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第 10 讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综
合问题（定值问题）(精讲）
目录
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
角度2：椭圆中的定直线问题
题型二：双曲线中的定值问题
角度1：双曲线中的定值问题
角度2：双曲线中的定直线问题
题型三：抛物线中的定值问题
角度1：抛物线中的定值问题
角度2：抛物线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率 ， 为椭圆上一动点， 面积的最大值为2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ， 分别是椭圆 长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 交椭圆于点 ， 为坐标
原点.证明： 为定值.
【答案】(1)
(2) 为定值4，证明见解析
(1)当P为短轴端点时， 的面积最大， ，故 解得 ，故椭圆 的方
程为 .
(2)由（1）知， ,设直线 ， , ，
联立 整理得 ，
由 得 ， ，
, ，
故 为定值4.
例题2．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点 ，圆 ： ，点 是圆 上的动点，
的垂直平分线与 交于点 ，记 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设经过点 的直线 与 交于 ， 两点，求证： 为定值，并求出该定值．
【答案】(1) (2)证明见解析，定值为
(1)解：圆 的圆心为 ，半径 ，
由点 在 的垂直平分线上，得 ，所以 ，
所以 的轨迹是以A， 为焦点的椭圆， ， ，
所以 ， ， ，
所以 的方程为 ；
(2)证明：①当直线 的斜率不存在时，易知 ，
②当直线 的斜率存在时，设 ： ， ， ，
则把 代入 得 ，
显然 ，有 ， ，
，
所以 ，
综上所述， 为定值 ．
例题3．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右顶点， 是
直线 上的一动点( 的纵坐标不为零且 不在椭圆 上)，直线 与椭圆 的另一交点为 ，直线
与椭圆 的另一交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：当M为椭圆的上(下)顶点时， AMB的面积最大，
△
则 ，解得 ，
所以椭圆E的方程为 ..
(2)证明：设P(－1，t)( 且 )， ， ，则直线AP的方程为 ，直线BP
的方程为 ，设点M( ， )，N( ， )，
联立方程组 消去y，整理得 .
则 ，因为 ，所以 ， .
同理可得 .
因为 且 ，所以 ，
则直线MN的方程为 ，
令 ，得 .
则 .
例题4．（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，
为坐标原点， ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 ， ．若 ， 分别
为直线 ， 与 轴的交点，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)由 ，得 （c为半焦距），
∵点 在椭圆E上，则 ．
又 ，解得 ， ， ．
∴椭圆E的方程为 ．
(2)由（1）知 ．设直线 ， ， ．由 消去x，得 ．
显然 ．
则 ， ．
∴ ．
由 ， ，得直线AP的斜率 ，直线 的斜率 ．
又 ， ， ，
∴ ．∴ ．
∵ ．
∴ ．
同类题型归类练
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦点，过点
且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为3，过点 的直线交 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 的斜率不为0，过 ， 作直线 的垂线，垂足分别是 ， ，设 与 交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：因为过 且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为3，
所以 ，①
因为 的右焦点为 ，所以 ，②联立①②可得 ， ，
所以 的方程为 .
(2)证明：当直线 的斜率不存在时，易知 ， ， ，
所以 .
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 与 ，
得 ，
设 ， ，
则 ， ， 恒成立，
由题可知 ， ，
则 的方程为 ，①
的方程为 ，②
②－①得 ，
因为 ，所以
，
所以，
所以 ，所以 的横坐标为 ，
又 ， ，所以 为 垂直平分线上一点，所以 .
综上， .
2．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为2，过
右焦点 的直线 与椭圆交于A， 两点，点 ，设直线 与直线 的斜率分别为 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)随着直线 的变化， 是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
(1)因为焦距 ，所以 ，
因为离心率 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)当直线l斜率为0，即为x轴时，
则 ，所以 ；
当直线l斜率不为0时，设直线 的方程为： ， ， ，
将直线l与椭圆联立 ，消x整理得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .综上所述： 为定值0.
