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重难点突破04 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型
目录
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上
的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上的
任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
题型一：建立关于 和 的一次或二次方程与不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 与双曲线 共焦点，双曲线
实轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线 的实半轴长为a，由双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设 ， ，则 ，可
得 ，
由题意P在以 为直径的圆上，所以 ，
所以可得 ，即离心率 ，
故选：C
例2．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经
过 的直线交椭圆 于 两点， 为坐标原点，且 ，则椭圆 的离心率
为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由 ，
得 ，所以 .
故答案为: .例3．（2023·海南海口·高三统考期中）已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为
，过点A的直线l与圆 相切，与C交于另一点B，且 ，则C的离心
率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】显然圆 的圆心为 ，半径为 ，令直线l与圆相切的切点为 ，连接
，
则 ，有 ，而 ，又 ，因此 ，解得 ，
所以双曲线C的离心率为 .
故选：A
变式1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为 的椭圆 ： 上的三点 ， ，
满足直线 过坐标原点，若 于点 ，且 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆左焦点为 ，连接 ， ， ，
设 ， ，结合椭圆对称性得 ，
由椭圆定义得 ， ，则 .
因为 ， ，
则四边形 为平行四边形，
则 ，而 ，故 ，
则 ，即 ，整理得 ，在 中， ，
即 ，即 ，
∴ ，故 .
故选：A
变式2．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦
点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为
【答案】 /
【解析】如图所示：
设直线方程为 与双曲线方程 联立，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
解得 ，
故答案为：变式3．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线 的左焦点为F，直线 与双曲
线C的右支交于点D，A，B为线段 的两个三等分点，且 （O为坐标原点），则双曲
线C的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，取 中点 ，连接 ，设双曲线C的右焦点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又A，B为线段 的两个三等分点，所以 ，即 为 的中点，
又 为 的中点，所以 ，故 ，
设 ，则 ，又 ，
由勾股定理得 ，则 ，
由双曲线定义得 ，即 ①，
在Rt 中，由勾股定理得 ，
即 ②，
由①得 ，两边平方得 ，
解得 或 （负值舍去），
将 代入②得 ，故离心率为 .
故答案为：变式4．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知 是双曲线 的右顶点，点 在
上， 为 的左焦点，若 的面积为 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题设知： ，则 ，
所以 且 ，易知： ，
又 ，故 ，且 ，
所以 ，则 ，
化简得 ，解得 或 （舍），
综上， ，故 ，则离心率为 .
故答案为：
变式5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，
使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到
的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示：由题意可得 ，所以 ，
又因为 ，结合 可知
，
所以 ，而 ，即 ，
所以 ，所以离心率 .
故答案为： .
变式6．（2023·陕西西安·校考三模）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，过 的直线
与圆 相切于点 ，与双曲线的右支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【解析】由题知，记右焦点为 ，过 做 如图所示，
与圆 相切，
， ，， ，
为 中点， ，
故 ，且相似比为 ，
即 ， ，
，
， ，
在双曲线 中，有 ，
，
， ，
为直角三角形，
，
即 ，
化简可得 ，上式两边同时平方，将 代入可得 ，
则 ，即离心率 .
故答案为：
变式7．（2023·河北·高三校联考期末）双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，过
且垂直于 轴的直线交 的渐近线于点 ， 恰为 的角平分线，则 的离心率为 ．
【答案】2
【解析】设 ，作出图像，如下图：
根据题意易知 ，且 ，又 ，
所以由勾股定理可得： ，
又 恰为 的角平分线，所以根据角平分线性质定理可得： ，
，又 ，
，
，即 ，
，即 ，
又 ，
所以解得： .
故答案为： .
题型二：圆锥曲线第一定义
例4．（2023·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知 分别为双曲线 的左、右焦
点，过原点 的直线 与 交于 两点（点A在第一象限），延长 交 于点 ，若
，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意 关于原点对称，又 也关于原点对称，所以四边形 是平行四边形，所以
，所以 为等边三角形，
则 ，则 ，由双曲线的定义，得 ，
所以 ，则 ．
故答案为： ．例5．（2023·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，且四边形 的面积为 ，则 的离心率
为 ．
【答案】
【解析】因为点 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，
所以四边形 为矩形，即 ，
所以 ，
由椭圆定义与勾股定理知： ，
所以 ，所以 ，所以 ，
即C的离心率为 ．
故答案为：
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，焦距为
，与坐标轴不垂直的直线 过 且与椭圆 交于 、 两点，点 为线段 的中点，若
，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】因为点 为线段 的中点， ，则 ，
所以， 为等腰直角三角形，设 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，
所以， ，
所以， ，
由勾股定理可得 ，即 ，
整理可得 ，因此，该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
变式8．（2023·全国·高三专题练习） ， 是椭圆E： 的左，右焦点，点M为椭圆
E上一点，点N在x轴上，满足 ， ，则椭圆E的离心率为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，则 是 的角平分线，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，设 ，
由椭圆定义得 ，
即 ，解得 ，则 ，
则 ，
所以 ，则 ，
故答案为：
变式9．（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 斜率为 的直线与 的右支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】如图，设 交y轴与A，A为 的中点，
因为O为 的中点，故 为 的中位线，
则 ，而 ，则 ,
因为直线 的斜率为 ，故 中， ，
故设 ，则 ，
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有 ，
则 ，
故选：C
变式10．（2023·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知 ， 分别为双曲线Ε： 的
左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长 交E于点C，若
， ，则双曲线E的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】结合双曲线的对称性可知， ， ，
所以 为等边三角形，则 ，则 .
