文档内容
第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
高频考点二：已知零点个数求解参数 范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离变量法在处理含参 的函数 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程 ，转
化为 这样就将把研究含参函数 与 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数 与
动直线 的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数 过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到 的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数 范围
核心知识点：将 与0的大小关系转化成 和 的大小关系
① 恒成立
② 恒成立
③ 恒成立
④ 恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数 范围
核心知识点：
将 转化成 ，应用导数方法绘制 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要
用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数 在区间 上只有一个零点，则常数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
令 ，则 ，
因为函数 在区间 上只有一个零点则函数 与函数 的图像只有一个交点
又 ，
在 上单调递增，
则
故选：C.
2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是
_________
【答案】
由题意该函数的定义域 ，由 ．因为存在垂直于 轴的切线，故此时斜率为 ，问题转
化为 范围内导函数 存在零点．
解法1 （图像法）再将之转化为 与 存在交点．当 不符合题意，当 时，如图
1，数形结合可得显然没有交点，当 如图2，此时正好有一个交点，故有 应填 .
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程 在 内有解，显然可得
3．（2015·浙江金华·高二期中（理））若 对 恒成立，则实数 的取值范围是：
___________．
【答案】试题分析： 中 时 ，将 代入直线 得 ，若 ≤ kx-1 对 恒成立，
结合图像 在 的下方
4．（2022·全国·高三专题练习）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
设 ，因为 ，所以 .
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 .
由题可知 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数 有三个不同的零点，
则实数 的取值范围是__________.
【答案】
可得 在 和 上单调递增，在 上单调递减
有三个不同的零点，可得 解得
故答案为：
6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 .若函数 在定义域上单调递增，
求实数 的取值范围.
【答案】 .
定义域为 ，由 得 ，
因函数 在定义域上单调递增，
于是得 在 恒成立，
即 在 恒成立，
而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数 范围
①完全分离参数法
1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式 只有一个整数解，则m的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
不等式 只有一个整数解，可化为 只有一个整数解
令 ，则
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
则当 时， 取最大值 ，
当 时， 恒成立， 的草图如下：， ，则
若 只有一个整数解，则 ，即
故不等式 只有一个整数解，则m的取值范围是
故选：B
2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x，y，使得等式 成
立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
依题意存在正实数x，y，使得等式 成立，
，
当 时， ，不符合题意，所以
令 ， ， ，
构造函数 ， ，
，所以 在 上递增，
，
所以在区间 递减；在区间 递增.
所以 的最小值为 .要使 有解，
则 ①，
当 时，①成立，
当 时， .
所以 的取值范围是 .
故选：D
3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数 ，若不等式 恒成立，则a
的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．e
【答案】A
要使不等式 恒成立，只需 .
函数 的定义域为 .
因为 ，所以令 ，则 .
对于 ， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ；当 时， .
所以 .
对于 （ ）. .
令 ，解得： ；令 ，解得： .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，即 .
所以 =1.
故选：A
4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数 .（1）当 时，
的极小值为______；（2）若 ，在 上恒成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】 1
（1） 时， ， ，，令 ，
故 在 递增，而 ，
故 时， ， 递减， 时， ， 递增，
故 极小值 ；
（2）若 在 上恒成立，
即 在 恒成立，
① 即 时， ， ， ，
故 在 恒成立，
② 即 时，问题转化为 在 恒成立，
即 ，只需求出 的最大值即可， ，
，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 ， 递减，
故 ，
故 ，
综上， ， ,
故答案为：1， ．
5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若 对 恒成立，则 的
取值范围是__________;
【答案】
解：设 ，则 ，
在 上单调递增，
由 对 恒成立，
得 ，即 ，
则 ，即 ．设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ．
的取值范围是 ．
故答案为： ．
6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在 ，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
(1)
当a≤0时， 在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令 得 ；令 得 ；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)
由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx， ．
令 ，
x
g'(x) ＋ 0 －
g(x) ↗ 极大值 ↘
所以 ，因此有所以a的取值范围为：
7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
(2)若 在 时恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
由 ，得 ，
因为 在区间 上是增函数，
所 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为 在 上为增函数，
所以满足题意只需 ，得 ，
所以 的取值范围为
(2)
因为
所以 即 在 时恒成立， 令 ， ，则
，
所以 在 上递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为
8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)详见解析；(2) .
(1)
因为 ，所以 ，
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
若 ，则当 时， ；当 时， ．
故 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增，当 时，在 上单调递增，在 上单
调递减．
(2)
由 等价于 ，
令 ，函数 ，
则 ，由 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
故 ，
∴ 的取值范围为 ．
9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
(1)
的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时，当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递减，在
上单调递增，所以，当 时， 在 上单调递减，当 时， 在 上单调递减，在 上单
调递增.
