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考点 21 双曲线（核心考点讲与练）
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F，F 的距离差的绝对值等于常数(小于|FF|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定
1 2 1 2
点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c，
1 2 1 2
其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若 a < c 时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若 a > c 时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图 形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x ∈ R ， y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
性
渐近线 y＝±x y ＝ ± x
质
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长度|AA|＝2a；线段BB 叫
1 2 1 2 1 2
实虚轴 做双曲线的虚轴，它的长度|BB|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，
1 2
b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 21.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||
PF|－|PF||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF||PF|的联系．
1 2 1 2
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心
率涉及的也比较多．由于e＝ 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2
－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆
锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝
1 1 2 2
＝ |x－x|＝ ·|y－y|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝
1 2 1 2 1 2
，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·广东潮州·二模）若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，则“”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.
【详解】由题意可知， ， ， ，
若 ，则 ， 或1（舍去），
若 ， ， 或13，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，c是双曲
线C的半焦距，点A是圆 上一点，线段 交双曲线C的右支于点B， ，
，则双曲线C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知及双曲线的定义，可把 用a表示，再用勾股定理推出 ，在 中，
利用勾股定理建立a，c的关系式即可求出离心率.
【详解】如下图，由题意可知 ，由双曲线定义可知 ，易得 ，由勾股定理可得 ，在 中，再由勾股定理得 ，所
以 .
故选：A.
3．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线 的两个焦点为 、 ，点M，N在C上，
且 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， ，由双曲线对称性可知，直线 与 交于y轴上一点P，且
为等腰直角三角形，可得 的坐标，分别求出 ，再根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：因为 ， ，
由双曲线对称性可知，直线 与 交于y轴上一点P，
且 为等腰直角三角形，所有 ，
如图，则 ， ， ，
所以 ， ，
则 ，即 ，
则 ．
故选：D.
4．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，点
在双曲线 的右支上， （ 为双曲线 的半焦距），直线 与双曲线 右支交于另一个点 ，
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的相关性质可得解.
【详解】如图所示，
由 ， ，得 ，
，
设 ，
由双曲线定义得 ，
所以 ， ， ，
又 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，
又 ，即 ，即 ，
所以离心率 ，
故选：D.
二、多选题
5．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，且其右顶点为 ，
左，右焦点分别为 ， ，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若 ，则
D．若 ，则 的外接圆半径为
【答案】ABD
【分析】由离心率为 ，右顶点为 求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质
依次判断4个选项即可.
【详解】由离心率为 ，右顶点为 可得 ， ，故双曲线C的方程为 ，A
正确；
双曲线的渐近线为 ，故点A到双曲线C的渐近线的距离为 ，B正确；
由双曲线的定义 ， ，则 或10，C错误；
，则 ， 的外接圆半径为 ，D正确.
故选：ABD.
6．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图 ， 是双曲线的左、右焦点，从右焦点
发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ．若双曲线C
的方程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则B．当n过 时，光由 所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若 ，直线PT与C相切，则
【答案】CD
【分析】对于A：判断出 ，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的
定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率
的范围；对于D：设直线PT的方程为 .利用相切解得 ，进而求出 .即可
求出 .
【详解】对于A：若 ，则 .
因为P在双曲线右支上，所以 .由勾股定理得：
二者联立解得： .故A错误；
对于B：光由 所经过的路程为
.
故B错误；对于C：双曲线 的方程为 .设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当 与 同向共线时， 的方向为 ，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为 .即 .
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为 .
，消去y可得： .
其中 ，即 ，解得
代入 ，有 ，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即 ，解得： （ 舍去），所以 .
所以 .
故D正确
故选：CD
7．（2022·重庆八中模拟预测）已知点 ， ，若某直线上存在点P，使得 ，
则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由题意，点P应该是在双曲线 上，即“好直线”就是与双曲线有交点的直线.
【详解】由题意， ，双曲线的方程为 ，
“好直线”就是与双曲线有交点的直线，
对于A，联立方程 ，解得 无解，故A不是“好直线”；
对于B，联立方程 ，解得 ， ，故B是“好直线”；
对于C，联立方程 ，解得 ，无解，故C不是“好直线”；
对于D，联立方程 ，解得 ， ，即直线
与双曲线有交点，
故D是“好直线”；
故选BD.
