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第一篇 热点、难点突破篇
专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】过点 且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
过点 且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线 得其渐近线方程为 ．
①过点 且分别与渐近线平行的两条直线 与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点 且与双曲线相切的直线为 ，联立 ，
化为 得到 ，解得 ．
则切线 分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点 且与双曲线 仅有一个公共点的直线共有4条．
故选: .
2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上的动点，且 ，
过点 作 ，垂足为 ，下列各点中到点 的距离为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意可设直线 的方程 ，联立抛物线方程再利用 ，可得 ，法一：可知H
在圆上运动进行判断，法二再由 得出 的方程为 ，解得 ，代入选项逐一
验证是否为定值即可得出答案.
【详解】法一：设直线 方程为 ，
联立直线和抛物线方程整理得 ，
所以
又 ，即 ，所以 可得 ，即 ；
则直线 过定点D（4,0）因为 ，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点
（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值
故选：B
法二：设直线 方程为 ，
联立直线和抛物线方程整理得 ，
所以
又 ，即 ，所以 可得 ，即 ；
又因为 ，所以 的方程为 ，解得
对于A， 到点 的距离为 不是定值；
对于B， 到点 的距离为 为定值；对于C， 到点 的距离为 不是定值；
对于D， 到点 的距离为 不是定值.
故选：B
【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应
用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的上下顶点分别 ，焦点为 ， 为椭圆上
异于 的一动点，离心率为 ，则（ ）
A． 的周长为
B．离心率 越接近 ，则椭圆 越扁平
C．直线 的斜率之积为定值
D．存在点 使得 ，则
【答案】ABD
【分析】根据椭圆定义可知焦点三角形周长为 ，结合离心率转化即可知A正确；根据椭圆离心率与椭
圆形状的关系可知B正确；设 ，结合两点连线斜率公式化简可得斜率之积，知C错误；将问题转化
为当 为短轴端点时， ，利用余弦定理可构造齐次不等式求得 的范围，知D正确.
【详解】对于A，由椭圆定义知： ，又 ， ，
的周长为 ，A正确；对于B， ， 当 越接近 时， 的值越小，则椭圆越扁平，B正确；
对于C，设 ，则 ，又 ， ，
，C错误；
对于D，由椭圆性质知：当 为短轴端点时， 最大，
若存在点 使得 ，则当 为短轴端点时， ，
此时 ，即 ， ，
又 ， ，D正确.
故选；ABD.
4．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
B．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
C．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
D．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
【答案】AD
【分析】设 ， ， ，联立直线与抛物线方程得，由两点间的距离公式可得 ，当 时，则有
，从而可判断A正确，B错误；进而可得 ，
可得此式不为定值，即可得故C错误，D正确.
【详解】解：设 ， ， ，
由 ，可得 ，
则有 ，
所以 ，
，
所以 +
，
所以当且仅当 时， ，
即存在点 ，使得 为定值 ，故A正确，B错误；
由题意可得 ，，
所以
，
如果 为定值，
则必有 ，而此方程组无解，
所以 不为定值，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、解答题
5．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 的顶点， 为椭
圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点 若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点
S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；
（2）求出 的坐标，写出直线 方程即可求出定点坐标.【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为 ，焦距为 ，
所以 周长为 ，即 ，
因为左焦点 ，所以 ， ，
所以 ，
所以椭圆E的标准方程为
（2）由题意知， ，直线 斜率均存在，
所以直线 ，与椭圆方程联立得 ，
对 恒成立，
则 ，即 ，则 ，
同理 ， ，
所以 ，
所以直线 方程为： ，
所以直线 过定点，定点坐标为
6．（2022秋·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知椭圆 ： ，若点 ，
， ， 中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；(2)点 是 的左焦点，过点 且与 轴不重合的直线 与 交于不同的两点 ， ，求证： 内切
圆的圆心在定直线上．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据对称性 ， 定在椭圆上，然后分别讨论 ， 在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程，
（2）设 ， ， ： ，将问题转化为证明 的角平分线为定直线，只要证
，将直线方程代入椭圆方程消去 ，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论.
