文档内容
第 01 讲 导数的概念及运算 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：导数的概念
高频考点二：导数的运算
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
②求切线方程（过型）
③已知切线方程（或斜率）求参数
④导数与函数图象
⑤共切点的公切线问题
⑥不同切点的公切线问题
⑦与切线有关的转化问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平均变化率（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为： .
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 .
2、导数的概念
（1）定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作 .
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： .
3、导数的几何意义
函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
( 为常数)
( )
( )( ， )
5、导数的运算法则
若 ， 存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数
等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：函数 在 或者 处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 （方法：把 代入原函数 中），切点 .
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点 ，切线斜率 。
根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
（2）过型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝f(x)在x＝x 处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x 处的切线的斜率(
0 0
)
【答案】正确
函数y＝f(x)在x＝x 处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x 处的切线的斜率.
0 0
2．（2021·全国·高二课前预习）函数在x＝x 处的导数f′(x)是一个常数( )
0 0
【答案】正确
函数在x＝x 处的导数f′(x)是一个常数.
0 0
3．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝f(x)在x＝x 处的导数值与Δx的正、负无关.( )
0
【答案】正确
4．（2021·全国·高二课前预习）设x＝x＋Δx，则Δx＝x－x，则Δx趋近于0时，x趋近于x，因此，f′(x)
0 0 0 0
＝ ＝ .( )
【答案】正确
二、单选题
1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）函数 从1到2的平均变化率为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
函数 从1到2的平均变化率为：
．
故选：A.
2．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，则
故选：D3．（2022·江西九江·二模）曲线 在 处的切线倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设曲线 在 处的切线倾斜角为 ，
因为 ，则 ，因为 ，因此， .
故选：B.
4．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）曲线 在 处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：由 ，得 ，所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线的方程为 ，即 ．
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：导数的概念
1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
如图所示，根据导数的几何意义，可得 表示曲线在 点处的切线的斜率，即直线 的斜率 ，表示曲线在 点处的切线的斜率，即直线 的斜率 ，
又由平均变化率的定义，可得 表示过 两点的割线的斜率 ，
结合图象，可得 ，所以 .
故选：A.
2．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）已知函数 在 处的导数为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据题意， .
故选：C
3．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理））已知 ，则
________.
【答案】
.
故答案为： .
高频考点二：导数的运算
1．（多选）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
， ， ，
，故AD错误，BC正确.
故选：BC.
2．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数 ，则 __________.
【答案】4
，则 故答案为：
3．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
(1)
因为 ，故 .
(2)
因为 ，故 .
(3)
因为 ，故 .
4．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数．
(1)f（x）=x3e－x；
(2)g（x）=cos2x+ln（2x）．
【答案】(1)(2)
(1)
(2)
5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））求下列函数的导数.
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
(1)
(2)
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））曲线 在点 处的切线过点 ，则
实数 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
解：因为 ， ， ，
所以，切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，解得 ．
故选：A
2．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知函数 ，则函数 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
则 ，又
则函数 在点 处的切线方程为 ，即
故选：C
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的
三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，则 ，所以， ，
所以，直线 的方程为 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
因此，直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 .
故选：B.
4．（2022·湖南·一模）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
由 ，显然 在曲线 上，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
因此切线方程为： ，
直线 的斜率为 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 平行，
所以 ，
故选：C
5．（2022·河南·模拟预测（文））函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
依题意， ，则 ，而 ，于是有 ，即 ，
所以所求切线方程为： .
故选：A
6．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数 ，求导得： ，则 ，而 ，
于是得： ，即 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
故选：A
②求切线方程（过型）
1．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜
率为（ ）
A．1 B．e C．－1 D．
【答案】D
设切点为 ， ，故在 点的切线的斜率为 ，
所以 ，
所以切点为 ，切线的斜率为 .
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
由题意，可设切点坐标为(x ， )，由 ，得y′＝ ，切线斜率k＝ ，由点斜式可得切
0线方程为y－ ＝ (x－x )，又切线过点(8，3)，所以
0
3－ ＝ (8－x )，整理得x －6 ＋8＝0，解得 ＝4或2，所以切线斜率k＝ 或 .
0 0
故选：C.
