文档内容
第 05 讲 椭圆 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
角度3：利用椭圆定义求最值
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
角度2：求椭圆的离心率
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：椭圆的定义
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
平面内一个动点 到两个定点F 、F 的距离之和等于常数 ，
P 1 2 1 2 1 2
这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的
焦距.
说明：
(| PF |+| PF |=|F F |)
若 ， 的轨迹为线段F F ；
1 2 1 2 P 1 2
(| PF |+| PF |<|F F |)
若 ， 的轨迹无图形
1 2 1 2 P
定义的集合语言表述
集合 .知识点二：椭圆的标准方程和几何性质
1、椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程
（ ） （ ）
图象
焦点坐标
， ，
的关系
范围 ， ，
顶点
， ，
，
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点
离心率
，知识点三：常用结论
x2 y2 x2 y2
1、与椭圆 a2 + b2 =1 (a>b>0) 共焦点的椭圆方程可设为： a2 +m + b2 +m =1 (m>−b2 )
x2 y2 y2 x2
2、有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点在 轴上）
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
x2 y2
3、椭圆 + =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
（1） ；
（2） ， ， ；
a−c≤|PF|≤a+c
（3） , ， ；
1
（4）椭圆通经长=
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江苏·高二）P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则
（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
2．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直
1 2 1
线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF 的周长为（ ）
2
A．10 B．15 C．20 D．25
3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海静安·二模）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 __________.
5．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且 垂直
于x轴，则 周长的最大值为___________.
第三部分：典 型 例 题 剖 析题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习） 中， 为动点， ， 且满足 ，
则 点的轨迹方程为______．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）方程 化简的结果是___________．
例题3．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知 ， 是圆 上一动点，线段
的垂直平分线交 于 ，则动点 的轨迹方程为______________．
例题4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知两圆
，动圆 在圆 内部且和圆 相内切．和圆 相外切，则动圆
圆心 的轨迹方程为_________．
同类题型归类练
1．（2022·广东·广州市第六十五中学高二期中）已知定圆 ，动圆
C满足与 外切且与 内切，则动圆圆心C的轨迹方程为__________.
2．（2022·安徽·六安一中高二期中）已知圆 ： 和圆 ： ，动圆 同时
与圆 外切和圆 内切，则动圆的圆心 的轨迹方程为________．
3．（2022·浙江·金华市江南中学高二期中）已知点 是圆 ： 上动点， .若线段
的中垂线交 于点 ，则点 的轨迹方程为____________.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为 ，（1，
0），则顶点A的轨迹方程为________．
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
典型例题例题1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，
且 .则 的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆上动点，则
的值是______； 的取值范围是______．
例题3．（2022·青海青海·高二期末（文））已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于 、
两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为______．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．(多选）（2022·广东·仲元中学高二期中）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C
上.若 是直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
3．（2022·重庆八中模拟预测）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与椭
圆交于P，Q两点，则 的周长为______．
4（2022·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左右焦点，倾斜角为 的直线 经过 ，
且与椭圆交于 两点，则△ 的周长为___．7．（2022·全国·高二专题练习）已知点 在焦点为 、 的椭圆 上，若 ，则
的值为______．
角度3：利用椭圆定义求最值
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一
点，点 坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上
任意一点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
例题3．（2022·全国·高二专题练习）设 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的两个焦点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知 是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点， 是
一定点，则 的最大值为______．
2．（2022·全国·高二专题练习）已知点 ， 是椭圆 内的两个点，M是椭圆上的动
点，则 的最大值为______．
题型二：椭圆的标准方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知定点 、 和动点 ．(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点 的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2) ，求：动点 的轨迹及其方程．
例题2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））（1）求焦点在 轴上，长轴长为6，焦
距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率 ，焦点在 轴，且经过点 的双曲线标准方程.
例题3．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（理））（1）求焦点在 轴上，长轴长为6，焦
距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率 ，经过点 的双曲线标准方程．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) ， ；
(2)经过点 ，且与椭圆 有共同的焦点；
(3)经过 ， 两点．
2．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)经过点 ， ；
(3)一个焦点为 ，一个顶点为 ；
(4)一个焦点为 ，长轴长为4；
(5)一个焦点为 ，离心率为 ；
(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆 的长轴长为______．例题2．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆 与椭圆 焦点相同，则实数
___________.
例题3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆 ，点 ， 为椭
圆上一动点，则 的最大值为____.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，则椭圆上任意一点 到椭圆中心
的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线 的焦距为8，则 ___________.
3．（2022·江苏·高二课时练习）求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
角度2：求椭圆的离心率
典型例题
例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆
的离心率为（ ）A． B． C． D．
例题2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知 是椭圆 的两个焦点， 为
上一点，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 的两焦点为 ，若椭圆 上存在点
使 为等腰直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例题4．（2022·重庆一中高一期末）已知 ， 为椭圆 的左，右焦点，点 在 上， 为等腰三
角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例题5．（2022·广东汕尾·高二期末）设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点， ，
， ，则椭圆 的离心率 _________.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知椭圆 与圆 ，
过椭圆 的顶点作圆 的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与 相交于 两点（ 在第一象限）.若 四点共圆，且直线 的倾斜角为 ，
则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两
点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点
的直线l交椭圆C于A，B两点，若 ， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆 的右焦点为F，直线 与C交于
A，B两点，若以 为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.
6．（2022·河北张家口·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，AB是椭圆过点
的弦，点A关于原点O的对称点为 ， ，且 ，则椭圆的离心率为___________.
7．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知 分别为椭圆 的左，右焦点，直线
与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为__________．
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
典型例题
例题1．（2022·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知两定点 和 ，动点 在
直线 上移动，椭圆 以 ， 为焦点且经过点 ，则椭圆 的短轴的最小值为
（ ）A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 ：
的切线，设其中一个切点为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三开学考试（文））已知 是椭圆 上的一个动点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）已知焦点在 轴上的椭圆 ，且 ，2，
成等差数列， 分别是椭圆的左焦点和右顶点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值为
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏徐州·高二期末）已知椭圆 的右顶点为 ， 为 上一点，则 的最大值为
______.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设点P是椭圆 的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意
一个动点，则 长的最大值是________．
4．（2022·全国·高二课时练习）若经过点 的直线l与椭圆 有A，B两个交点（其中点A在
x轴上方），求 的取值范围．
第四部分：高考真题感悟1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于
y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、
右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
4．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是___________，
椭圆的离心率是___________.
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心
率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．