3．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆 过点 ，且点 到其两个焦点距
离之和为4.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点，点 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且直线 与 轴不
重合，直线 分别与 轴交于 两点.求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：依题意 ，解得 ，所以椭圆方程为 ；
(2)解：由（1）可知 ，
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，解得 ，
不妨设此时 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以 ；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
依题意， ，
设 ， ，则 ， ，
又直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标为 ，即 ，同理，得 ，
所以
，
综上可得， 为定值，定值为 ．
4．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆 的短轴的两个端点分别为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 ，点 为椭圆 上异于 的任意一点，过原点且与直线 平行的直线与直线 交于
点 ，直线 与直线 交于点 ，求证： 为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：由题意可得 ， ， ，
解得 ，
所以椭圆的方程为： ；
(2)解：设直线 的方程为： ，
则过原点的直线且与直线 平行的直线为 ，
因为 是直线 与 的交点，所以 ，
因为直线 的方程与椭圆方程 联立：
，整理可得： ，
可得 ， ，
即 ，因为 ，直线 的方程为： ，
联立 ，解得： ，由题意可得 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，即 为定值；
角度2：椭圆中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ， ，过点 的直线
与椭圆 交于 ， 两点．
(1)若直线 的斜率为3，求 的值．
(2)过点 且与 轴垂直的直线 交直线 于点 ，探究：点 是否在某一条定直线上？若是，求出该
直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1) (2)点G在定直线上，该直线的方程为x＝4
(1)设 ， ，依题意， ，直线l：y＝3x－6，
联立 ，消去y整理得： ，
，则 ， ，
故 ．
(2)由题易知直线l不与y轴垂直，设直线MN的方程为x＝my＋2，
联立 ，消去x整理得： ， ，则
， ，得 ．由 ，可知点E的坐标为 ，则直线EN
的方程为 ，①，直线 的方程为 ，②（根据点G是直线 与直线EN的交点，联立方程求解即可）
联立①②可得， ，
故点G在定直线上，该直线的方程为x＝4．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 ： 的焦点 ， 是等轴双曲线 ：
的顶点，若椭圆 与双曲线 的一个交点是P， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 任作一动直线 交椭圆 与 两点，记 ，若在直线 上取一点 ，
使得 ，试判断当直线 运动时，点 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；
若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是，
（1）解：由题可知： ，所以 ，因为 的周长为 ，所以
，即 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ；
（2）解：依题可知：直线的斜率存在，设方程为 ， ，所以
，所以 ，
，由 ，设 ，由
，所以 ，所以
.所以点 是在直线 上运动.
例题3．（2022·广西·高二期末（文））在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的
焦距为4，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，问是否存在直线 ，使得 为
的垂心（高的交点），若存在，求出直线 的方程：若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在：
(1)因为焦距为4，所以 ，即 ，
又过点 ，所以 ，
又 ，联立求得 ，
所以椭圆C的方程为
(2)由（1）可得 ，
所以 ，
因为F为垂心，直线BF与直线l垂直，
所以 ，则 ，即直线l的斜率为1，
设直线l的方程为 ， ，
与椭圆联立得 ， ，
所以 ，
因为F为垂心，所以直线BN与直线MF垂直，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
由 ，解得 ，
又 时，直线l过点B，不符合题意，所以 ，
所以存在直线l： ，满足题意.
同类题型归类练1．（2022·广东广州·高二期末）已知椭圆 的焦距为2，且过点 ．不过原
点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率依次成等比数列．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，方程为 ，或 ，或 ，或 ．
(1)解：由题意可得 ，
解得 ， 故椭圆 方程为 ．
(2)解：设直线 为 ，设 ， ，
因为直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，
所以 ．
联立直线 与椭圆 的方程，得 ，
所以 ，
， ，
，
所以 ，得 ．
存在点 ，使得四边形 为平行四边形．理由如下：
四边形 为平行四边形，则点 ，
点 在椭圆 上，则
因为 ，，
所以 ，即 ，
当 ， 时，满足 ，
所以直线 的方程为 或 或 或 ．
2．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交 于 两点．
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 △ 的重心 在y轴上，求此时直线l的方程．
△
【答案】(1)3(2) (3) 、 或
(1)因为 ，令 ，得 ，所以 ，所以
(2)设直线 ， ，不妨设 ，
由 得 ，
， ， ，
，
令 ，则 ， ，记 ，可得 在 上单调递增
所以 当且仅当 时取到，
即 面积的最大值为 ；
(3)①当直线 不与x轴重合时，设直线 ， ， 中点为 ．
由 得 ， ， ，
因为 的重心 在y轴上，所以 ，
所以 ，又 ，
，
因为 ，所以 ,
故直线 ，所以 ，从而 ，
代入 得 ，所以 ， 或 ．
② 当直线 与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时 ．
综上， ， 或 ．
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆C： 的离心率为
，且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，
右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AE与BF的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1) (2) (3)P点的轨迹方程为
(1)根据题意可得 ，解得
∴求椭圆C的方程为
(2)根据题意可得 ，设直线l： ，直线BE的斜率为 ，则
∵ ，整理得 ，则
联立方程 ，消去 得
∴
∴
(3)根据题意可得直线AE： ，BF：
联立方程 ，解得
∴P点的轨迹方程为题型二：双曲线中的定值问题
角度1：双曲线中的定值问题
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足
，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知 ， 是经过圆 上一点 且与 相切的两条直线，斜率分别为 ， ，直线 的斜
率为 ，求证： 为定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)因为 ，所以点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
所以 ， ，所以 ，
所以 的方程为
(2)设 ，则 ，
设过点 的 的切线方程为 ，
联立 可得
由 可得，所以
所以
例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知双曲线 的中心在原点， 是它的一个顶点，
焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 任意作一条直线与双曲线 交于 ， 两点（ ， 都不同于点 ），求证: 为
定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)因双曲线C的中心在原点，一个顶点是 ，则
设双曲线C的方程为： ，则
，所以焦点坐标为
双曲线C的渐近线为 ，
焦点 到渐近线 的距离为
，解得 ，
所以双曲线C的方程为 .