【详解】（1）根据对称性 ， 定在椭圆上，
若 也在椭圆上，则 ，方程组无解，
所以 为椭圆上第三个点，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： ；
（2）由（1）得 ： ， ，设 ， ， ： ．
要证明 内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明 的角平分线为定直线，
即证 ，即 ，即证 ，
只要证 ，由 ，得 ，
，得 ，
所以
所以 成立，
即 得证，
即 内切圆的圆心在定直线 上．
7．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知 为坐标原点，动直线 与双曲线
的渐近线交于A，B两点，与椭圆 交于E，F两点.当 时，
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与 相切，证明： 的面积为定值.
【答案】(1)
(2) 的面积为定值 ,证明见解析
【分析】（1）设 ，由题意有 ，直线 与双曲线的渐
近线联立方程组，求得 ，直线 与椭圆联立方程组，利用韦达定理求得 ，根据方程解出 ，得双
曲线 的方程.
（2）根据（1）中解得的 两点坐标，表示出 的面积，由直线 与 相切，联立方程组消元后判别式为0，化简后得定值.
【详解】（1）设
因为 ，所以
由 ， 得 ； 同理可得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以
所以 即 ，由 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）双曲线的渐近线方程为 ，
由 得 ， ， ，
所 ， ，
，
由 ， 得 ，因为直线 与双曲线 相切，所以 ，即 ，
所以 为定值.
【点睛】思路点睛：1.双曲线 的渐近线方程为 ，而双曲线
的渐近线方程为 (即 )，应注意其区别与联系.
2.解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数
的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能
力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知 为双曲线 左右顶
点，焦点到渐近线的距离为 ，直线 上一点 与点 连线与双曲线右支交于另一点 ，点 与点 连线
与双曲线右支交于另一点D.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线 是否经过定点？若是，求出该定点.
【答案】(1) ；
(2)经过定点，定点坐标为 .
【分析】（1）由题意即可得到答案
（2）设出 ，直线 ，联立直线与双曲线方程得到关于 的韦达定理，由 三点共线得
， 三点共线，得 ，化简得到 ，即可得到答案.【详解】（1）依题可知 ，双曲线的渐近线方程为 ，
所以焦点到渐近线的距离为 ，即双曲线方程为 .
（2）设 ，直线 ，
由 得 ，所以
又 三点共线，则 ①，
三点共线，则 ②，
联立①②得 ，化简得 ，
即 （*）
将 ， ，代入（*）式化简得 .
所以 ，即直线 是否经过定点 .9.（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为
，右焦点为 ，且 ，以 为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；
（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所在定
直线方程.
【答案】(1)
(2)（ⅰ） 或 ；（ⅱ）
【分析】（1）由 ， 可求得 ，结合椭圆 关系可得 ，由此可得椭圆方程；
（2）（ⅰ）设 ，与直线 联立可得 坐标；与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得 点坐标；利用正弦定理化简已知等式可得 ，即 ，利用向量坐标运算可构造方程求得 的值；
（ⅱ）设 ，由 点坐标可求得 斜率，进而得到 方程，与圆的方程联立可得 点坐标；
设 ，利用向量数量积坐标运算表示出 ，可知若 为定值，则 ，
知 ；当直线 斜率不存在时，验证可知 满足题意，由此可得定直线方程.
【详解】（1） 以 为圆心， 为半径的圆 经过点 ， ，即 ，
， ， ， ，
椭圆 的方程为： .
（2）（ⅰ）由（1）得： ，可设 ， ，
由 得： ，即 ；
由 得： ，
， ，
， ， ；在 中，由正弦定理得： ，
， ，
则由 得： ，
， ，即 ，
， ，
，解得： 或 .
