文档内容
第 06 讲 双曲线及其性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：双曲线的定义与标准方程....................................................................................................2
题型二：双曲线方程的充要条件........................................................................................................2
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题................................................................3
题型四：双曲线上两点距离的最值问题............................................................................................3
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题........................................................................................3
题型六：离心率的值及取值范围........................................................................................................4
题型七：双曲线的简单几何性质问题................................................................................................5
题型八：利用第一定义求解轨迹........................................................................................................6
题型九：双曲线的渐近线....................................................................................................................7
题型十：共焦点的椭圆与双曲线........................................................................................................8
题型十一：双曲线的实际应用............................................................................................................8
02 重难创新练....................................................................................................................................10
03 过关测试........................................................................................................................................13题型一：双曲线的定义与标准方程
1．已知点 为双曲线 的左支上一点， 分别为 的左，右焦点，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线 的对称轴为坐标轴，一条渐近线的方程为 ，且点
在 上，则 的标准方程为 ．
3．双曲线的一个焦点坐标是 ，且双曲线经过点 ，则双曲线的实轴长为 ，标准方
程为 ．
题型二：双曲线方程的充要条件
4． “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
6． “方程 表示双曲线”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
7．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，其左､右焦点分别为
，过 作 的一条渐近线的垂线并交 于 两点，若 ，则 的周长为 .
8．（2024·高三·江苏南京·开学考试）设双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率
为 为 上一点，且 ，若 的面积为 ，则 .
9．（2024·河南焦作·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ， 为坐标原点，
，线段 的垂直平分线与 交于 两点，且与 的一条渐近线交于第二象限的点 ，若
，则 的周长为 .
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
10．定长为 的线段AB的端点在双曲线 的右支上运动，则AB中点M的横坐
标的最小值为 ．
11．已知点 ，点 在曲线 上运动，点 在曲线 上运动，则
的最小值是 ．
12．已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是 .
13．（2024·湖北·一模）平面内，线段 的长度为10，动点 满足 ，则 的最小值为
．
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
14．设点 是曲线 右支上一动点， 为左焦点，点 是圆 上一动点，则
的最小值是 ．
15．已知 ， 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为．
16．已知点 是双曲线 的左焦点，点 是该双曲线右支上的任一点， ，则 的最
大值为 ．
17．（2024·河北邯郸·一模）已知点 在双曲线 的右支上， ，动点 满足 ， 是
双曲线的右焦点，则 的最大值为 .
题型六：离心率的值及取值范围
18．已知O为坐标原点，F为双曲线C： 的左焦点，直线 与C交于A，B两点（点
A在第一象限），若 ，且 ，则C的离心率为 .
19．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 点A在C上，点B在y轴上，
， ，则C的离心率为 .
20．已知双曲线 的左焦点为 ，直线 过点 ，在第四象限与双曲线 的渐近线
交于点 ，且直线 与圆 切于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是 ．
21．某研究性学习小组发现，由双曲线 的两渐近线所成的角可求离心率 的大小，
联想到反比例函数 的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线 的离心率 .
22．已知圆 与双曲线 的渐近线有公共点，则双曲线 的离
心率的取值范围为 ．
23．已知 为坐标原点，若双曲线 的右支上存在两点 ， ，使得 ，
则 的离心率的取值范围是 .
24．（2024·山东淄博·二模）若双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 ，则离心率e
为（ ）
A． B． C．√3 D．25．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C： 的右支上存在 ，
到点 的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过
的直线与双曲线的右支交于 两点，若 的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知F是双曲线 （ ， ）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E
上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
28．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若 是双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点，
则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线 的虚轴长为 B．若 ，则 的面积为2
C． 的最小值是 D．双曲线 的焦点到其渐近线的距离是2
29．（多选题）已知双曲线 （ ），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左焦点 与抛物线 的焦点重
合， 是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点，若 ，则31．（多选题）（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
32．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线 的右焦点为F，直线 是
C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为 B．C的离心率为
C． 的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于
33．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线的方程为 ，则（ ）
A．渐近线方程为 B．焦距为
C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为8
34．（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的焦点分别为 ，则下列结论正确
的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线 与椭圆 的离心率互为倒数
C．若双曲线 上一点 满足 ，则 的周长为28
D．若从双曲线 的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
题型八：利用第一定义求解轨迹
35． 是一个动点， 与直线 垂直，垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第
四象限，若四边形 （ 为原点）的面积为4，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
36．已知圆 与圆 ，动圆 同时与圆 及 相外切，则动圆圆
心 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．椭圆和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支
37．已知点 ， ，若动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为 .