3．（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数 ，则过点
可作曲线 的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解：因为 ，所以 ，
设切点为 ，
所以在切点 处的切线方程为 ，
又 在切线上，所以 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以过点 可作曲线 的切线的条数为2.
故选：C．
4．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线 过点 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意可得点 不在曲线 上，
设切点为 ，因为 ，
所以所求切线的斜率 ，
所以 .
因为点 是切点，所以 ，
所以 ，即 .
设 ，明显 在 上单调递增，且 ，所以 有唯一解 ，则所求切线的斜率 ，
故所求切线方程为 .
故选：B.
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知 ，若过一点 可以作出该函数的
两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设切点为 ，对函数 求导得 ，则切线斜率为 ，
所以，切线方程为 ，即 ，
所以， ，可得 ，
令 ，其中 ，由题意可知，方程 有两个不等的实根.
.
①当 时，对任意的 ， ，此时函数 在 上单调递增，
则方程 至多只有一个根，不合乎题意；
②当 时，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增.
由题意可得 ，可得 .
故选：A.
6．（2022·江西·模拟预测（文））已知曲线 与过点 的直线 相切，则 的斜率为_______．
【答案】 ##
解：设切点为 ，
，则 ，
则切线方程为 ，
将点 代入得 ，
化简得 ，解得 ，
所以切线的斜率为 .故答案为： .
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x＋ ，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的
取值范围是________.
【答案】 或
由题得 ，设切点坐标为 ，
则切线方程为 ，
又切线过点 ，可得 ，
整理得 ，
因为曲线 存在两条切线，故方程有两个不等实根且
若 ，则 ，为两个重根，不成立,
即满足 ，解得 或 ．
故 的取值范围是 或
故答案为： 或
③已知切线方程（或斜率）求参数
1．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）如图，函数 的图像在点P处的切线方程是 ，
则 （ ）
A．-2 B．2 C．3 D．无法确定
【答案】B
由题图， ，且 ，
所以 .
故选：B2．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
函数 的导数为 ，
∴ ，即函数在 处的切线斜率为 ，
由切线与直线 垂直，
可得 ，
解得 .
故选：B.
3．（2022·吉林白山·一模（理））函数 的图象在点 处的切线斜率为1，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
因为 ，所以 ，解得 .
故选：A．
4．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知直线 是曲线 的切线，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设直线 与曲线 的切线点的横坐标为 ，
由 ，可得 ，
则 ，可得 ，所以 ，
由 ， ，则 ，
令 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
当 时， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设平行于直线 且与曲线 相切的切线对应切点为 ，
由 ，则 ，
令 ，
解得 或 （舍去），
故点P的坐标为 ，故点P到直线 的最小值为： .
故选：A.
6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））若曲线 存在垂直于y轴的切线，
则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率 的切线，
又 ， ，
∴ 有正根，即 有正根，
即函数y＝－2a与函数 的图像有交点，
令 ，则g(t)＝ ，∴g(t)≥g( )＝ ，
∴－2a≥ ，即a≤ .
故选：C.
7．（2022·全国·高三专题练习）点A在直线y＝x上，点B在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线 相切，
则两平行线间的距离即为 的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线 的切点为 ，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得 ，
由切线斜率等于切点的导数值可得 ，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得 的最小值为 ，故选：A.
④导数与函数图象
1．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）函数 的图像如图所示，下列不等关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
如图所示，根据导数的几何意义，可得 表示切线 斜率 ，
表示切线 斜率 ，
又由平均变化率的定义，可得 ，表示割线 的斜率 ，
结合图象，可得 ，即 .
故选：C.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图
象如图所示，则该函数的图象是 （ ）A． B．
C． D．
【答案】A
由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先
减小后增大，且 ，在 处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.
故选：A.
3．（2022·江苏·高二）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
（ ）.
A．1 B．3 C． D．【答案】D
因为函数 的图象在点 处的切线方程是 ，
切点的横坐标为 ，
由导数的几何意义可得 ，
所以 ，
故选：D.
4．（2021·全国·高二单元测试）如图所示， 是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处
的切线，令 ， 是h（x）的导函数，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
根据图象可知 ，所以 ，即 ，
.
