文档内容
第 08 讲 拓展一：空间几何体内接球与外
接球问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
模型3：单面定球心法（定+算）
模型4：双面定球心法（两次单面定球心）
第一部分：典 型 例 题 剖 析高频考点一：空间几何体的内切球问题
建立模型
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥 中， 平面 ，且
，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内
切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，
其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的
表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱 有外接圆柱 ，点 ， 分别在棱
和 上， .
(1)若 ，且三棱柱 有一个内切球，求三棱柱 的体积；
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱 各面的距离都相等，球O是直三棱柱
的内切球，若球O的表面积为 ， 的周长为4，则三棱锥 的体积为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球
（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，则球
的半径与正四棱锥 内切球的半径之比为__________.
4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的
半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
建立模型
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为 ， ， ，则外接球半径 ；
（2）设正方体边长为 ，则外接球半径 ；
典型例题
例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外
接球的表面积为______________．
例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体 的棱长为2，则此正方体外接球
的表面积是______.
题型归类练
1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为 ，则该正方体的棱长为
______．
3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．
模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，
AD=BC，AC=BD）
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且
，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．
题型归类练
1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则
此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥
是一鳖臑，其中 ， ， ， ，且 ， ．则三棱
锥 外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥 中，已知 两两垂直，且，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥 中，
，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是__________．
模型3：单面定球心法（定+算）
建立模型
单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面 ，确定其外接
圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式 可计算
出球半径 .
典型例题
例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体 中， 都是边长为 的等
边三角形，且平面 平面 ，则该四面体外接球的表面积为_________.
例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱 ，
则球表面积为___________.
例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知 的三个顶点都在球 上， ， ，且三
棱锥 ，则球 的体积为（ ）A． B． C． D．36
例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球 为三棱锥 的外接球，球 的体积为 ，
正三角形 的外接圆半径为 ，则三棱锥 的体积的最大值为______．
题型归类练
1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥 中， ， ，则平面
截四棱锥 外接球的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥 中，平面 平面 ，且
， ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且 ，
．又点 ， ， 都在球 的球面上，且点 到平面 的距离为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点 在同一个球的球面上， ，
， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知球 是正三棱锥 的外接球， ， ，点E在线段
上，且 ，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.
模型4：双面定球心法（两次单面定球心）
建立模型
如图：在三棱锥 中：
P
①选定底面 ，定 外接圆圆心
②选定面 ，定 外接圆圆心 O
2 O
A
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心
O
H 1
. B C典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ､ ､ ､ 都在球 的球面上， ， 是边长为
1的等边三角形， 与平面 所成角的正弦值为 ，若 ，且点 在平面 上的投影与
在 异侧，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形 中，
，现沿 进行翻折，使得 到达 的位置，连接 ，此时二面角
为150°，则四面体 外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将 ，
分别沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（
）．
A． B． C． D．
2．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，在三棱锥 ， 是以AC为斜边的等腰直角三角形，
且 ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