三、填空题
8．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程 ，其左、右焦点分别是 ， ，已知点P坐
标为 ，双曲线G上点 ， 满足 ，则 ______．
【答案】8
【分析】设 的内切圆与三边分别相切于 ，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为 ，又由
得 在 的平分线上，进而得到 即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】
如图，设 的内切圆与三边分别相切于 ，可得 ，又由双曲线定义
可得 ，则 ，又 ，解得
，则 点横坐标为 ，即内切圆圆心横坐标为 .
又 ，可得 ，化简得 ，
即 ，
即 是 的平分线，由于 ， ，可得 即为 的内心，且半径 为2，则
.
故答案为：8.
【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得 内切圆圆心横坐标为 ，再由
得到 在 的平分线上，结合 的横坐标为 进而得到 即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可
求解.四、解答题
9．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，焦距等于8，
点M在双曲线C上，且 ， 的面积为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过 的斜率不为 的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接
AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的面积公式以及双曲线的定义求出 可得双曲线的标准方程；
（2）设直线l的方程为 ，联立直线 与椭圆方程，消去 得关于 的一元二次方程，利用韦达定
理得到 和 ，用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关
系求得交点的横坐标为定值即可得解.
(1)依题意 ，由双曲线的对称性不妨设 ， ，
因为 ，所以有 ,
则 ， ，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以双曲线C的方程为 .
(2)由题意得 ， ， ，易知直线l的斜率不等于 .设直线l的方程为 ， ， ，则 .
由 消去x整理得 ，
则 ，
则 ， .
（用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐
标）
直线AQ的方程： ，直线BP的方程： ，
令 ，得 .
因为 ， ，所以 ，
展开整理得 ，
即 ，
即 ,
即 ，
即 ，
所以 .所以直线AQ与BP的交点恒在定直线 上.
【点睛】关键点点睛：用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关
系求得交点的横坐标是解题关键.10．（2022·福建漳州·一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，点
是 右支上一点，若I为 的内心，且 .
(1)求 的方程；
(2)点A是 在第一象限的渐近线上的一点，且 轴， 在点P处的切线l与直线 相交于点M，与
直线 相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有 .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得 ，求出 即可得出方程；
（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得 ，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间
距离公式并结合双曲线方程化简可得 .
(1)设 的内切圆半径为r，
则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，可得 ，
所以 ，
由双曲线的定义和几何性质，得 ，
又 ，解得 ，
所以 的方程为 .
(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 .
由 可得
由题意知 .
若点P在双曲线右支的上半支上，则
所以 ，故
因为 , 所以 ,
若点P在双曲线右支的下半支上，则
同理可得
综上， ，代入直线l的方程得 ,
即 ，由 ，可得 ，
所以直线l的方程为 , 即
因为直线 的方程为x=2，
所以直线l与直线 的交点 ,
直线l与直线 的交点
所以 ,
，
即 得证.
双曲线的几何性质
1．（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线 （ ， ）的右焦点
作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲
线离心率 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用渐近线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和 求出点点A的坐标，代
入到双曲线方程中，得到关于 的方程，求出离心率即可
【详解】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角形 中，
， ，又因为
故 ， ，过 、A分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
则由 得： ，又 ，故 ，
，故可得点A的坐标为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，故选： ．
2.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线 的一条渐近线与直线
相互垂直，则双曲线 的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. 6 D. 8
【答案】B
【分析】先求出m，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.
【详解】因为双曲线 的一条渐近线与直线 相互垂直，
所以 ，解得：m=9.
双曲线 的两个焦点为 ，虚轴的一个端点 .
所以三角形的面积为 .
故选：B
直线与双曲线的位置关系
1.．（江西省南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C： （a> 0，b> 0）的离心率为
，实轴长为2．
（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；
（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为 ，求m的值．
【答案】（1） （2）【分析】（1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式
得解．
（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于 的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解．
（1） 双曲线离心率为 ，实轴长为2，
， ，解得 ， ，
，
所求双曲线C的方程为 ；
∴双曲线C的焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，即为 ，
∴双曲线的焦点到渐近线的距离为 ．
（2）设 ， ，
联立 ， ， ，
， ．
，
，
解得 ．
2.（2021河北省部分名校高二上学期期中）在①双曲线 的焦点在 轴上，②双曲线 的焦点在 轴上
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知双曲线 的对称轴为坐标轴，且 经过点 ， ．（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线 与双曲线 的渐近线相同，______，且 的焦距为4，求双曲线 的实轴长．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析
【分析】(1)设双曲线 的方程为 ，将点A、B的坐标代入计算即可；
(2)由(1)可得双曲线 的渐近线方程，若选①则设双曲线 的标准方程为 ，进
而可得a、b、c的关系式，计算即可；若选②则设双曲线 的标准方程为 ，同
理计算即可.