由双曲线的定义，得 ，所以 ， ，
则 .
故选：A
变式11．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C： （ ， ），斜率为 的
直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线C的左焦点 ，右焦点为 ，P为第二象限上的点，
连接PF， ，QF， ，
根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形 为平行四边形.
因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以 ，即四边形 为矩形，
由直线l的斜率为 ，得 ，
又 ，则 是等边三角形，所以 .
在 中， ，则 ，故 ，
又由双曲线定义知 ，所以 ，则 .
故选：B.
变式12．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线 的上焦点为 ，点P在双曲线的下
支上，若 ，且 的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
【答案】D
【解析】设双曲线 的下焦点为 ，可知 ，
则 ，即 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
由题意可得 ，且 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
所以方程 ，且 ，解得 ，
则 ，所以双曲线E的离心率为 .
故选：D.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线 的左､右焦
点分别为 ，从 发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且
，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知延长 则必过点 ,如图：
由双曲线的定义知 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，因此 ，
从而由 得 ，所以 ，
则 ， ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
故选：B.
变式14．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线
与双曲线 的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ， ，如图所示，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
由双曲线的定义可得： ， ，
又因为 为直角三角形，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，
又因为 为直角三角形， ，
所以 ，即： ，
所以 ，即 .
故选：D.
变式15．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ，
，直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积为 ，则 的离心率是（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如图，若 在第一象限，因为 ，所以 ，
由图形的对称性知四边形 为矩形，因为 的面积为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中， ，解得 ．
故选：B
题型三：圆锥曲线第二定义
例7．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给
出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做
圆锥曲线；当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线.则方程
表示的圆锥曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
表示点 到定点 的距离与到定直线 的距离比为 ，
所以 .
故选：B例8．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为
左支上一点， 到左准线的距离为 ，若 、 、 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】 ，
，即 ①，
又 ②．
由①②解得： ， ，
又在焦点三角形 中： ，
即： ，即 ，
解得： ，
又 ，
，
故选：D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为
的直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线 的右准线为 ，
过 、 分别作 于 ， 于 ， 于 ，
如图所示：因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
∴ ， ，
由双曲线的第二定义得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故选：B
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例10．（2023·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ： 虚轴的一个顶点为
，直线 与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，设 的垂心为 ，则有 ,
不妨设 ,则 ，
因为 在渐近线 上，所以 ，
直线 与 交于 ， 两点，
所以 ，解得 ，
所以又因为 ,
所以 ，
整理得， ，所以 ，
故答案为: .
例11．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的焦距为
2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l与直
线PF的斜率之积等于 ，则C的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】 ，
设 ，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ，
所以 ，
则 ，
由直线l与C相交于A，B两点，
得 ，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为： .
例12．（2023·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆 ： 的上顶点为 ，两个焦点
为 ， ，线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】
如图，设 的垂直平分线与 交于点 ，
由题， ， ， ，则 ，， ，
，
，化简得， ，
由 ，解得 ，
，即 .
故答案为： .
变式16．（2023·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线 与直线 相交于 ，
两点，点 为双曲线 上的一个动点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，且双曲线 的
右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设点 ， ， ，则 且 ，
两式相减，得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
因为焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，可得 ，又因为 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故答案为：
变式17．（2023·山东·高三校联考开学考试）如图，A， 分别是椭圆 的左、右顶
点，点 在以 为直径的圆 上（点 异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的
斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，易知 ，
则 ， ，
又 ，
所以 .
故选：C
题型五：利用数形结合求解
例13．（2023·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲
线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､右焦
点分别为 ，从 发出的光线经过图2中的 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ，
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】如图，由 ，有 ，
可得 ，可得 ，有 .
在Rt 中，由 ，
不妨设 ，则 ，由勾股定理得 ，
又由双曲线的定义可得 ， ，
根据 可得 ，
解得 ，所以 ，
在Rt 中， ，可得 ，
故双曲线 的离心率为 .
故选：B.
例14．（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 是椭圆 的两个焦点，
点 在 上，若 的离心率 ，则使 为直角三角形的点 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由 可得 ，即 ，可得 ，
因此以 为直径作圆与 必有四个不同的交点，
因此 中以 的三角形有四个，
除此之外以 为直角， 为直角的 各有两个，所以存在使 为直角三角形的点 共有8个.
