆上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与
蒙日圆分别交于 、 两点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 ，所以， ，所以，蒙日圆的方程为 ，
由已知条件可得 ，则 为圆 的一条直径，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立.故选：A.
C 综合素养
1．（1）已知椭圆C满足长轴长是短轴长的3倍，且经过P（3， 0），求椭圆的方程．
（2）已知圆C： 及点A（1， 0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ与点M，求动
点M的轨迹方程．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
（1）由题意知： ，
当焦点在x轴上时，a=3，则b=1，所以椭圆方程是 ；
当焦点在y轴上时，b=3，则a=9，所以椭圆方程是 ；
（2） 的半径 ，
由题意知， ，
故点M的轨迹为椭圆，焦点在x轴上， ,
故轨迹方程为： .
2．已知椭圆 的两焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在第二象限， ，求 的面积．
△
【答案】(1) (2)
(1)解:∵椭圆 的两焦点分别为 、 ，∴设椭圆 的方程为 ， ，
，
． ，
椭圆的标准方程为 ．
(2)解：在 中，由余弦定理得 ，
即 △ ，
，
，
．
