文档内容
第 03 讲 圆的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：求圆的方程
题型二：与圆有关的轨迹问题
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
角度2：利用对称性求最值
角度3：建立函数关系求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 , 半径为 , 为圆上任意一点，
可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点
③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有 项；
③ .
知识点二：点与圆的位置关系
判断点 与 ： 位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设 到圆心 的距离为 ，则
① 则点 在 外
② 则点 在 上
③ 则点 在 内
（2）代数法
将点 带入 ： 方程内
①点 在 外
②点 在 上
③点 在 内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知圆的方程是 ，那么经过圆心的
一条直线的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】C
把 配方得 ，圆心为 ，代入各选项，可知直线 过
圆心.
故选：C.
2．（2022·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆 同圆心且过点 的圆的方程
是_____________．
【答案】
圆 ，即
所以所求圆的圆心坐标为 ，半径为
所以圆的方程为 ．
故答案为： ．
3．（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练习）若点 在圆 内，则实数 的取值范围为
____________.
【答案】
解：由题意得
点 在圆 内
，解得
所以实数 的取值范围为故答案为：
4．（2022·福建宁德·高二期中）已知方程 表示圆，则 的取值范围是
____________.
【答案】
原方程可化为
由 得
故答案为：
5．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）经过圆 的圆心且斜率为－1的直
线方程为______
【答案】
的圆心为 ，则直线方程为 ，即 .
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：求圆的方程
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知动圆 经过点 和
(1)当圆 面积最小时，求圆 的方程；
(2)若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程.
【答案】(1)
(2)
(1)要使圆 的面积最小，则 为圆 的直径，
圆心 ，半径
所以所求圆 的方程为： .
(2)设所求圆 的方程为 ，
根据已知条件得 ，
所以所求圆 的方程为 .例题2．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆 与 的交点，并且过点
的圆的方程．
【答案】 .
两圆方程联立得： ，或 ，
设经过点 ， 的圆的方程为： ，
所以有： ，
所以经过这三点的圆的方程为： .
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）若圆C的圆心在直线 上，且圆C与x轴的交点分别为 ，
，求圆C的方程．
【答案】
因为圆C与x轴的交点分别为 ， ，所以圆心在直线 上，
又因为圆C的圆心在直线 上，所以圆心坐标为
所以半径为
所以圆C的方程为
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C： 关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在
y轴上，求圆C的标准方程．
【答案】 .
由题意知：圆心 在直线x＋2y－4＝0上，即－ －E－4＝0.
又圆心C在y轴上，所以－ ＝0.
由以上两式得：D＝0, E＝－4，则 ，
故圆C的标准方程为 .3．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C经过点 和坐标原点，并且圆心在直线 上，求
圆C的标准方程．
【答案】 ．
解法一：设圆C的标准方程为 ，利用待定系数法，由 求解；
解法二，由圆心在 是的垂直平分线的方程和直线 上求得圆心，进而求得半径即可.
【详解】
解法一：（待定系数法）设圆C的标准方程为 ，
则有 解得
∴圆C的标准方程是 ．
解法二：（几何法）由题意知 是圆的弦，其垂直平分线的方程为 ．
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由 得 即圆心坐标为 ，半径 ．
∴圆C的标准方程是 ．
题型二：与圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·重庆一中高一期末）已知圆 ，平面上一动点 满足： 且
， .
(1)求动点 的轨迹方程；
【答案】(1)
解：设 ，则 ，
整理得： .
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知线段 的长为2，动点 到 ， 两点的距离的平方和为
10，求点 的轨迹．
【答案】
以AB的中点O为原点，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则 ，设点 ，
则 ，
即 ，
整理，得 ，
所以点M的轨迹方程为 .
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ： ，动直线 过点 .
(1)当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 相交于 、 两点，求 中点 的轨迹方程.
【答案】(1) 或 ；
(2) 且 ， .
(1)当直线 斜率不存在时 ，显然直线 与圆 相切且切点为 ；
所以，对于另一条切线，若切点为 ，则 ，又 ，
所以 ，由图知：直线 的倾斜角的补角与 互余，
所以直线 的斜率为 ，故另一条切线方程为 ，即 ，此时切点
综上，直线 的方程为 或 .
(2)由（1）知：直线 与圆 相交于 、 两点，则斜率必存在，设 ，则 ，
所以 ，整理得 .
由（1）得： ，且 .
综上，故 的轨迹方程为 且 ， .
例题4．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形 的底边
在 轴上，顶点 与顶点 关于原点 对称，且底边 和 的长分别为6和 ，高为3．
(1)求等腰梯形 的外接圆 的方程；
(2)若点 的坐标为(5,2)，点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】(1) (2)
(1)设 ，
由已知可得： ，
由 得：
，
∴圆 的圆心为 ，半径为 ，
∴圆 的方程为： ．
(2)设 ，
∵ 为线段 的中点，∴ ，
代入点 所在圆的方程得：
，∴点 的轨迹方程为 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点 和点 ， 以 为斜边，求直角顶点A的轨
迹方程．
【答案】 (除去 两点
方法一：设点 ，
， ， ， ，
由题意可知： ，
， ，
整理得： ，
三点不共线，
应去除.
直角顶点 的轨迹方程为： (除去 两点 .
方法二：设BC中点为D( )，则DB＝DC＝DA，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能
和B、C重合)，
故A的轨迹方程为 (除去 两点).
2．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆 ： ，点A是圆 上一动点，
点 ，点 是线段 的中点.
(1)求点 的轨迹方程；
【答案】(1) ；
设线段 中点为 ，点 ，
， ，
， ，
，
即点C的轨迹方程为 .
3．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点 ，且它的圆心M在直线 上.(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点 ，求线段CD的中点P的轨迹方程.