故选：D
例15．（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线 的左焦
点F作 的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若 ，则双
曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令双曲线 的右焦点为 ，半焦距为c，取线段 中点 ，连接 ，
因为 切圆 于 ，则 ，有 ，
因为 ，则有 ， ，
而 为 的中点，于是 ，即 ， ，
在 中， ，整理得 ，
所以双曲线E的离心率 .
故选：C
变式18．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 是椭圆
上的一点， 是 的两个焦点，若 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，以 为直径的圆与椭圆相交，所以 ，
所以 ，故选：D.
题型六：利用正弦定理
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆
E上的点， ，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得： ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B
例17．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为 和
的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得
所以 ，
所以该椭圆的离心率 ，
故选：C．
例18．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得 ，则该椭圆离心率 的取
值范围是______．【答案】
【解析】由已知，得 ，由正弦定理，得 ，
所以 ．
由椭圆的几何性质，知 ，
所以 且 ，
所以 且 ，
即 且 ，
结合 ，可解得 ．
故答案为： .
变式19．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设 、 分别为椭圆
的左、右焦点，椭圆上存在点M， ， ，使得离心率 ，
则e取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ， ，设 ， ，在 中，由正弦定理有：
，
离心率 ，则 ：解得： ，
由于 ，得 ，
显然成立，
由 有 ，即 ，得 ，
所以椭圆离心率取值范围为 ．
故答案为： .变式20．（2023·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线 ： （ ， ）
和圆 ： 的一个交点，且 ，其中 ， 是双曲线 的两个焦点，则双曲
线 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则 ，
∴ ， ， ，
．
故答案为：
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 共焦点，F、F 分别
1 2
为左、右焦点，曲线 与 在第一象限交点为 ，且离心率之积为1.若 ，则该双
曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】设焦距为2c
在三角形PF F 中，根据正弦定理可得
1 2
因为 ，代入可得，所以
在椭圆中，
在双曲线中，
所以
即
所以
因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1
即 ，即
所以
化简得 ，等号两边同时除以
得 ，因为 即为双曲线离心率
所以若双曲线离心率为e，则上式可化为
由一元二次方程求根公式可求得
因为双曲线中
所以
题型七：利用余弦定理
例19．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，P是C右支上一点，线段 与C的左支交于点M．若 ，且
，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】因为点 是 右支上一点，线段 与 的左支交于点 ，且 ， ，
所以 为等边三角形，所以
由双曲线定义得 ，
又由 ，解得 ，
则 且 ，在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为： .
例20．（2023·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆 的左、右焦点分别为 ，上
顶点为A，直线 与椭圆C交于另一点B，若 ，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的性质可得 ，设 ，在 中根据余弦定理结合椭圆的定义可得
，
即 ，
整理可得 ，即 ，故 .
又 ，故 ， ，
故 ，即 ， ，
故 ，故离心率 .故答案为：
例21．（2023·河北唐山·模拟预测）已知 是椭圆 的左，右焦点， 上两点
满足 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，
因为 ，所以可设 ，
又 ，所以 ，
由椭圆定义， ，即 ，
又 ，即B点为短轴端点，
所以在 中，
，
又在 中， ，
解得 或 （舍去）.故答案为：
变式22．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，左、
右顶点分别为 ，右焦点为 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得 ， ，则 ， ，
由双曲线的对称性，不妨设点 在第一象限，
当 时， ，得 ，则 ，即 ，
所以 ， ，
，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ，
故选：A
变式23．（2023·河南·校联考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，P
是双曲线C上的一点，且 ， ， ，则双曲线C的离心率是（ ）
A．7 B． C． D．【答案】B
【解析】设双曲线C的半焦距为 ，由题意，点P在双曲线C的右支上， ， ，由余
弦定理得 ，解得 ，即 ， ，根据双曲线定义得
，解得 ，故双曲线C的离心率 .
故选：B
变式24．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点 在 上，且 ，直线 与 交于另一点 ，与 轴交于点 ，若 ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，因为 ，所以点 是 的中点，
连接 ，由 ，得 ，
设 ，则 ， ， ．
由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
则 ，故 ．
故选：D
变式25．（2023·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知双曲线C： 的右
焦点F的坐标为 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若 ，
，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3【答案】B
【解析】由题意知点P在第一象限且在双曲线C： 的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为 ，则 ，即 ，
结合 ，可得 ，
结合题意可知 ，故 ，
又 ， ，
在 中利用余弦定理得 ，
即 ，
即 ，即 ，
故 ，解得 或 （舍去），
故选：B
变式26．（2023·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知椭圆C： 的左、
右焦点分别为 ， ，点P在C上，若 ， ，则C的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】 ， ，O是 的中点，所以 ，
故由 得 ，
因为 ， ，所以 ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，即 ，
则 ，离心率为 ．
故答案为：
变式27．（2023·广东深圳·高三校联考期中）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，
过 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， ， 平分 ，则C
的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
可知， ，得
设 ，则 ，由双曲线的定义可知： .