【小问1详解】
设双曲线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 ；
【小问2详解】
双曲线 的渐近线方程为 ．
选①，设双曲线 的标准方程为 ，所以 解得 ， ．
所以双曲线 的实轴长为2．
选②，设双曲线 的标准方程为
所以 ，解得 ， ，
所以双曲线 的实轴长为 ．
1.（2021年全国高考甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.2.（2021年全国高考乙卷）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为_________．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再
由关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点
在 上且 ，则 的面积为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】B
【分析】由 是以 P 为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题.
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，
即可得出轨迹 的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得 的值.
【详解】(1) 因为 ，
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 .
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设 ,
设直线 的方程为 ．
联立 ,
化简得 .则 ．
故 ．
则 ．
设 的方程为 ，同理 ．
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
[方法二] ：参数方程法
设 ．设直线 的倾斜角为 ，
则其参数方程为 ，
联立直线方程与曲线C的方程 ，
可得 ，
整理得 ．
设 ，由根与系数的关系得 ．
设直线 的倾斜角为 ， ，
同理可得
由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
由题意分析知 ．所以 ，
故直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为 ，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设 ,直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ,
则二次曲线 ．
又由 ，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，其中 ．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即 .
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方
法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活
的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
一、单选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个
观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离
是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一
平面上)
A．西偏北45°方向，距离340 m B．东偏南45°方向，距离340 m
C．西偏北45°方向，距离170 m D．东偏南45°方向，距离170 m
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【详解】如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向为 轴、 轴正向，建立直角坐标系．设 分别是西、东、
北观测点，则
设 为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得 ，故 在 的垂直平分线 上，
的方程为 ，因 点比 点晚 听到爆炸声，故，
由双曲线定义知 点在以 为焦点的双曲线左支 上，
依题意得
故双曲线方程为 ，将 代入上式，得 ，
即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北 距中心 处．
故选：A.
2．（2022·山东淄博·模拟预测）双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由方程已知a、b，再结合 求c，代入离心率 ．
【详解】∵双曲线 ，则
可得：
∴
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线E： 的离心率为 ，若有一直线过E的右
顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则 OAB的面积是（ ）
△
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】由离心率先求出 的值，得出渐近线的方程，得出过点 与渐近线平行直线，从而得出点 的坐
标，求出三角形的面积
【详解】双曲线E： 的离心率为 ，解得
所以E的右顶点A ，双曲线E的渐近线方程为
设过点 的直线与渐近线 平行，则其方程为 ，则
所以
故选：A4．（2022·山东济宁·二模）过双曲线C： 的左焦点F作圆 的切线，设切
点为A，直线FA交直线 于点B，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到直线 的方程，和直线 联立求出点 的横坐标，再利用等面积得到点
的纵坐标，由 求得点 的纵坐标，利用点 的纵坐标相等即可计算
【详解】因为直线FA交直线 于点B，直线 与圆 切于点 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，得 即点 的横坐标为 ，
在 中，根据等面积可得 ，
因为 ，所以 ，
因为所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以渐近线方程为 ，
故选：B
5．（2022·天津南开·一模）已知双曲线 的 与抛物线 的一个交点为M．若抛物线
的焦点为F，且 ，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出 ，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到
渐近线的距离.
【详解】根据题意，设 ，因为 ，且 ，
所以 ，代入到抛物线 中，得 ，
所以 ，将 代入到双曲线 中，得 ，即 ，
设双曲线的焦点 ，渐近线为 ，即 ，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，
故选：D.6．（2022·天津河东·一模）已知双曲线 的焦点为 ， ，抛物线
的准线与 交于M，N两点，且三角形 为正三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，因为三角形 为正三角形，可得： ，即可求出双曲
线 的离心率.
【详解】抛物线 化为标准方程得： ，所以 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
由 ，解得： ，则 ，因为三角形 为正三角形，所以 ，
所以 ，即 ，解得： .
故选：A.
