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第一篇 热点、难点突破篇
专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上的动点，且 ，
过点 作 ，垂足为 ，下列各点中到点 的距离为定值的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的上下顶点分别 ，焦点为 ， 为椭圆上
异于 的一动点，离心率为 ，则（ ）
A． 的周长为
B．离心率 越接近 ，则椭圆 越扁平
C．直线 的斜率之积为定值
D．存在点 使得 ，则
4．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
B．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值C．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
D．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
三、解答题
5．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 的顶点， 为椭
圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点 若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点
S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
6．（2022秋·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知椭圆 ： ，若点 ，
， ， 中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；
(2)点 是 的左焦点，过点 且与 轴不重合的直线 与 交于不同的两点 ， ，求证： 内切
圆的圆心在定直线上．
7．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知 为坐标原点，动直线 与双曲线
的渐近线交于A，B两点，与椭圆 交于E，F两点.当 时，
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与 相切，证明： 的面积为定值.
8．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知 为双曲线 左右顶点，焦点到渐近线的距离为 ，直线 上一点 与点 连线与双曲线右支交于另一点 ，点 与点 连线
与双曲线右支交于另一点D.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线 是否经过定点？若是，求出该定点.
9.（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右顶点分别为
，右焦点为 ，且 ，以 为圆心， 为半径的圆 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ，
（ⅰ）设点 在第一象限，且直线 与 交于 .若 ，求 的值；
（ⅱ）连接 交圆 于点 ，射线 上存在一点 ，且 为定值，已知点 在定直线上，求 所在定
直线方程.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点
为A，过A作直线交抛物线C于 ， 两点．
(1)若 ，求 的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线 的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．【冲刺提升】
1．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中， ， ，直线AP，BP 相交于
点 P，且它们的斜率之积是1，记点P的轨迹为C．
(1)求证：曲线C是双曲线的一部分：
(2)设直线l与C相切，与其渐近线分别相交于 M、N两点，求证： 的面积为定值
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 、
两点.
(1)求 的方程；
(2)若 ，过 的直线 与 交于 、 两点，求证： .
3．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图，椭圆 和圆 ，
已知圆 将椭圆 的长轴三等分，椭圆 右焦点到右顶点的距离为 ，椭圆 的下顶点为E，过坐标原
点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 相交于点A，B．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 分别与椭圆 相交于另一个交点为点P，M．求证：直线 经过定点．4．（2022秋·福建福州·高三校考期末）已知椭圆C： 过点 ．右焦点为F，纵坐标
为 的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：
直线PQ过定点．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的右焦点为F，上顶点为 ，下顶点为 ，
为等腰直角三角形，且直线 与圆 相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， )，直线 ， 相交于点Q．证明：点Q在一
条平行于x轴的直线上．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是 上一点.
(1)求 的方程.
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与 交于 ， 两点，直线
与直线 交于点 ，记 的斜率为 ， 的斜率为 .证明：① 为定值；②点 在定直线上.
7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 、 ，点 满足
，记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 两点和 ， 两点，且 ，求直
线 的斜率与直线 的斜率之和，并求出该定值．8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的中心为原点 ，左､右焦点分别为 ､
，离心率为 ，且过点 ，又 点是直线 上任意一点，点 在双曲线 上，且满足
.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：直线 与直线 的斜率之积是定值；
(3)若点 的纵坐标为 ，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 ､ ，在线段 上取异于点 ､
的点 ，满足 ，证明点 恒在一条定直线上.
9．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C
于M，N两点，交y轴于P点，点N位于点M和点P之间.
(1)若 ，求直线l的斜率；
(2)若 ，证明： 为定值.
10．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)动直线 与抛物线 交于不同的两点 ， ， 是抛物线上异于 ， 的一点，记 ， 的斜率分别为 ，
， 为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① 点坐标为 ；② ；③直线 经过点 .
11．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知点 和直线 ： ，直线 过直线 上的动点M且与直线 垂直，线段 的垂直平分线l与直线 相交于点P．
(1)求点P轨迹C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于 两点．若C上恰好存在三个点 ，使得 的面积等于 ，求
l的方程．
12．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 ： ，以 为圆心，5为半径的圆被抛物线
的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的两条直线分别与曲线 交于点A，B和C，D，且满足 ， ，求证：线段 的
中点在直线 上．