因为 平分 ，所以 ，故 ，又 ，
即有 ， ， ， ， ，
在 ， 中，由余弦定理可得，
， ，
由 ，
可得 .
故选：C.
变式28．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知双曲线C： 的左、右
焦点分别为 ， ，O为坐标原点，过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且 ，则C的
离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线C的左焦点 ，渐近线 的方程为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ， ， ，
，
由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ，因此，双曲线C的离心率为 ，
故选：C题型八：内切圆问题
例22．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）双曲线 其左、右焦点分别为
，倾斜角为 的直线 与双曲线H在第一象限交于点P，设 内切圆半径为r，若
，则双曲线H的离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】设 内切圆 与 分别相切于点 ，则 ，
且 ，
所以 ，因为直线 的倾斜角为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
由双曲线的定义可知， ，所以 ，
即 ，所以 ，
过点 作 轴于点 ，设 ，
则 ，
由双曲线的焦半径公式可得： ，
则 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 ，化简可得： ，则双曲线H的离心率的取值范围为 ，
故答案为： .
例23．（2023·全国·高三对口高考）椭圆 的四个顶点 构成菱形的内切圆恰好过
焦点，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【解析】由题设，内切圆半径为 ，故 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，（ 舍），故 .
故答案为： .
例24．（2023·广东深圳·校考二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，
P为椭圆上一点（异于左右顶点）， 的内切圆半径为r，若r的最大值为 ，则椭圆的离心率为
.
【答案】 / .
【解析】设内切圆的圆心为 ，连接 ，，
由题意可得： ，
所以当 取到最大值 时， 有最大值，且最大值为 ，
所以 ，整理可得： ，
两边同时平方可得： ，
所以 ，所以 ，解得： 或 （舍去）.
故答案为：
变式29．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）双曲线 的左，右焦点分别
为 ， ，右支上有一点M，满足 ， 的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为
．
【答案】 /
【解析】内切圆Q分别与 ， ， ， 轴切于点S，T，N，P
则四边形 、 都为正方形，
设内切圆半径为 ，由圆的切线性质，
则 ，则 ，①
又因为 ，②
且双曲线定义得， ，③
由①、②、③得 ，
所以 ，
从而 ，
由勾股定理， ，所以 ，解得 ．故答案为：
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点 是 上一点，点 是直线 与 轴的交点， 的内切圆与 相切于
点 ，若 ，则椭圆 的离心率 ．
【答案】
【解析】
设内切圆与AM切于Q，与 切于P，由切线性质知 ， ，
，
由对称性知 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别是 ， ，斜
率为 的直线 经过左焦点 且交C于A，B两点（点A在第一象限），设 的内切圆半径为 ，的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率 ．
【答案】
【解析】如图所示，由椭圆定义可得 ， ，
设 的面积为 ， 的面积为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
设直线 ，则联立椭圆方程与直线 ，可得
，
由韦达定理得： ，
又 ，即
化简可得 ，即 ，
即 时，有 .
故答案为：
变式32．（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，
，斜率为 的直线 经过左焦点 且交 于 ， 两点（点 在第一象限），设 的内切圆半径为
， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率 ．【答案】
【解析】如图所示，由椭圆定义可得 ， ，
设 的面积为 ， 的面积为 ，因为 ，
所以， ，即 ，
设直线 ，则联立椭圆方程与直线 ，可得
，
所以， ，
令 ，则 ，
当 时，有 .
故答案为：
变式33．（2023·山东聊城·统考一模） 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上异于顶点的一点， 是
的内切圆圆心，若 的面积等于 的面积的3倍，则椭圆 的离心率为 .
【答案】 /0.5
【解析】由于椭圆关于原点对称，不妨设点 在 轴上方.设点 纵坐标为 ，点 纵坐标为 ，内切圆半径为 ，
椭圆长轴长为 ，焦距为 ，
则 ，得 ，又 ，
即 ，又 ，化简得 ，即
，
解得 ，可得离心率为 .
故答案为： .
题型九：椭圆与双曲线共焦点
例25．（2023·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们在第一象限的交点为 ，设
，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，交点 到两焦点的距离分别为 ，焦
距为 ，利用余弦定理得到 ，再根据椭圆和双曲线的定义，得到 ，
代入求解.设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，
交点 到两焦点的距离分别为 ，焦距为 ，
则 ，
又 ， ，故 ， ，
所以 ，化简得 ，
即 .
故选：B
例26．（2023·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点 对两公共焦点 ， 张的
角为 .椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴为 ,双曲线的实半轴为 ,半焦距为 ,设 , , ,椭
圆与双曲线的离心率分别为 ，
,由余弦定理可得， ,即
,即 ①,
在椭圆中，由定义得 , ①化简可得 ,即 ,等式两边
同除 ,得 ,即 ②
在双曲线中，由定义得 ,①化简可得 ,即 ,等式两
边同除 ,得 ,即 ③
联立②③得 ,即 ,
故选B
例27．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆 与双曲线
在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为
，则下列结论不正确的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
【答案】ACD
【解析】依题意， ，解得 ，A不正确；
令 ，由余弦定理得： ，
当 时， ，即 ，因此 ，B正确；
当 时， ，即 ，有 ，
而 ，则有 ，解得 ，C不正确；
，
，于是得 ，
解得 ，而 ，因此 ，D不正确.