（ⅱ）由题意知：圆 方程为： ； ， ；
不妨令 位于第一象限，可设 ，由（ⅰ）知： ，
若直线 斜率存在，则 ， 直线 ，
由 得： ， ，
设 ，则 ，
；
当 时， 为定值，此时 ，则 ，此时 在定直线 上；
当 时， 不为定值，不合题意；
若直线 斜率不存在，则 ， ， ，
此时 ，则直线 ，设 ，
则 ， ， ，则 时， ，满足题意；
综上所述：点 在定直线 上.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点
为A，过A作直线交抛物线C于 ， 两点．
(1)若 ，求 的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线 的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程 ，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线 的
方程；
（3）设 ，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在
定直线上．
【详解】（1）根据题意，得
因为抛物线 ，所以准线为 ，所以 ；
（2）由题意可知，直线 的斜率不为0，故设直线 的方程 ，
联立 ，消去 ，可得 ，
所以 ，即 ， ， ，
而M是线段AN的中点，所以 ，故 ，
解得 ，故 ，解得 ，
所以直线MN的方程为 ，即 ；
（3）直线MN的方程 ，设 ，
则 ， ，
联立消去 可得： ，即
，整理得： ，
将 ， 代入得 ，故 ，，
所以直线PM与QN的交点在定直线 上．
【冲刺提升】
1．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中， ， ，直线AP，BP 相交于
点 P，且它们的斜率之积是1，记点P的轨迹为C．(1)求证：曲线C是双曲线的一部分：
(2)设直线l与C相切，与其渐近线分别相交于 M、N两点，求证： 的面积为定值
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设P的坐标 ， ，根据斜率乘积为1列出方程，求出轨迹方程，判断出曲线C是双曲
线的一部分；
（2）设切点坐标为 ，得到直线l的方程，与双曲线方程联立，由根的判别式等于0得到
，结合 得到 ，解得 ，求出直线l的方程为：
，与两渐近线联立求出 两点坐标，求出 ，结合以△OMN为直角三角形求出面积
为定值4.
【详解】（1）设点P的坐标为 ，由已知得 ，
则直线AP，BP的斜率分别为：
由已知 ，化简得 ．
故曲线C的方程为： ，
所以曲线C是除去顶点的双曲线，是双曲线的一部分；
（2）设直线l与C相切的切点坐标为 ，斜率为k，则 ，
则直线l的方程为： ，与 联立整理得：
①，
双曲线 渐近线为 ，故 ，
且方程①有两个相等的实数根，故 ，
化简得： ②，
又 ，即 ③，
由②③得， ，即 ，所以 ，
故直线l的方程为： ．
双曲线C的两条渐近线方程为 ，所以△OMN为直角三角形．
不妨设 与 交点为M，解得 ，
同理，设 与 交点为N，解得 ，
可求得： ，
所以△OMN的面积 ，
故△OMN的面积为定值．
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 、
两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求证： .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，将点 、 的坐标代入椭圆 的方程，可得出关于 、 的方
程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆 的方程；
（2）分两种情况讨论：①直线 与 轴重合，直接验证结论成立；②直线 不与 轴重合，设直线 的方程为
，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，计算得出
，可得出 轴平分 ，利用角平分线的性质可证得结论成立.综合可得出结论.
【详解】（1）解：设椭圆 的方程为 ，
将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：若直线 与 轴重合，则 、 为椭圆 长轴的端点，
不妨设点 ，则点 ，则 ， ， 成立；
若直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，，
所以， 轴平分 ，所以， .
综上所述， .
3．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆 和圆 ，
已知圆 将椭圆 的长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的下顶点为E，过坐标原
点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得答案；
（2）设直线 的方程，与椭圆方程联立求 的坐标，进而可求直线 的方程，即可得结果.
【详解】（1）由题意可得： ，则 ，∵ ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）由题意知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的斜率为k，则直线 ，
联立方程 ，解得 或 ，
∴ ，
∵ 为圆 的直径，点E在圆 上，则 ，即 ，
∴ ，则直线 ，
故用 去替代k得 ，
∵ ，
∴直线 ，即 ，
∴直线 经过定点 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
4．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知椭圆C： 过点 ．右焦点为F，纵坐标
为 的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：
直线PQ过定点．
【答案】(1)
(2)过定点 ；证明过程见详解
【分析】（1）由题可得 ，结合条件可知 ，将点 的坐标代入椭圆 的方程，即可得解；
（2）设点 ，求出点 的坐标，写出直线 的方程，结合条件变形即得.
