文档内容
第 03 讲 圆的方程 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：求圆的方程
题型二：与圆有关的轨迹问题
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
角度2：利用对称性求最值
角度3：建立函数关系求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：圆的定义和圆的方程
1、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 , 半径为 , 为圆上任意一点，
可用集合表示为：
2、圆的标准方程
我们把方程 称为圆心为 半径为 的圆的标准方程.
3、圆的一般式方程
对 于 方 程 （ 为 常 数 ） ， 当 时 ， 方 程叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点
③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① 和 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有 项；
③ .
知识点二：点与圆的位置关系
判断点 与 ： 位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设 到圆心 的距离为 ，则
① 则点 在 外
② 则点 在 上
③ 则点 在 内
（2）代数法
将点 带入 ： 方程内
①点 在 外
②点 在 上
③点 在 内
知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离
设 的方程 ，圆心 ，点 是 上的动点，点 为平面内一点；记
;
①若点 在 外，则 ;
②若点 在 上，则 ;
③若点 在 内，则 ;第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）已知圆的方程是 ，那么经过圆心的
一条直线的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0
2．（2022·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆 同圆心且过点 的圆的方程
是_____________．
3．（2022·重庆市石柱中学校高二阶段练习）若点 在圆 内，则实数 的取值范围为
____________.
4．（2022·福建宁德·高二期中）已知方程 表示圆，则 的取值范围是
____________.
5．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）经过圆 的圆心且斜率为－1的直
线方程为______
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：求圆的方程
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川一中高一期末）已知动圆 经过点 和
(1)当圆 面积最小时，求圆 的方程；
(2)若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求通过圆 与 的交点，并且过点的圆的方程．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）若圆C的圆心在直线 上，且圆C与x轴的交点分别为 ，
，求圆C的方程．
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C： 关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在
y轴上，求圆C的标准方程．
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆C经过点 和坐标原点，并且圆心在直线 上，求
圆C的标准方程．
题型二：与圆有关的轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·重庆一中高一期末）已知圆 ，平面上一动点 满足： 且
， .
(1)求动点 的轨迹方程；
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）已知线段 的长为2，动点 到 ， 两点的距离的平方和为
10，求点 的轨迹．例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ： ，动直线 过点 .
(1)当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 相交于 、 两点，求 中点 的轨迹方程.
例题4．（2022·四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形 的底边
在 轴上，顶点 与顶点 关于原点 对称，且底边 和 的长分别为6和 ，高为3．
(1)求等腰梯形 的外接圆 的方程；
(2)若点 的坐标为(5,2)，点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点 和点 ， 以 为斜边，求直角顶点A的轨
迹方程．2．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知圆 ： ，点A是圆 上一动点，
点 ，点 是线段 的中点.
(1)求点 的轨迹方程；
3．（2022·广东梅州·高二期末）已知圆M经过原点和点 ，且它的圆心M在直线 上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点 ，求线段CD的中点P的轨迹方程.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 上的一定点 ，点 为圆内一点， ， 为
圆上的动点．
(1)求线段 中点的轨迹方程；
(2)若 ，求线段 中点的轨迹方程．
题型三：与圆有关的最值问题
角度1：考查目标函数的几何意义求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若实数 ， 满足 ，求下列各式的最大值
和最小值．（1） ；（2） ；（3） .
同类题型归类练
1．（2020·全国·高三专题练习（理））已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
（1） 的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值；
（3）x2＋y2的最大值和最小值．
角度2：利用对称性求最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ，点 分
别在 轴和圆 上.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求 的最小值.同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆 和圆 ， 分别是
圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高三专题练习）已知圆 及点 ，点P、Q分别是直线
和圆C上的动点，则 的最小值为___________．
角度3：建立函数关系求最值
典型例题
例题1．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·辽宁·高一期末）在直角 中， ， 为 的中点， ， 在边 上，
且满足： ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·广东广州·高一期末）平面四边形 中， ，则
最小值（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建福州·高一期末）已知 为等腰直角三角形， ，圆M为 的外接圆，
，则 ____________；若 为圆 上的动点，则 的最大值为
____________.