故选：D
⑤共切点的公切线问题
1．（2021·江西·高三阶段练习（理））若曲线 与曲线 在公共点处有公共切线，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设公共点为 ， 的导数为 ，曲线 在 处的切线斜率 ，
的导数为 ，曲线 在 处的切线斜率 ，
因为两曲线在公共点 处有公共切线，所以 ，且 ， ，所以 ，即 解得 ，所以 ，解得 ，
故选：A．
2．（2021·重庆·高二阶段练习）已知两曲线 和 都经过点 ，且在点 处有公
切线，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意 即
设 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
又因为两曲线在点P处有公切线，所以 ，所以 ，
所以 (当且仅当 时等号成立)
故选：D
3．（2021·云南·曲靖一中模拟预测（理））设曲线 和曲线 在它们的公共点
处有相同的切线，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
， ， ， ， ，
又 为 与 公共点， ， ，解得： ，
.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ， ，若 与
在公共点处的切线相同，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B设函数 ， 的公共点设为 ，
则 ，即 ，解得 ，
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x） 在公共点处有共同的切线，
则实数a的值为（ ）
A．4 B． C． D．e
【答案】C
由已知得 ，
设切点横坐标为t，∴ ，解得 .
故选：C.
⑥不同切点的公切线问题
1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若直线
与函数 ， 的图象都相切，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
设直线 与函数 ， 的图象相切的切点分别为 ， .
由 ，有 ，解得 ， .
又由 ，有 ，解得 ， ，可得 ，当且仅当 ，
时取“=”.
故选：B
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 （ ）为曲线 与曲线
的公切线，则l的纵截距 （ ）
A．0 B．1 C．e D．【答案】D
设l与 的切点为 ，则由 ，有 .
同理，设l与 的切点为 ，由 ，有 .
故 解得 或 则 或 .
因 ，所以l为 时不成立.故 ，
故选：D.
3．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，－2）的直线与曲线 和曲线
都相切，则实数a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
【答案】A
的导函数为 ， 的导函数为 ，
若直线与 和 的切点分别为（ ， ）， ，
∴过（0，－2）的直线为 、 ，
则有 ，可得 ．
故选：A.
4．（2022·湖南永州·二模）若函数 与 存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设切线与曲线 相切于点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
联立 可得 ，
由题意可得 且 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，所以， .
且当 时， ，当 时， ，如下图所示：
由题意可知，直线 与曲线 有两个交点，则 ，解得 .
故选：D.
5．（2022·山西吕梁·高二期末）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
__________．
【答案】
设曲线 的切点为： ，
由 ，所以过该切点的切线斜率为： ，
于是切线方程为： ，
因此有： ，
设曲线 的切点为： ，
由 ，所以过该切点的切线斜率为： ，
于是切线方程为： ，
因此有： ，
因为 ，
，
即 ，
因此 ，
故答案为：6．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 有公切线，则 的取值范围是
_____________.
【答案】
设 是曲线 上一点，由 ，因此过点 的切线的斜率为 ，所以切
线方程为： ，而 ，即 ，
设 是曲线 上一点，
由 ，所以过 点的切线的斜率为 ，所以切线方程为：
，而 ，
即 ，当这两条切线重合时，就是两个曲线的公切线，因此有：
，因为 ，所以
设函数 ， ，
因为 ，所以 ，所以函数 是减函数，
，当 时， ，因此 ，
所以 ，
故答案为：
7．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））已知 （ 为自然对数的成数）， ，
直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为________.
【答案】 或
设公切线 与 且于点 ，与曲线 切于点 ，
则有
②
又 ，
∴ ．
∵过点 的直线 的斜率为 ，∴ ．③
由①②③消去 整理得 ，
解得 或 ．
当 时， ，直线 与曲线 的切点为 ， ，此时切线方程为 ，
即 ．
当 时， ，直线 与曲线 的切点为 ， ，此时切线方程为 ，即 ．
故直线 的方程为 或 ．
所以答案为 或 ．
⑦与切线有关的转化问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
的最小值可转化为函数 图像上的点 与直线
上的点 的距离的最小值.
【详解】
设 , ,
点 在函数 上，点 在函数 上，
表示曲线 上点 到直线 的点 距
离.