【答案】(1) .(2) .
(1)解：设圆M的方程为 ，则圆心
依题意得 ，解得 .
所以圆M的方程为 .
(2)解：设 ， ，依题意得 ，得 .
点 为圆M上的动点，得 ，
化简得P的轨迹方程为 .
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 上的一定点 ，点 为圆内一点， ， 为
圆上的动点．
(1)求线段 中点的轨迹方程；
(2)若 ，求线段 中点的轨迹方程．
【答案】(1) (2)
(1)解：设 ，则 ，
设线段 中点坐标为 ，
则 ，解得 ，
代入 ，得 ，
即 ；
(2)设线段 中点坐标为 ，
因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
即 ，
化简得 .
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，求下列各式的最大值
和最小值．
（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1）最大值为0，最小值为－ ；（2）最大值为－1，最小值为－21；（3）最大值为9＋4
，最小值为9－4 .
（1）(方法1)令 ＝k，则kx－y－4k＝0.
∵x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，
∴圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即 ，解得－ ≤k≤0，
∴ 的最大值为0，最小值为－ .
(方法2)令 ＝k，则y＝k(x－4)代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，方程
有实数根，
∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化简整理得21k2＋20k≤0，解得－ ≤k≤0，
∴ 的最大值为0，最小值为－ .
（2）(方法1)设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即
，解得－21≤k≤－1，
∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
(方法2)设k＝3x－4y，即y＝ x－ ，代入圆的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，方程有
实数根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化简整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，
∴3x－4y的最大值为－1，最小值为－21.
（3）(方法1)原点与圆心之间的距离d＝ ，
根据几何意义知：x2＋y2的最大值为 ＝9＋4 ，最小值为 ＝9－4 .
(方法2)由（1）知，圆的方程中的x，y变为 (α∈R)，
x2＋y2＝ ＋ ＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4 sin(α＋φ)，
∴x2＋y2的最大值为9＋4 ，最小值为9－4 .
同类题型归类练
1．（2020·全国·高三专题练习（理））已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
(1) （1）x2+y2﹣4x+1=0即为（x﹣2）2+y2=3，
表示圆心为C（2，0），半径为r= 的圆，
设 =k，由题意可得直线y=kx与圆C有交点，
可得 ≤ ，解得﹣ ≤k≤ ，
即有最小值为﹣ ，最大值为 .
(2) 设y﹣x=t，由题意可得直线x﹣y+t=0与圆C有交点，
可得 ≤ ，解得﹣2﹣ ≤t≤﹣2+ ，
即有最小值为﹣2﹣ ，最大值为﹣2+
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知其在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取
得最大值和最小值．又知圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2) ＝(2＋ )2＝7＋4 ，(x2＋y2) ＝(2－ )2＝7－4 ．
max min
2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
（1） 的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；（3）x2＋y2的最大值和最小值．
【答案】（1） ，－ ；（2）－2－ ；（3）7＋4 ；7－4 .
（1）如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以 为半径的圆．
设 ＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由 ＝ ，解得k2＝3，
∴k ＝ ，k ＝－ ．
max min
（2）设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距
离公式，得： ＝ ，即b＝－2± ，故(y－x) ＝－2－ ．
min
（3）x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2) ＝
max
OC′2＝(2＋ )2＝7＋4 ，(x2＋y2) ＝OB2＝(2－ )2＝7－4 ．
min
角度2：利用对称性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ，点 分
别在 轴和圆 上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)外离；(2) ﹒
(1)圆 的圆心为 (1，2)，半径为1，圆 的圆心为 (3，4)，半径为 ，
∵ ，∴两圆外离；
(2) ，作 (1，2)关于x轴的对称点 ，
则当 、P、 三点共线时，所求最小值为 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 和圆 ， 分别是
圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，半径为1，圆 的圆心坐标为 ，半径为3，∴若 与 关于x轴对称，则 ，即 ，
由图易知，当 三点共线时 取得最小值，
∴ 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和，
∴ .
故选：D.
2．（2021·全国·高三专题练习）已知圆 及点 ，点P、Q分别是直线
和圆C上的动点，则 的最小值为___________．
【答案】
如图所示：
设点 关于直线 的对称点为 ,则 ，
解得 ，则 ，
因为 ，
所以 的最小值为
故答案为： .
角度3：建立函数关系求最值
典型例题
例题1．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
单位向量 满足 ，即 ，作 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平
面直角坐标系，如图，
，设 ，则 ，由 得： ，
令 ，即 ，
，其中锐角 满足 ，
因此，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 .
故选：D例题2．（2022·辽宁·高一期末）在直角 中， ， 为 的中点， ， 在边 上，
且满足： ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
以D为原点建立如图坐标系，则 ，
设 其中 ， ，
， ，
所以
，由题知 ，
所以 ，所以 ，
，其中 ，
所以当 时， 取得最大值 .
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·广东广州·高一期末）平面四边形 中， ，则
最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以点P在以BC为直径的圆的劣弧AC上，
分别以AB、AC为x，y轴正方向建系，取BC中点E，如图所示
所以 ，则圆E的方程为 ，
设点 ，其中 ，则 ，
所以 ，即 最小值为-2，
故选：A
2．（2022·福建福州·高一期末）已知 为等腰直角三角形， ，圆M为 的外接圆，
，则 ____________；若 为圆 上的动点，则 的最大值为
____________.
【答案】 2+2##2+2
（1）依题意， 是斜边 的中点，又 ，故 是 中点，于是 是 中位线，
// ，又 ，故 ，于是 （2）以圆心 为坐标原点，建立平面直角坐标
系如下，
设 与 轴正半轴的夹角为 ，则 .
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 ， 取到最大值 .故答案为： ，