【详解】（1）设点 ，其中 ，则 ，
因为椭圆 过点 ，则 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程得 ，
所以 ，解得 ，
因此椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 ， 则 ，所以直线 的垂线的斜率为 ，由题可知 ，故直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 过定点 ．
【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再
根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的右焦点为F，上顶点为 ，下顶点为 ，
为等腰直角三角形，且直线 与圆 相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， )，直线 ， 相交于点Q．证明：点Q在一
条平行于x轴的直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可知 ，因为直线 与圆 相切，则原点O到直线 的距离为1，根据点
到直线的距离公式解得 ，椭圆中满足 ，即可求出椭圆方程；
（2）设 ， ，直线l方程为 ，与椭圆方程联立得 ，由
韦达定理可得 ， ，设直线 和 的交点为 ，联立两直线方程求交点，
再根据韦达定理，即可得到 ，得证点Q在一条平行于x轴的直线 上.
【详解】（1）解：由题可知， ， ， ，
为等腰直角三角形， ，又直线 与圆 相切，所以原点O到直线 的距离为1，
直线 的方程为 ，即 ，所以 ，
解得 ，
又 ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
由过 的直线l不过 ， ，可设其直线方程为 ，
把 代入 ，得 ， ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为
设直线 和 的交点为 ，则 ，
把 及 代入上式，得
，整理得 ，
故点Q在一条平行于x轴的直线 上，得证．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是 上一点.
(1)求 的方程.
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与 交于 ， 两点，直线
与直线 交于点 ，记 的斜率为 ， 的斜率为 .证明：① 为定值；②点 在定直线上.
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【分析】(1)由条件列出关于 的方程，解方程可得 ，由此可得椭圆 的方程；
(2)①联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求 即可证明；
②求出直线 与直线 方程，联立求点 的坐标，由此证明点 在定直线上.
【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为 ， 是椭圆 上一点，
所以 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）①因为过点 且斜率不为0，所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得，方程 的判别式 ，设 ， ，
则
， .
两式相除得
， ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所以
， ．
从而 ；
②由①知 ，设 ，则 ，所以直线 的方程为： ，直线 的方程为
，联立 可得 ，所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，所以点
在定直线 上.
【点睛】过x轴上定点 斜率不为0的动直线方程可设为 ；过y轴上定点(0，y0)斜率存在的动直
线方程可设为 .
7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 满足
，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；(2)设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 两点和 ， 两点，且 ，求直
线 的斜率与直线 的斜率之和，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为0．
【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹 是以点 、 为左、右焦点双曲线的右支，求出 、 的值，从
而求得轨迹 的方程；
（2）设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理化简计算可得 的值.
【详解】（1）因为 、 ，所以 ，
所以轨迹 是以点 、 为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，得 ， ，
所以轨迹 的方程为 .
（2）如图所示，设 ，
设直线 的方程为 ，
.
联立 ，化简得 ，则 ，
故 ，
则 ，
设 的方程为 ，同理： ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，
所以 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ，故该定值为0．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的中心为原点 ，左､右焦点分别为 ､
，离心率为 ，且过点 ，又 点是直线 上任意一点，点 在双曲线 上，且满足
.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线 与直线 的斜率之积是定值；
(3)若点 的纵坐标为 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
的点 ，满足 ，证明点 恒在一条定直线上.【答案】(1) 1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的 ， ， 的关系，即可求得 ， ，进而
得到双曲线的方程；
（2）设出 ， ，代入双曲线的方程，再由 ，再由直线的斜率公式，得到直线 与
直线 的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值 ；
（3）设点 ，且过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同两点 ， ，设
，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点 恒在定直线 上.
（1）
双曲线 ， ，
由于离心率为 ，即 ，
代入双曲线的方程可得 ，
解得 ， ， ，
即有双曲线的方程为 ；
（2）
由于点 是直线 上任意一点，
可设 ，
再由 为双曲线 上一点，可设 ，则 ，即 .
由 ，
则 ，
即有 ，即有 ，
则 ，
则直线 与直线 的斜率之积是定值 ；
（3）
设点 ，
且过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同两点 ， ，
则 ，
即 ， ，
设 ，
则 .
即由 ， 得 ，
将 ， ，代入 ，
得 ，
将 代入 ，得 ，
所以点 恒在定直线 上.