(2)显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程： ，
由 消去x得： ，
当 时， 恒成立，
设 ，则
所以 ，
，
因此，
，所以 为定值0.
例题3．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知双曲线 的离心率是 ，实轴长是
8.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 和 ，若直线 上存在不同于点 的点 满足
成立，证明：点 的纵坐标为定值，并求出该定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定值为 .
(1)依题意得，
解得 所以双曲线C的方程是 .
(2)证明：设 ， ， ，直线l的方程为 .
将直线方程 代入双曲线方程 ，化简整理得 ，
，
则 ， .
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
即 解得 .
由 ，得 ，故 ，
所以 .
又 ，所以点D的纵坐标为定值 .
同类题型归类练
1．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为
A，且 ， 到C的渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，
直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是定值，
（1）由题意得 ， ，渐近线方程为 ，则 到渐近线的距离为
，又因为 ，所以 ， ， ，故双曲线 的标准方程为
.
（2）设直线 ： ， ， ， ，联立方程组 得
，所以 ， .因为直线 的方程为 ，
所以 的坐标为 ，同理可得 的坐标为 .因为 ，
，所以
，即 为定值 .
2．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知 的右焦点为 ，点 到 的一条渐近线的
距离为 ，过点 的直线与 相交于 两点.当 轴时， .
(1)求 的方程.(2)若 ， 是直线 上一点，当 三点共线时，判断直线 的斜率是否为定值.若是定值，
求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】(1) (2)是定值，斜率为0
(1)解：根据对称性，不妨设 到直线 的距离为 ，
则 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以当 轴时， ，则 .
故 的方程为 .
(2)解：设 .
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，化简得 ，
由 ，得 ，则
设 ，因为 三点共线，所以 ，整理得 .
因为 ，
所以 ，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 ．
(1)设斜率为1的直线l交 于P、Q两点，若l与圆 相切，求证： ；
(2)设椭圆 ，若M、N分别为 、 上的动点，且 ，求证：点O到直线MN的距离
为定值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：设 ，直线 ，
因为直线l与圆相切，所以 ，即 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即
(2)证明：当ON垂直x轴时， ，
则 ，所以O到MN的距离为 ，
当直线ON不垂直x轴时，因为点M在曲线 上，双曲线的渐近线方程为 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以直线ON的斜率 或 ，
设直线ON的方程为 ，
则直线OM的方程为 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，
设O到直线MN的距离为d，则 ，所以 ，
所以 .
综上：点O到直线MN的距离为定值
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 和圆 ，若动圆C与圆
A和圆B都外切
(1)求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
(2)设圆O： ，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当 时， 是否
为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由.
【答案】(1) ， ；
(2) 是定值，定值为 .
(1)因为设动圆圆心 ，半径为 ，因为动圆C与圆A和圆B都外切，
所以 ， ，
所以 ，
根据双曲线定义可知， 的轨迹为双曲线的右支的部分，
其中 , 为双曲线的焦点，即 ，
，即 ，所以 ，
即 ，
联立方程组 ，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为 和 ，
所以 ， ，
所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为： ， ；
(2)设 ， 为轨迹E上的动点，
所以 ，即 ，
因为 ，且 ，所以 ，
而 ，
则有 ，
所以 ，
所以 是定值，定值为 .