二、多选题
7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知 ､ 分别为双曲线 的左､右焦
点，点M为双曲线右支上一点，设 ，则下列说法正确的是( )
A．线段 长度的最小值为
B．线段 长度的最小值为C．若当 时， (O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为
D．当 时，若直线 与圆 相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为
【答案】ACD
【分析】根据双曲线焦半径和通径的性质可判断AB；根据 可判断C；设 与
圆相切于A，连接OA，则OA⊥ ；过 作 于点B，根据几何关系求出 、 ，从而求
出 ，再求出 ，根据 可求 ，从而可求双曲线渐近线的斜率绝对值，从而判断
D．
【详解】当M为双曲线右顶点时，线段 长度的最小值为 ，故A正确；
当 x轴时，线段 长度的最小值为 或 (与离心率有关)，故B错误；
对于C，若当 时， 为等边三角形，
则 ， ， ，
∴离心率 ，故C正确；
对于D，如图，设 与圆相切于A，连接OA，则OA⊥ ；过 作 于点B，则 ， ， ， ， ，
．
∵M在双曲线上，∴ ，即 ，
∴ ，则双曲线渐近线斜率的绝对值为 ，故D正确．
故选：ACD．
8．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为F，F，
1 2
右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且 ，且 ，则( )
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．PM平分 D．
【答案】ACD
【分析】在直角三角形 中，利用 列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断
A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据 是否相等即可判断PM是否平分 ，
从而判断C；根据 、 的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用 表示 ，从而
判断D.
【详解】由 可知 ，
由 得， ，
即 ，即 ，即 ，∴ ，故A正确；由 ，∴双曲线渐近线为 ，故B错误；
由 ， ﹒
则 ， ，
∴ ；
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴根据角平分线的性质可知PM平分 ，故C正确；
， ，
，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离
心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几
何关系.
9．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知直线y=kx（k≠0）与双曲线 交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为 ，则以下正确的结论有
（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y=±2x D．
【答案】BCD
【分析】设出 ，得到方程组，求出 ，或 ，从而得到离心率，及
渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.
【详解】以 为直径的圆过右焦点 ， 以 为直径的圆：
设 ，则 ， ，
∴
解得： ，或 ，所以 ，即 A错误，B正确.
渐近线方程 C正确.
D选项，不妨设 ，且点B在第一象限，则
，此时 同理可得：当 时，
D正确，
故选：BCD.10．（2022·重庆·二模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分
别为 ， ，点 是双曲线 的右支上一点，且三角形 为正三角形（ 为坐标原点），记 ，
的斜率分别为 ， ，设 为 的内心，记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线 的离心率为
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，先求出 点坐标，求出 和 的坐标，即可计算 ；对于B，将 点坐标代入
双曲线的方程，建立 与 的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求 ，对
于D，分别化简 ， ， ，结合 与 的数量关系即可判断
【详解】
因为 为正三角形，所以所以 ，
所以
故A正确
将 点坐标代入双曲线方程可得
即
即
即
即
设 （ ），则
解之得： 或 （舍）
所以 ，所以
故B正确
故C错误
设 的内切圆半径为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，故D正确故选：ABD
三、填空题
11．（2022·广东韶关·二模）过双曲线 的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近
线于P，Q两点，则|PQ|=_________．
【答案】
【分析】由题意可知曲线为等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质可得答案.
【详解】由题意可知， ， ， ，双曲线是等轴双曲线，则两条渐近线的夹角是90°，因为在
直角三角形中，斜边中线是斜边一半，故 ．
故答案为：
12．（2022·湖北武汉·二模）如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得
到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底
部塔口半径为 米，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设双曲
线的方程为 ，由题意求出 可得答案.
【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为 ，由题意知 ，所以 ，
， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13．（2022·海南海口·模拟预测）在直角坐标系xOy中，抛物线C： 的焦点为F，双曲线E：
的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离
心率为______．
【答案】2
【分析】由题意求出抛物线的焦点为F，得到则E的右顶点为（1，0），即a＝1，根据F是△ABO的重心，
可得直线AB的方程为x＝3，进一步求出A，B坐标，代入双曲线得到 ，解得 ，最终求出离
心率．
【详解】设双曲线E的半焦距为c（c>0）．由题意可知：抛物线的焦点为F（2，0），则E的右顶点为（1，0），
所以a＝1，由F是△ABO的重心，可得直线AB的方程为x＝3，
可知 ， ，
代入双曲线方程得到 ，
解得 ，
所以 ，
所以离心率 ．
故答案为：2.
14．（2022·江西·二模（理））已知双曲线C： 的左焦点为 ，点P在圆 ：
上，若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分，则C的离心率为___________.
【答案】2
【分析】先求得圆 的圆心和半径，根据三角形 是等边三角形求得直线 的斜率，从而求得渐近
线的斜率，进而求得双曲线 的离心率.
【详解】 , ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 为C的右焦点， ，
不妨设点P在第一象限，三角形 是等边三角形，则 ，
所以直线PF的斜率 ，
从而 ， ，故C的离心率 .
