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第 68 讲 圆锥曲线中的离心率问题
题组一、由概念与性质求圆锥曲线离心率值的问题
例1、（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，
该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线
（ ， ）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 ，则该双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线 （ ， ）的渐近线的方程为 ，
双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 ，
根据双曲线两条渐近线对称关系可得 的倾斜角为 ，
则 ，则 ，
，
则该双曲线的离心率为 ，
故选：D.
变式1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点
P，Q在椭圆C上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，则点P是以 为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设
和点P在第一象限，如图
连接 ，令 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，得 ，又 ，
所以 ，将 代入，得 ．
故选：A.
变式2、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地
体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完
美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个
焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】设左顶点 ，上顶点 ，则直线AB的方程为 ，
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离 ，即 ，即 ，即 ，所以 ，
长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则 ，所以 ，
综上， ，即 ，两边同除以 得 ，又 ，解得 ．
故答案为： ．
题组二、由等量关系求圆锥曲线中离心率值的问题
例2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双
曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线
的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则有
∴ ， ， ，
∴ ．
故选D．
变式1、（2023·安徽·统考一模）已知直线 与椭圆 交于 两点，线段 中点
在直线 上，且线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则椭圆 的离心率是__________.【答案】
【分析】利用点差法证明二级结论 ，再结合 ，则两式相比可得 ，即
，代入 即可求出离心率.
【详解】设 ，其中 ，显然点 在椭圆内，
记坐标原点为 ，直线 的斜率分别为 ，易知三条直线斜率均存在，
又 ，两式相减整理可得 ，
即 ，又 ，所以两式相比可得 ，
即 ，代入 ，整理可得 ，
所以离心率 .
故答案为： .
变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线C：
的左，右焦点，过 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于点 ，点 在 轴上，满足 ，且 经过 的内切圆圆心，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义先推出 为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】 ，∴ ，∴ ，
∵ 经过 内切圆圆心，∴ 为 的角平分线，
∴ ．∴ ，∴ ，
， ，
∴ ，于是 ，
∴ 为正三角形， ．
中，由余弦定理， ∴ .
故选：C.
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线 ，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线 上，且满 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
设 在渐近线 上，直线 的方程为 ，联立求得 ,由 ，求得
，代入双曲线方程化简即可得出结果.
【详解】
设 在渐近线 上，直线 的方程为 ，由 ，得 即 ,由
，得 ，
因为 在双曲线上，所以 化简得：
故选：B
题组三、由不等关系求圆锥曲线中离心率的范围问题
例3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ，
是椭圆 与抛物线 的公共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭
圆 的离心率的最大值为______．
【答案】【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得 或 ，再分 和 两种情况讨论，当
时求出 、 的坐标，由 ，即可得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线 与椭圆 的方程消去 整理得到 ，
解得 或 ．
① 时，代入 解得 ，已知点 位于 轴右侧，取交点 ，则 ，
此时 ，与 矛盾，不合题意．
② 时，代入 解得 ．已知点 ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧，取交点
、 ，
已知 ，则 轴， ．
此时 ，即 ，两端同除以 可得： ，解得
．
因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为： .
变式1、（2023·广东茂名·统考一模）已知直线 与双曲线 交于A，B两点
（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 的内心到y轴的距离不
小于 ，则双曲线C的离心率取值范围是______.【答案】
【解析】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以 ， ，则 .
因为A是线段BD的中点，又 轴，
所以 ， ，
所以 的内心G在线段EA上.
因为DG平分 ，所以在 中所以 ，
设 ，所以 ，
因为G到y轴的距离不小于 ，∴ ，
∴ .
∴ ，故 .
故答案为：变式2、（2023·广东汕头·统考一模）过双曲线 上的任意一点 ，作双曲线渐近线的平
行线，分别交渐近线于点 ，若 ，则双曲线离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为： ，
即 ，设点 ，可得： ，
联立方程组 ，解得： ，
同理可得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，由题意可得： ，
所以 ，故离心率 ，又因为双曲线的离心率 ，
所以双曲线离心率的取值范围为 ，
故答案为： .
题组四、由存在性求圆锥曲线中离心率的范围问题
例4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为
(-c，0)， (c，0)，若椭圆C上存在一点M使得 的内切圆半径为 ，则椭圆C的离心率的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 的面积相等，得到 ，得到 ，消去b，整理化简求出离心率的取值
范围.
【详解】 的面积为 .
因为 的内切圆半径为 ，所以 的面积可表示为 .
所以 ，所以 .
因为 ，所以 .
两边平方得： ，
而 ，所以 ，整理得： ,
因为离心率 ，所以 ，解得： .
故选：A.
变式1、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、
右焦点分别为 ， ，若在C上存在点P（不是顶点），使得 ，则C的离心率的取值
范围为______．
【答案】
【分析】 与 轴交点 ，连接 ，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得 ，有且 ，可求离心率的取值范围.
【详解】设 与 轴交点 ，连接 ， 由对称性可知， ，如图所示，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
由 ，且三角形的内角和为 ，
，即 ，则
综上， ．
故答案为： ．
变式2、（2023·广东·统考一模）已知双曲线 ，点 的坐标为 ，若 上的任意
一点 都满足 ，则 的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设 ， ，
由 ，代入不等式 中，
化简，得 恒成立，
则有 ，
解得 ，而 ，所以
故选：A
变式3、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆 的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知六个 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设 是第一象限内的点，分
或 ，列方程组求得 点横坐标 ，由 可得离心率范围；或结合椭圆的性质
列出不等关系即得．
【详解】
法一：显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四
个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 (舍去)或 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 或 ， 舍去．
所以 ，
所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