9．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C
于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若 ，求直线l的斜率；
(2)若 ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线l为 ，联立抛物线方程，设 ，得到两根之和，两根之积，
由 得到 ，从而求出 ，分两种情况，求出直线斜率；
（2）设直线l为 ，得到 ，联立抛物线方程，设 ，得到两根之和，两
根之积，表达出 ， ，求出 .
【详解】（1）设 ，因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率存在，且不为0，
设直线l为 ，
联立 与 得： ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
当 时， ，此时 ，解得： ，
直线l的斜率为 ，满足点N位于点M和点P之间，
综上：直线l的斜率为 ；
（2）设 ，
因为过点 的直线l交抛物线C于M，N两点，所以直线斜率不为0，
设直线l为 ，令 得： ，故 ，
联立 与 得： ，
则 ， ，因为 ，
所以 ， ，
解得： ， ，
所以 ，
故 为定值-1.
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
10．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)动直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ， 是抛物线上异于 ， 的一点，记 ， 的斜率分别为 ，
， 为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① 点坐标为 ；② ；③直线 经过点 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入抛物线 即可求解；
（2）选择①②，证③：设直线 ，与抛物线进行联立可得 ， ，利用两点的
斜率公式即可求证；选择①③，证②和选择②③，证①，设设直线 的方程为 ，与抛物线进行联立可得 ， ，利用两点的斜率公式即可求证；
【详解】（1）因为抛物线 经过点 ，
所以 ，所以 ，所以抛物线 的方程为 ；
（2）设 ， ，
方案一：选择①②，证③
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由已知可知 与 轴不平行，设直线 ，
联立 消去 可得 ，
，所以 ， ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，所以 经过 ；
方案二：选择①③，证②
设直线 的方程为 ，联立 消去 可得 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ；
方案三：选择②③，证①设直线 的方程为 ，联立 消去 可得 ，
所以 ， ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，整理可得 ，
因式分解可得 对任意的 恒成立，
所以 ，所以 点坐标为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
11．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知点 和直线 ： ，直线 过直线 上的动点M且与
直线 垂直，线段 的垂直平分线l与直线 相交于点P．
(1)求点P轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，求
l的方程．
【答案】(1)(2) 或 ．
【分析】（1）根据抛物线的定义可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程；
（2）设l的方程为 ，作与l平行且与C相切的直线 ，切点为D,表示出切点D的坐标，联立方程，
求出弦长 ，利用三角形 的面积可求得k的值，说明符合题意，C上恰好存在三个点 ，
使得 的面积等于 ，即得答案.
【详解】（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交 于点P，所以 ，
即点P到定点 的距离等于点P到直线 ： 的距离，
由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线 ,
即点P轨迹C的方程为 .
（2）如图，作与l平行且与C相切的直线 ，切点为D,
由题知 的面积等于 ．由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为 ，
方程 可化为 ，则 ，
设 ，令 ，解得 ，
将 代入 ，得 ，故 ，
所以D到l的距离 ，
由 ，消去y，得 ， ，
从而 ， ，
所以 ，
故 的面积 ，从而 ，
解得 或 ，
此时 或 为使得 的面积等于 的一个点，
那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为 ，
这条直线与抛物线有两个交点也使得 的面积等于 ，
即此时C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，
所以l的方程为 或 ．
【点睛】关键点点睛：要满足C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，关键在于找到使得 面积等于 时，和直线l平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角
形的高，进而利用面积求得答案.
12．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 ： ，以 为圆心，5为半径的圆被抛物线
的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的两条直线分别与曲线 交于点A，B和C，D，且满足 ， ，求证：线段 的
中点在直线 上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 到 的距离为 ，由题意可得： ，可解得 ，即可求出抛物线 的方程.
（2）设 ， ，由 ，表示出 点的坐标，代入抛物线的方程结合题意可得
，同理可得： ，又因为 ， 是关于 的方程
的两根，则 ， 即可证明.
（1）
： 的准线 ：
设 到 的距离为 ，
由已知得 ，∴ ，∴ ，∴
∴ 的方程为
（2）
设 ，∵ ，∴
∴ ，∴
代入 得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴ ， ，∴
同理
∴ ， 是关于 的方程 的两根，
∴ ，∴
∴ 的中点在直线 上．