故选：ACD
变式34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图， 是椭圆 与双曲线
（ ）在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别
为 ，则下列结论正确的是（ ）A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．
【答案】AB
【解析】对A：由椭圆和双曲线的定义： ，故 ，
故A正确；
对B：在 中，由余弦定理：
即 ，故 时， ，故B正确；
对C： 时， ，由 （当且仅当 时等号成立），
，所以等号取不到，故C错误；
对D：对△ ，将其视作是椭圆中的焦点三角形，
则由余弦定理可得 ，
解得 ，故 ，
同理，将△ 视作双曲线中的焦点三角形，则 ，
则 ，故D错误.故选：AB.
变式35．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图， 是椭圆 与双曲线
在第一象限的交点，且 共焦点 的离心率分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
【答案】ABD
【解析】由椭圆和双曲线的定义得： ，解得 ， ，A正确；
在 中，由余弦定理得： ，
整理得 ， ，即 ，
当 时， ，即 ，B正确；
当 时， ， ，
当且仅当 时取“=”，而 ，C不正确；
在椭圆中， ，即 ，
在双曲线中， ，即
，于是得 ，而 ，则 ，D正确.
故选：ABD
变式36．（2023·新疆·统考三模）在 中， ， ， ，椭圆 和双曲线 以A，B
为公共焦点且都经过点C，则 与 的离心率之和为 ．
【答案】 /
【解析】如图所示，
在△ABC中，由 ， ， ，得
，
所以 ，
由题意可得椭圆与双曲线的焦距为 ，
又因为椭圆的 ，双曲线的 ，
所以两个曲线的离心率之和为： ，
故答案为： .
题型十：利用最大顶角
例28．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆 ： ，点 ， 是长轴的两个端点，若
椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】如图：
当P在上顶点时， 最大，此时 ，
则 ，
所以 ，
即 ， ，
所以 ，
则 ，
所以椭圆的离心率的取值范围是 ，
故选：A
例29．（2023·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足
∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当椭圆的焦点在 轴上时，由椭圆的对称性得 ,所以 ，
所以 ，
所以椭圆的离心率 ，
因为椭圆的离心率 .
当椭圆的焦点在 轴上时，同理可得 .
综合得 .
故选：B
例30．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆
上存在点 、 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，当 不为椭圆的上、下顶点时，设直线 、 分别与圆 切于点A、B，
，∵存在 、 使得 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
连接 ，则 ，∴ ．
又 是 上任意一点，则 ，
又 ，∴ ，
则由 ，得 ，
又 ，∴ ．
故选：C．
变式37．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 ，
，
点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆，
又 点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即 ， ，
， ．故选：A．
题型十一：基本不等式
例31．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ，
关于原点对你，且满足 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，即 ，所以四边形 为矩形， ，
设 ， ，在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，令 ，得 ，
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以
所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，
故选：B例32．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，
是椭圆 准线上一点， 的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性不妨设 为第一象限的点，即 ，
则 ， ，因为 ，
所以
，
所以 ，则 ，解得 ，
故选：A.
例33．（2023·山西运城·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点， 为坐标原点，过椭
圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离心率的最大值
______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设 ， ，
∴当且仅当 取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即 ，
∴ ，即 ，
所以 ，
故椭圆离心率的最大值为 .
故答案为： .
题型十二：已知 范围
例34．（2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知 、 分别为椭圆 的左、
右焦点， 为右顶点， 为上顶点，若在线段 上（不含端点）存在不同的两点 ，使得
，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知点 、 、 、 ，则线段 的方程为 ，在线段 上取一点 ，满足 ，则 ，
， ，
所以， ，
整理可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 时有两个不等的实根，
则 ，可得 ，可得 ，
所以， .
故选：D.
例35．（2023·全国·高二专题练习）已知 ， 是椭圆 ： 的左右焦点，
若椭圆上存在一点 使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，
，因为 ，
所以 ，即 ，
结合 可得 ，所以 .
故选：B.
例36．（2023·全国·高三开学考试）设 ， 分别是椭圆 的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足 ，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，由椭圆的方程可得 ， ， ，
则 ，即 ，
由P在椭圆上可得 ，所以 ，
所以可得 ，所以 ，
由 ，所以 ，整理可得： ， ，
可得： .
故选：B
题型十三：
例37．（2023·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别
为 ， ，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得 ,
又由 ，即 ，即 ,设点 ，可得 ，
则 ，解得 ，
由椭圆的几何性质可得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
又由 ，所以椭圆的离心率的取值范围是 .
故选：C.