由 ，可得 ，与直线 平行的直线的斜率为 ，
令 ，得 ，所以切点的坐标为 ，
切点到直线 的距离 .
的最小值为 .故选：B
2．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）若实数 ， ， ， 满足 ，则 的
最小值为______.
【答案】2
由 ， ，故 可理解为曲线 上一点 与直线 上一点
间的距离的平方，对于函数 ，令 ，故可得 ，即函数 在 处的切线方程为
，切线方程与直线 平行，则函数 在 处的切线方程与直线 之间的距离
，故 的最小值为 .
故答案为：2.
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知 ， ， 的
最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
可以转化为： 是函数 图象上的点，
是函数 上的点， .
当与直线 平行且与 的图象相切时，切点到直线 的距离为 的最小值.
令 ，解得 或 ，（舍去），又 ，
所以切点 到直线 的距离即为 的最小值.所以 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求最值；
（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.
4．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由已知可得 ， ，
则 的最小值即为曲线 的点到直线 的距离最小值的平方，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
，
曲线 与 平行的切线相切于 ，
则所求距离的最小值为点 到直线 的距离的平方，即 .
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， 分别在函数 与 的图象上运动，则
的最小值为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】B
由题意知，当曲线 在点 处的切线与 平行时，
两平行线之间的距离即为 的最小值.设 ，
令 ，
故 ，点 到 的距离为
故 的最小值为 ，故选：B
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
3．（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
当 时， ，即点 在曲线 上．则 在点 处的切线方程为 ，即
．故选C．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，
利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，
可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）
一、单选题
1．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）设 是可导函数，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
解：∵ ，
∴ .
故选：B.
2．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设切点坐标为 ，
∵ ， ，
直线的斜率为 ，
所以，直线的方程为 ，
即 ，
所以 ，
因此 ．
故选：B．
3．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知直线 与曲线 在点处的切线互相垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
， ，由题意得： ，解得： .
故选：C
4．（2022·云南昆明·一模（文））已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
设切点为 ，
，故
又 ，
解得 ，
故选：D
5．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 的
最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
由题设， ，则 ，而 ，
所以 处的切线方程为 ，
则 ，故 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 递增；当 时， ，即 递减；
所以 ，故 的最大值 .
故选：A
6．（2022·河北邢台·高二阶段练习）若直线 与函数 ， 的图象分别相切于点
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B由 ， ，
得 ， ，
则 ， ，即 ．
曲线 在点 处的切线方程为 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 ，可得 ，
整理得 ，
故选：B.
7．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数 存在与直线 平行
（或重合）的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，函数 的定义域 ，且 ，
因为函数 存在与直线 平行（或重合）的切线，
即 有解，即 在 有解，
因为 ，可得 ，则 ，可得 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
8．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设切点为 ， ，
曲线 在切点 处的切线方程为 ，
整理得 ，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．故 ，
则 的取值范围是 ．
故选：B
二、填空题
9．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）设函数 ，则 =__；
【答案】1
由 ，得 ，
所以 ，
故答案为：1
10．（2022·四川宜宾·二模（理））已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为
___________.
【答案】
，
当 时， ，解得： ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简为： .\
故答案为：
11．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数 为偶函数，且当x＞0时，
，则 ______.
【答案】－1设 时，则 ，
，
，
.
故答案为：－1
12．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ，则
______．
【答案】 ##
函数 ，求导得：函数 ，
当 时： ，解得 ，
所以 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·湖南·高二课时练习）若函数 ，求 的值．
【答案】
令 ，则
，
所以 ，
所以
，
14．（2022·江苏·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
(1)
由题设， .
(2)
由题设， .
(3)
由题设， ；
(4)
由题设， .
15．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数
(1)若 在点 处切线的倾斜角为 ，求 的值；
【答案】(1)
(1)
由 ，可得 ，
故由 在点 处切线的倾斜角为 得 ，
即 ；
16．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）已知两曲线 和 都经过点
，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；【答案】(1) (2)
(1)
两函数 和 的导数分别为 和 ，
由题意 ，解得 ；
(2)
由（1）知公切线方程为 ，即 ，
令 得 ，令 得 ，
所以所求面积为 ；
(3)
由（1）函数为 ， ，由 得 ， ,
所以 ，最短距离为 .