(2)
，不等式
，令 ， ，
当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，即恒有 成立，当且仅当 时取“=”，
因此，当 时， ，当且仅当 时取“=”，
令 ， ，当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ，
即 ，使得 ， ，使得 ，即 有
解，
因此，不等式 中能取到等号，所以 的最小值为1，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
②部分分离参数法
1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数 ，若关于x的不等式 恒成
立，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可知函数 的定义域为 ，从而 等价于 ，
即转化为函数 的图象恒在函数 的图象上方，结合图象可知，当直线 与曲线 相切时，k取得最小值．
设直线 与曲线 相切时，切点为 ．
因为 ，所以 ，则 ，整理得 ．
设 ，则 ．由 ，得 ；由 ，得 ．
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ．
当 时 ，所以 ，当 时， ，
则方程 有唯一解 ，即 ，从而 ，故 ．
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 恰有2个整数解，求实数 的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
原不等式 等价于， ，设 ， ，
所以 ，得 .
当 时， ，所以在 上单调递增，
当 时， ，所以在 上单调递减，
又 ， 时， ，
因此 与 的图象如下，
当 时，显然不满足条件，
当 时，只需要满足 ，即 ，
解得 .
故选：A
3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数 ，
若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：设 ， ，
则 ，
由 ，可得 ；由 ，可得 或 ，
故函数 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
且 ， ， ， ， ，如下图所示：函数 经过 ，要使存在唯一的正整数 ，使得 ，
即 有唯一正整数解，
所以只要 并且 ，即 ，解得： .
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，其中 ，若有且只有一个整数 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
已知函数 ， 则 有且只有一个整数解.
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值 .
设 ，则 恒过点 .
在同一坐标系中分别作出 和 的简图，因为 ，所以 ，所以 ，
依题意得 即 ，解得 ，又 ，所以 .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为存在唯一的正整数 ，使得 ，则因为存在唯一的正整数 ，使得 ，令
，所以存在唯一的正整数 ，使得 ， ，所以
， ，所以 单调递减； ， ，所以 单调递增，所以
， 恒过定点 ，所以当 时，有无穷多个整数，使得
，当 时，函数 单调递增，作出函数 图象：记 上 ，所以 ，所以
实数a的取值范围是 ，
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 的最值；
（2）若存在唯一整数 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）最小值1，无最大值；（2） .
（1）当 时， ，
，且 为定义在 上的偶函数，
令 ，解得 ，且当 时， ，当 时， ，
，无最大值；
（2） 即 ，
令 ， ，作出函数 与 的大致图象如下，易知 恒过点 ，且 ，
由图象可知，要使存在唯一整数 ，使得 ，则 ，
即 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ．
高频考点二：已知零点个数求解参数 范围
①完全分离参数法
1．（2022·全国·高二期末）已知函数 若函数 有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
要使函数 有三个解，则 与 有三个交点，
当 时， ，则 ，可得 在 上递减，在 递增，
∴ 时， 有最小值 ，且 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， 单调递增；
∴ 图象如下，要使函数 有三个零点，则 ，故选：D．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数 ，若 有三个不同的零
点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，当 时， ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 且 ，
当 时，可得 ，
所以函数 的图象如图所示，
又由 有三个不同的零点，即函数 和 的图象有三个公共点，
结合图象，可得实数 的取值范围 .
故选：C.3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数 有唯一零点，则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AD
令 ，则有 ，令 ，则有 ，
所以 在 上单减，在 上单增，当 时 ， ， ，当 时
，故 有唯一零点即 或 .
故选：AD
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数 存在零点，
则实数a的取值范围是______．
【答案】
令 ，易知lnx－x≠0，则 ，令f(x) ，x＞0，
则 ，
令 ，
则 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
∴ ，
时， ， 单调递减，
又∵ ，
∴ 时， ， ， 单调递增，
∴ 时， ， ， 单调递减，
，
当 时， ，当 时，∵f(x)＞0，f(x)单调递减，故 ，
∴f(x)如图：
∴函数 存在零点，则y＝a与y＝f(x)图像有交点，故 .
故答案为： .
5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数 仅有一个零点，则实数 的取值范围是_________．
【答案】 或
令 ，得 ，
则函数 仅有一个零点即为 只有一个交点，
设 ，得 ，
令 ，得 ， ，得 或 ，
则 在 上递减， 上递增， 上递减，
故 的极小值为 ，极大值为 ，
或 .
故答案为： 或 .
6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：当 时， ，该函数的定义域为 ， ，
所以， ， ，
因此，曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
(2)
解：①当 时， ，则 在 上单调递减，不合题意；
②当 时，由 可得 ，
令 ，其中 ，则直线 与曲线 在 内的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：增 极大值 减
所以，函数 在区间 的极大值为 ，且 ，
如下图所示：
由图可知，当 时，即当 时，
直线 与曲线 在 内的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个零点，求a的取值范围.（注： ）
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
由题意可知 的定义域为R， ，对于 ， .