角度2：双曲线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为
， ，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知
的面积为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1) (2)在定直线方程 上
(1)设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
又 ， ，代入上式得 ，即 ，
∴ ，解得 ，∴ ， ，∴双曲线的方程为 ．
(2)当直线 点的斜率不存在时， ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
，联立直线 与直线 的方程可得的 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 得 ，∴ ， ，∴直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，两边平方得 ，
又 ， 满足 ，
∴
，
∴ ，∴ ，或 ，（舍去）
综上， 在定直线上，且定直线方程为 ．
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·高二开学考试）已知双曲线 实轴端点分别为 ， ，
右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面积为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 的直线与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在， .
解：（1）设双曲线 的焦距为 ，
因为离心率为2，所以 ， ，
联立 ，得： ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以 的面积为 ，所以 ，双曲线的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ， 所以点 的横坐标为 ，，
联立 ，得： ，
， ，
所以
，
直线 与直线 的交点 在直线 上.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直线
交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1)
(2) 或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
(1)由题意得： ， ， .
解得 ， ，所以双曲线 的标准方程为 .(2)方法1：设 ，则
依题意有 解得 ，
所以直线 的方程为 或 .
方法2：设直线 的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
当 时
设 ， ，得 ， .
又因为 ，所以 ， ，解得 .
此时 ，所以直线MN的方程为 或 .
(3)方法1：设 ， ，
直线PM的方程为 ，直线ON的方程 ，
联立两方程，可得 ①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故 .
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
方法2设直线MN的方程为 ，与双曲线的方程 联立得：
.
设 ， ， ， ，由根与系数的关系，得， .
： ， ： ，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线 上.
题型三：抛物线中的定值问题
角度1：抛物线中的定值问题
典型例题
例题1．（2022·北京二中高二期末）如图，抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 、
、 均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)若 的平分线垂直于 轴，证明直线 的斜率为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：根据题意设抛物线的方程为 ，将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，
所以，抛物线的方程为 .
(2)证明：由题意可知直线 、 的倾斜角互补，
若 轴，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，若直线 轴，则 、 重合，不合乎题意，所以，直线 的斜率不为零， ，同理 ，
由已知 ，可得 ，
因此， .
故直线 的斜率为定值 .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，直线 经过抛物线 的焦点，且垂直
于抛物线 的对称轴，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，直线 与抛物线 相交于不同的两点 ， ，设直线 与直线 的斜
率分别为 和 ，求证： 为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)由题意可得 ，得 ，
∴抛物线 .
(2)证明： ，联立 ，得 ．
由 ，得 或 ，
设 ， ，则 ， ，
∴
.
例题3．（2022·湖南衡阳·三模）已知抛物线 ： 的焦点是 ，若过焦点 的直线与 相交
于 ， 两点，所得弦长 的最小值为2．
(1)求实数 的值；
(2)设 ， 是抛物线 上不同于坐标原点 的两个不同的动点，且以线段 为直径的圆经过点 ，作
， 为垂足，试探究是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，则求出该定点 的坐标及定
值 ，若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2)存在，定点 为 ， 为定值1
(1)抛物线 ： 化为标准方程为： ，其焦点 ，因为斜率一定存在，设其方
程为 ，
联立方程得： ，整理得： ， 恒成立．
其中 ， ， ， ，
因为焦点弦长 ，所以当 时，弦长 ．
所以，实数 的值为 ．
(2)由题意可知直线 的斜率存在，设其方程为 ．
联立方程得： ，整理得： ， ．
其中 ， ， ， ，
因为以 为直径的圆经过点 ，所以 ．
又因为 ，
∵ ，∴ ．
所以直线 过定点 ，
又因为 ，所以 为直角三角形，
所以当 为斜边 中点时， 为定值，
此时 ．
所以定点 为 ， 为定值1．
同类题型归类练
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知抛物线 ，直线 ， 与抛物线C分别交于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M．当 时，直线AB的斜率为1．
(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；
(2)请探究 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出其最大值．【答案】(1)抛物线C的方程为 ，准线方程为
(2)是，2
(1)当 时，A，B两点坐标为 ， ，
故 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ，其准线方程为 ．
(2)设直线AB的方程为 ，
A，B两点坐标分别为 ，且 ，
联立 ，消去y得 ，
， ， ，
由 得 ，即 ，
即 ．
．
由 ，得 ，
故A点处切线方程为 ，即 ，
同理得B点处切线方程为 ，
联立 ，解得 ，
故点M坐标为 ，点M到直线AB的距离 ，
则 的面积 ，
故 的面积是定值2．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知抛物线 上的点R的横坐标为1，焦点
为F，且 ，过点 作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D
作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.(1)求抛物线C的方程；
(2)求证： 为定值；
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：抛物线 的焦点坐标为 ，准线为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以抛物线为 ；
(2)解：设直线AP： ，
由 ，可得
则 ，解得
则 ，解得
不妨令直线AP： ，直线BP： ，则
设 ，设直线
由 ，可得
由 ，可得 或 （舍）
则 ，直线
由 ，解得 ，即 ，
故 为定值.3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知直线l： ，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，
垂足为N，且 （O为坐标原点）．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)已知点P(0，2)，直线 与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别
是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)设M(x,y)，则N(－4,y)，则 ， ，
所以 ，则E的方程为 ．
(2)设 ， ， ， ，
联立 ，得 ，则 ，即 ，
且 ， ，又直线PA为 ，
联立 ，得 ，
由韦达定理得： ，所以 ，同理得： ．
则 ，故直线CD的
斜率为定值，得证.