例38．（2023·浙江湖州·高二期中）已知椭圆 的左右焦点分别为F，F，离心率为
1 2
e，若椭圆上存在点P，使得 ，则该离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
例39．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中
， 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由椭圆的定义得 ，又∵ ，∴ ， ，
而 ，当且仅当点 在椭圆右顶点时等号成立，
即 ，即 ，则 ，即 .
故选：D．
题型十四：中点弦
例40．（2023·全国·高三开学考试）已知双曲线 与斜率为1的直线交于A，B两点，
若线段AB的中点为 ，则C的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设 ，则 ，
所以 ，又AB的中点为 ，
所以 ，所以 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，则C的离心率 .故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点 ，斜率为1，所以其方程为 ，即 ，
代入 并整理得 ，
因为 为线段AB的中点，所以 ，整理得 ，
所以C的离心率 .故A，B，D错误.
故选：C.
例41．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过 作一条倾斜角
为 的直线与椭圆 交于 ， 两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ，由题意得 ， ，两式相减，得
，因为 为线段 的中点，且直线 的倾斜角为 ，所以
．设 ，则 ，过 作 轴，垂足为 ，则
， ，由题易知 位于第二象限，所以 ，所以
，得 ，所以 ，所以 ．
故选：B
例42．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 ，过点
的直线 交椭圆于 ， 两点，若 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】设 ， ，则 的中点坐标为 ，
由题意可得 ， ，
将 ， 的坐标的代入椭圆的方程： ，
作差可得 ，
所以 ，
又因为离心率 ， ，所以 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
故选：A.题型十五：已知焦点三角形两底角
例43．（2023·广西·江南中学高二阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左右两
个焦点，若在 上存在点 使 ，且满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中 ，且满足 ，所以 ， ，所以
、 ，所以 ，所以
；
故选：B
例44．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
双曲线上存在点 （点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取
值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵ ，则离心率 ，则排除A；
记 ， ， ，
则 ，
由正弦定理结合分比定理可知： ，
则 ，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
例45．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， 为双
曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；
， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .
故选：D.
题型十六：利用渐近线的斜率
例46．（2023·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知双曲线 的右焦
点为 ，直线 与双曲线 交于 两点，与双曲线 的渐近线交于 两点，若 ，
则双曲线 的离心率是 ．
【答案】 /
【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为： ，
直线
为双曲线的通径，则
由 得 ，则 ，
由 得 ，则
由 得：
即所以 ，
所以离心率
故答案为：
例47．（2023·四川内江·高三期末）已知双曲线 的左右焦点分别为 、
，过点 的直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，点 在第一象限， 两点到 轴的距离
之和为 ，若以 为直径的圆过线段 的中点，则双曲线 的离心率的平方为 ．
【答案】
【解析】由题意可设：直线 ， ， ， 中点 ，
两点到 轴的距离之和为 ， ；
由 得： ， ，
以 为直径的圆的方程为 ， ，
解得： 或 （舍）；
，解得： ；
，，即 ， .
故答案为： .
例48．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知双曲线 的一条渐近线被
圆 截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】 /
【解析】双曲线 的渐近线的方程为 .
圆 的标准方程为： ，
故该圆的圆心为 ，半径为2，
而圆心到渐近线的距离为 ，
故渐近线被该圆截得的弦长为 ，
整理得到： 或 ，
而 ，故 ，故离心率为 .
故答案为： .
变式38．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知 是双曲线 的左焦点， 是 的右顶
点，过点 作 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 ，连接 交另一条渐近线于点 .若 ，
则双曲线 的离心率为 .
【答案】2
【解析】如下图所示：易知 ，则过点 作 轴的垂线方程为 ，
不妨设 与渐近线 交于点 ，则可得 ，
又 可得， 为 的中点，即 ；
又 在另一条渐近线 上，即 ，解得 ；
所以双曲线 的离心率为 .
故答案为：2
变式39．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，
点 是 的一条渐近线上的两点，且 （ 为坐标原点）， ．若 为 的左顶点，
且 ，则双曲线 的离心率为
【答案】
【解析】设双曲线的焦距为 ，因为 ，所以 ，所以 关于原点对称，又
，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为矩形，因为以 为直径的圆的方程为 ，
不妨设 所在的渐近线方程为 ，则 ，
由 ，解得 或 ，不妨设 ，
因为 为双曲线的左顶点，所以 ，
所以 ，
又 ，由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，
所以离心率 ．
故答案为： ．
变式40．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知 ， 分别为双曲线C：
的左、右焦点，过 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于 两点.若
，则C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】根据双曲线C： 的对称性以及其两条渐近线 关于x轴对称，
不妨设M在第一象限，
可知点 关于x轴对称，则 ，
设 ，则 ，
即 ，则 ，
由题意得直线 的方程为 ，联立 ，即得 ，故 ,
则 ，
所以C的离心率为 ，
故答案为：
变式41．（2023·山东菏泽·高三统考期末）已知 为原点，双曲线 上有一点 ，过 作两
条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 ，平行四边形 的面积为1，则双曲线的离心率
为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，渐近线方程为 ，点P到直线 距离为 ，
由 及 得 ，所以平行四边形OBPA面积为
离心率为
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐
近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
变式43．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）过双曲线 ： 的右焦点 作双曲线一
条渐近线的垂线，垂足为 ，且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】
如图①，当 时，设 ，则 ，设 ，双曲线的渐近线方程为 ，
所以 ，在 中， ，设
， ， ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ， ， ， ，
则 ，则 ，且
即 ，解得 ，所以如图②，当 时，设 ， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，
设 ， ， ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，所以
，则 ，所以
，即 ，解得 ，所以 .