故答案为：
15．（2022·内蒙古通辽·二模（理））双曲线 的渐近线与圆 相
切，则双曲线E的离心率为______．【答案】2
【分析】列方程得到关于双曲线E的a、c的等式，即可求得双曲线E的离心率.
【详解】圆 的圆心（2，0），半径为1
双曲线 的渐近线
因为双曲线E的渐近线与圆C相切，所以 ，则 ．
故答案为：2
四、解答题
16．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆 和双曲线 的公共顶点，
， 分别为 和 的离心率．
(1)若 ．
（ⅰ）求 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 的直线l交 的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线 相交于 ， 两点，记
A，B， ， 的坐标分别为 ， ， ， ，求证： ；
(2)从 上的动点 引 的两条切线，经过两个切点的直线与 的两条渐近线围成三角形
的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析(2)是定值，
【分析】（1）（ⅰ）根据椭圆和双曲线的离心率公式求得 ，即可求出双曲线的渐近线方程；
（ⅱ）直线AB的方程为 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得 ，从而可求出，再根据直线 的方程可求出 ，从而可求得 ，整理即可得证；
（2）设两个切点 ， ，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，根据
求出 ，同理可求得直线 的斜率 ，求出直线 的方程，然后可求出直线 与两条渐近线的
交点坐标，计算整理即可得出结论.
(1)解：由题意得 ， ，
所以 ，
又 ，解得 ，
（ⅰ）故双曲线 的渐近线方程为 ，
（ⅱ）设直线AB的方程为 ，
则 消元得， ， ，
且 ，所以 ，故 ，
又直线 的方程为 ，
所以 ，同理 ，
所以，
故 ；
(2)解：设两个切点 ， ，由题意知 ， 斜率存在，
直线 的方程为 ，
联立 由 得 ，所以 ，
同理直线 方程为 ，
由 ， 过P点可得 可得直线 的方程为 ，
不妨设，直线 与双曲线两渐近线 交于两点 ， ，
则围成三角形的面积 ，
因P在双曲线 上， ，
则 为定值.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的性质，考查了椭圆和双曲线中的定
值问题，及椭圆中三角形的面积问题，计算量很大，对数据分析处理能力要求很高，属于难题.
17．（2022·江苏·南京市第一中学三模）双曲线 ： 经过点 ，且渐近线方程
为 ．
(1)求 的值；
(2)若抛物线 与C的右支交于点 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线过点 ，且渐近线方程可求得答案；
（2）抛物线与双曲线联立，并设出 ,求出线 的方程即可证明.
(1)由双曲线过点 ，有 ，由渐近线方程为 ，有 ，可解得 .
(2)由题意，抛物线与双曲线联立， ，
因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足 .
设 ，即 ，且 ，
所以有 ，可得 .
而直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，又因为 ，
所以直线 的方程化简为 ，所以其过定点 .18．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴长为
，离心率为 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 ，若 的外心 的横坐标为0，求直线 的方程.
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）根据虚轴长为 ，离心率为 ，由 求解；
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，根据 外接圆的圆心 的横坐标为0，得到
判断.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，与双曲线方程联立，根据直线 与双
曲线 的右支交于 ， 两点，求得k的范围，设线段 的中点为M，利用弦长公式和
求解.
(1)由题知
因为 ，所以 ，
故双曲线 的方程为 .
(2)由（1）知 .
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ， .因为 为等腰三角形，且 外接圆的圆心 的横坐标为0，
所以 .
因为 ， ，所以 ，故此时不合题意.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
由
解得 ，即 或 .
设 ， ，则 ， ，
因为 ，
所以线段 的中点为 ，
且 .
设 ，因为 在线段 的垂直平分线上，所以 ，
得 ，即 ，故 .因为 ，且 ，
所以 ，
化简得 ，
得 或 （舍去），
所以直线 的方程为 ，
即直线 的方程为 或 .
19．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
．且该双曲线过点 ．
(1)求C的方程；
(2)如图．过双曲线左支内一点 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直
线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线 相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关
于x轴对称．
【答案】(1) (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，建立关于 的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）由题意，设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，点
，联立 ，由韦达定理可得 ，
同理可得 ，由直线 的方程 可得
，同理可得 ，然后计算 即可得证.
(1)解：由已知可得 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ；
(2)证明：由题意，设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，点
，
由 ，得 ，
则 ，得 ，
所以 ，同理可得 ，其中 满足 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ,
又 ，所以 ，即 ，
同理可得 ，
因为
，
所以 两点关于 轴对称.