角度2：抛物线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点，
是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的
距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）当过点 的动直线 与抛物线 相交于不同点 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上.
【答案】（1） （2）总在定直线 上.（1）过 三点的圆的圆心为 ,则圆心 在 的中垂线上，
则 ，又点 到抛物线 的准线的距离为
所以 ，则
所以抛物线的方程为 .
（2）设 ，记 .
则 ， ，
联立可得，
又 ，代入得 ，
所以总在定直线 上.
例题2．（2022·上海虹口·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，记准线 与 轴的
交点为 ，过 作直线交抛物线 于 ， （ ）两点.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)若 ， 是准线 上关于 轴对称的两点，问直线 与 的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)在定直线 上，理由见解析．
(1)因为准线为 ，所以 ．
(2)设直线 的方程 ，联立 可得， ，所以 ，， ，而 是线段 的中点，所以 ，解得： ，即
，解得： ，所以直线 的方程为 ，即 ．
(3)直线 的方程 ，设 ， ， ，则
， ，
联立可得： ，由 ， ，代入解得：
，
所以直线 与 的交点在定直线 上．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 、
两点；椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过 、 两点分别作抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 ．证明：点 定在直线 上；
(3)椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），使得直线
过点 ？若存在，求出切线 、 的方程；若不存在，试说明理由．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)存在；两切线的方程分别为 和 .
(1)设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ．由已知有 ，
， ， ，解得 ， ．
∴椭圆 的方程为 ．
(2)显然直线 的斜率存在，否则直线 与抛物线 只有一个交点，不合题意，
故可设直线 的方程为 ， , , ，
与抛物线方程联立，消去 ，并整理得， ，则 ．抛物线的方程为 ，求导得 ，
过抛物线上 ， 两点的切线方程分别是 ， ，即 ，
解得两条切线的交点 的坐标为 ， ，
点 在直线 上.
(3)假设存在点 满足题意，
由（2）知： 必在直线 上，又直线 与椭圆有唯一交点，故 的坐标为 , ，
设过 且与抛物线 相切的切线方程为 ，其中 , 为切点．
令 ， 得， ，解得 或 ，
故不妨取 , , ，即直线 过 ．
综上，椭圆 上存在 ，经过 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），能使直线
过 ．
此时，两切线的方程分别为 和 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点 ，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点 ，长为 的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当 轴是 的角平分线时，求
直线PQ的方程．
【答案】（1） ；（2） 或
（1）由题意，动圆过定点 ，
设圆心 ，线段MN的中点为E，连接 ，则 ，
则由圆的性质得 ，所以 ，
所以 ，整理得 ．
当 时，也满足上式，
所以动圆的圆心的轨迹方程为 ．
（2）设 ， ，由题意可知 ， ．
（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时， ， ，由x轴平分 ，得 ，
所以 ，所以 ，整理得 ，
设直线 ，代入C的方程得： ．
则 ，所以 ，解得 ，
由于 ，解得 ，
因此直线PQ的方程为 ．
（ⅱ）当PQ与x轴垂直时， ，可得直线PQ的方程为 ．
综上，直线PQ的方程为 或 ．