故选：B
变式44．（2023·江西九江·统考一模）已知双曲线 ( )，过点 作 的一条渐
近线 的垂线，垂足为 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，若 与 的面积相等( 为坐标原
点)，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 与 的面积相等， 为 的中点，
故 为等腰直角三角形，
， ， ，
即 ， ， ，
故选：C．
变式45．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 为双曲线 的一个焦点，过 平行于 的一条渐近线的直线交 于点 ， （ 为坐标原点），则双曲线
的离心率为 .
【答案】
【解析】设点 坐标为 ，过 作一条与 平行的直线交 于点 ，
则根据题意有 ，
解得： ，
双曲线的离心率 ，
双曲线 的离心率为 ，
同理 坐标是 或者作一条与 平行的直线也可以得到离心率为 .
故答案为： .
题型十七：坐标法
例49．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）双曲线 ： 的左､右焦
点分别为 ， ，过 作 的垂线，交双曲线于 ， 两点， 是双曲线的右顶点，连接 ， ，
并延长分别交 轴于点 ， .若点 在以 为直径的圆上，则双曲线 的离心率为 .
【答案】
【解析】由 得 ，
不妨设 ，而 ，
所以直线 的方程为 ，令 得 ，则 ，同理可求得 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
将 代入上式得：
，
即 ，则 .
故答案为：
例50．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆 ： ( )的右焦点为F，离心率
为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且 ， ， ．若 ，则离
心率e的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵点P是 上第一象限内任意一点且 ，∴ ，设直线OP的斜率为k，
则 ．由 可得 ，故 ，∴ ，
∵ ，故 ，
∴ ，解得 ，
∵ 对任意的 恒成立，故 ，
整理得到 对任意的 恒成立，
故只需 ，即 ，即 ，故离心率e最小值为 ．
故答案为：
例51．（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 （ ， ），直线 的斜率为
，且过点 ，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足 ，则 的离心率为
（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ．
又因为 ，不妨设 ，所以有 ，
解得 ，所以 ，将其代入双曲线方程 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），所以 的离心率 ．
故选：D.
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 作倾斜角
为 的直线交椭圆 于 、 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点P，若 ，则椭圆 的离心率
．
【答案】 /0.5
【解析】因为倾斜角为 的直线过点 ，
设直线 的方程为: , ,
线段 的中点 ,
联立 ，化为 ，
，
，
的垂直平分线为: ,
令 , 解得 , .
,
,则 ,
椭圆 的离心率为 ,
故答案为: .
变式47．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，点是椭圆 上位于第一象限的一点，且 与 轴平行，直线 与 的另一个交点为 ，若 ，
则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 令 ，得 ，
由于 与 轴平行，且 在第一象限，所以 .
由于 ，
所以 ，
即 ，将 点坐标代入椭圆 的方程得 ，
，
，
所以离心率 .
故选：B
变式48．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左右焦点 点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C【解析】双曲线 的右焦点 ,
设点 关于一条渐近线 的对称点为 ，
由题意知， ，解得 .
又知 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线C的离心率是
故选：C.
变式49．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）设 分别为椭圆 的左右
焦点，M为椭圆上一点，直线 分别交椭圆于点A，B，若 ，则椭圆离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
易知 ，不妨设 ， ，易知 ，由 可得
，即
同理由 可得 ；将 两点代入椭圆方程可得 ；
即 ，又 ，整理得
解得 ，
所以离心率 ；
故选：D
变式50．（2023·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C： （ ）的左焦点为
，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，过点 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜率为 ，
所以直线方程可写为 ，联立方程 ，
可得 ， ，
根据韦达定理： ， ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，可得 ， .
故选：C
变式51．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 为双曲线 ： 的右焦点，
平行于 轴的直线 分别交 的渐近线和右支于点 ， ，且 ， ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 ： 的渐近线方程为 .
设 ，联立方程组 ，解得 .
因为 ，所以 ，即 ，可得 .