38．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且 ，则点P的轨迹方程为
.
39．已知P为圆C： 上任意一点， ．若线段 的垂直平分线交直线 于点Q，
则点Q的轨迹方程为 ．
40．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点 和 的连线的斜率之积等于 ，则点P的轨迹
方程为 ．
41．动点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，则动点M的轨迹方程是
．
42．已知A，B分别为椭圆 的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴
垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
题型九：双曲线的渐近线
x2 y2
43．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ， . 点A
a2 b2
在双曲线 上，点 在 轴上， ， ，则双曲线 的渐近线方程为 .
44．（2024·上海·三模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 .
45．（2024·上海宝山·二模）已知 是双曲线 上的点，过点 作双曲线两渐近线的平行线 ，
直线 分别交 轴于 两点，则 ．
46．（2024·江西鹰潭·一模）设 为双曲线 右支上的任意一点， 为坐标原点，过点 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于 , 两点，则平行四边形 的面积为 ．
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
47．已知F是椭圆 的右焦点，A为椭圆 的上顶点，双曲线
与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率
分别为 ，则 ．
48．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 共焦点，双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴
三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
49．已知椭圆 与双曲线 共焦点（记为 ， ），点 是该椭圆与双曲线的一个公共
点，则 的面积为（ ）.
A． B． C． D．
50．（多选题）已知椭圆C： 与双曲线 ： 共焦点，过椭圆C上一点P的切线
l与x轴、y轴分别交于A，B两点 为椭圆C的两个焦点 又O为坐标原点，当 的面积最小时，
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值
D． 的平分线长为
题型十一：双曲线的实际应用
51．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线
造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的
外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．
52．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东 方向，相距
2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建
一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到
C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是
万元（精确到0.01）
53．（2024·上海·模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太
阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实
轴所在直线夹角分别为 和 ，则这颗彗星与太阳的最近距离是 .
54．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震
110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援
具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，
可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站
A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距 ，地震局以 的中点为原点O，直线l为x轴， 为
单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发
现震中P在双曲线 的右支上，且 ，则P到公路l的距离为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，左、右顶点分别
为 ， ，点 在 上且 轴，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，若 （ 为坐
标原点），则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线
上，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x
轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和
的右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点
作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 ，则C的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的左，右顶点分别为 ，点 在双曲线
上，过点 作 轴的垂线 ，交 于点 ．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线C： 的左，右焦点，过 的直线与y轴和C
的右支分别交于点P，Q，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2024·河北·模拟预测）双曲线 的两焦点分别为 ，过 的直线与其一支
交于 ， 两点，点 在第四象限.以 为圆心， 的实轴长为半径的圆与线段 分别交于M，N两
点，且 ，则 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）（2024·安徽·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过
的直线 交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 与 轴的交点为
，记 的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
10．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是
动点．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的轨迹的长度等于2
B．若 ，则 的轨迹方程为
C．若 ，则 的轨迹与圆 没有交点D．若 ，则 的最大值为3
11．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线C： 的离心率为e，其左、
右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近
线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ）
A．若直线l斜率 ，则
B． 的周长为
C．以 为直径的圆与以 为直径的圆相交
D．若点M恰为以 为直径的圆与渐近线的一个交点，且 ，则
12．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 ，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于
A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形
C．AB的中点可能为 D． 的值可能为
13．（2024·山西太原·一模）已知椭圆 ， 为原点，过第一象限内椭圆外一点 作椭圆的
两条切线，切点分别为 .记直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，若 ，则
的最小值是 .
14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为 ，两个不同的点A，B都在直线QS的同
侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若 ，则 面积的取值范围是
．
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线 ： 的一条渐近线与圆O：
交于 两点，设圆O在 两点处的切线与 轴分别交于 两点、若双曲线 的焦距为
，则四边形 周长的最大值为 ．
16．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 作直线与双曲线
的左右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线的渐近线方程为 ．17．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲
线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
18．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互
垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
1．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛
物线 的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦
点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方
程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径
的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过
作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
8．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．
点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为
的直线交双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲
线的离心率是 ．11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足
条件“直线 与C无公共点”的e的一个值 ．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 ．
13．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
．
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近线为
，则C的焦距为 ．
16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为
．
17．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近
线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
M在 上；② ；③ ．
①注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