又因为点 在双曲线 上，所以 ，
将 代入，可得 ，
由 ，所以 ，所以 ，即 ，
化简得 ，则 ，所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
变式52．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）设椭圆 的左焦点
为 ， 为坐标原点，过 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点（ 在 轴上方）. 关于 轴的对称点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若 ， ， 成等比数列，则椭圆的离心率 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设 分别以OF，EF，OE为底，高为h，
则 ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
设直线AB的方程为： ，
联立 ，消去y得 ，
由韦达定理得： ，
直线BD的方程为： ，
令 得， ，则 ，
则 ，即为 ，
则 ，即 ，
即 ，
解得 ，则 ，故选：D
变式53．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知双曲线 的右
焦点为 ，以坐标原点 为圆心，线段 为半径作圆，与 的右支的一个交点为A，若 ，
则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，且 为锐角，
故 ，
而 ，故 ，
将 代入 中，
得 ，结合 整理得 ，
即 ，解得 或 ,
由于双曲线离心率 ，故舍去 ，
故 ，
故选：D
题型十八：利用焦半径的取值范围
例52．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
.若双曲线 的右支上存在点 ，使 ，则双曲线 的离心率的取值
范围为___________.【答案】
【解析】依题意，点 在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在 中，由正弦定理得：
，因 ，于是得 ，
而点P在双曲线M的右支上，即 ，从而有 ，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有 ，
因此 ，而 ，整理得 ，即 ，
解得 ，又 ，故有 ，
所以双曲线M的离心率的取值范围为 .
故答案为：
例53．（2023·吉林长春·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在双
曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，， ，结合 可得 ，从而
，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选
B.
例54．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线 的焦距为 ，左、右
焦点分别是 ， ，点P在C的右支上，且 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件得 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
又 ，所以 ．
故选：C
变式54．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，
使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，
解得 ， ，
由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 ．
故答案为： .
变式55．（2023·河南·信阳高中高三期末）若椭圆 上存在一点 ，使得
，其中 分别 是的左、右焦点，则 的离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】 ， ，
又 ， ，
解得 ，则 .
故答案为
题型十九：四心问题例55．（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，M
是双曲线C右支上一点，记 的重心为G，内心为I．若 ，则双曲线C的离心率为
．
【答案】2
【解析】如图，连接MG，MI并延长，与 分别交于点O，D，
设双曲线C的焦距为2c，由题意，得 ，
因为 ，且G为重心，则 ，所以 ，
因为I为 的内心，所以MD为 的平分线，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
设 的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以双曲线C的离心率 ．
故答案为：2．
例56．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点，点P在
第一象限内， ，G为 重心，且满足 ，线段 交椭圆C于点M，若
，则椭圆C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】因为G为△ 重心， 是中线且满足 ，即 ，故 ,
所以 ，
且 ， ，又 ，
，
在△ 中应用余弦定理得 ,
所以 ，则 .
故答案为: .
例57．（2023·全国·高三专题练习）已知坐标平面xOy中，点 ， 分别为双曲线 的
左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为 的中点，点
I为 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为 ， ，
不妨设点 在第二象限，则 ，
由D为 的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分 ，
则 ，有 ，且 ，
解得 ， ，所以 ，
将 即 ，代入双曲线的方程，
得 ，化简可得 ，即 ；
当点M在第三象限时，同理可得 ．
故答案为： .
变式56．（2023·全国·高三专题练习）已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点 恰好为 的外心，若 ，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】取 的中点为C，连接BC、 、 ，如图所示：
因为 ，所以 ，
又C为 的中点，所以 为等腰三角形且 ，
因为点 恰好为 的外心，所以点 在直线BC上，且 ，
由双曲线的定义知 ，则 ，
所以 为等边三角形，则 ，
在 中， 即 ，化简得 ，
同时除以 可得 ，解得 或 (舍去).
故答案为：
变式57．（2023·山西太原·高三山西大附中校考开学考试）已知双曲线 的左､右
焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，
若 分别为 与 的内心，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】设半焦距为 ，
由题意知 ，
，
所以 ，所以 ，
双曲线 .
记 的内切圆与边 ， ， 分别相切于点 ，
则 横坐标相等，
则 ， ， ，
由 ，
即 ，
得 ，
即 ，
记 的横坐标为 ，
则 ，
于是 ，得 ，
同理内心 的横坐标也为 ，则 轴.
设直线 的倾斜角为 ，
则 ，
在 中，
，由于直线 与 的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，
可得 ，
即 ，
可得 的范围是 .
故答案为： .
变式58．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分
别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆的切线 ，若 ，
且 的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则 的值为 .
【答案】
【解析】设椭圆方程为 ，则 ，
设 ，故 ，
因为 的垂心恰好为坐标原点O，
所以 ， ，即 ，
即 ， ，
下面证明椭圆在 处的切线方程斜率为 ，理由如下：
因为 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得：
，
即 ，
因为点 在椭圆上，所以 ， ，
所以 ，即 ，
即 ，解得： ，所以 ，化简得： ，即 ，设 ，
同除以 得： ，
即 ，故 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
将 代入 中，可得： ，即
所以 ，
设椭圆方程为 ，此时 ，
同理可得： ，
此时椭圆在 处的切线方程斜率为 ，
所以 ，化简得： ，设 ，
同除以 得： ，
即 ，故 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
将 代入 中，可得： ，
所以 （舍去）；
故答案为： .