①当 ，即-3≤a≤3时 ， 在R上单调递增；
②当 ，即a<-3或a>3时，令 ，即 ，解得 ，
令 ，则 或 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当-3≤a≤3时， 在R上单调递增；
当a<-3或a>3时，
在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增.
(2)
当 时， 等价于 ，
设 ， ，
则 ，
当x<0时， ，故 单调递增，
且当 时， ；当x→0时， ，此时无论a取何值，
函数 与 的图象都有且只有1个交点，此时方程 有且只有1个解，
函数 有且只有1个零点；当 时， ，故 单调递减；当x>2时， ，故 单调递增，
所以 为 的极小值，且当 时， ；
当 时， .
若 ，则函数 与 的图象有且只有两个交点，
此时方程 有且只有2个解，函数 有且只有2个零点.
综上，当 时， 有三个零点.
8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，则方程 的根为________．
若函数 有三个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】 或2； .
解：（1）当 时， ，所以 ，
令 ，得 ，并且当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故当 时， 有唯一根 ，
当 时， ，令 ，解得 （舍去）或2，
故当 时， 的根为2，综上， 根为 或2；
（2）因为 ，
当 时，由（1） ，则 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且仅当 ，且 ，
因为当 时，则有 或 ，
即 或 ，
由图象得，要使函数 有三个零点，
则 或
解得实数 的取值范围是
故答案是： 或2； .
②部分分离参数法
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ，若关于 的方程 有两个不
同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A对函数 求导得 ，对函数 求导得 ，
作出函数 的图象如下图所示：
当直线 与曲线 相切于原点时， ，
当直线 与曲线 相切于原点时， .
结合图象可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R的奇函数 满足： ，若方程
在 上恰有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
方程 在 上恰有三个根，
即直线 与函数 的图象有三个交点．
由 是R上的奇函数，则 ．
当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上递减， 在 上递增．结合奇函数的对称性和“周期现象”得 在 上的图象如下：
由于直线 过定点 ．
如图连接A， 两点作直线 ，
过点A作 的切线 ，
设切点 ．其中 ， ，则斜率 ，
切线 过点 ．
则 ，即 ，则 ，
当直线 绕点 在 与 之间旋转时，直线 与函数 在 上的图象
有三个交点，故 ．
故选：D．
【点睛】
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确
定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通
过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想
研究；③构造辅助函数硏究.
3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，若
关于 的方程 恰有四个互不相等的实数根，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
解：因为函数 是 上的奇函数，则 ，且当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
①当直线 过点 时，可得 ，则 ，此时直线 与函数 的图象有
三个公共点；
②当直线 过点 时， ，若 ， ，则 ，
所以，直线 与曲线 相切于点 ，
此时，直线 函数 的图象有三个公共点；
③当 时， ，则 ，
若直线 与曲线 相切，
对函数 求导得 ，令 ，可得 ，此时 ，
所以，切点为 ，将切点坐标代入直线方程得 ，可得 .
综上所述，由图可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有四个公共点.
因此，实数 的取值范围是 .故答案为： .
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，若存在 ， ，…， ，使得
，则n的最大值为______.
【答案】4
由 得 ，从而 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单
调递减，易知 ， ，且当 时， ，故可作出 的大致图象，如图
所示.当 时，设 ，则 ，则问题转化为直线 与 图象的交点个
数的最大值.作出直线 ，数形结合可知，直线 与 图象的交点个数最多为4，因
此n的最大值为4.故答案为：4．
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知 若方程 有一个实数根，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
由题意可作出函数 的大致图象如图：直线 过定点 ，则方程 有一个实数根，
即直线 与 的图象只有一个交点，
当 时， 符合题意；
当 时， ，
设 与曲线 的切点为 ，
则切线方程为 ，将 代入，
解得 ，
此时 符合题意；
当 时， ，
设 与曲线 的切点为 ，
则切线方程为 ，将 代入，
解得 ，
此时当 时， 与曲线 只有一个交点，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有个1零点；
③存在负数 ，使得 恰有个3零点；
④存在正数 ，使得 恰有个3零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，
求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数 .
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
（2）
【详解】
(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .
【整体点评】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查
利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：
分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；
3．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
【整体点评】
本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思
想求解.
4．（2020·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
【最优解】：分离常数法
函数 在 内有唯一零点等价于方程 在 内有唯一实根，又等价于直线 与
只有1个交点．
记 ，由于 在 内恒成立，所以 在 内单调递增，故
．
因此，当 时，直线 与 只有1个交点．
5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个
数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线
有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
第五部分：第 08 讲 拓展一：分离变量法解决导数问
题（精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意， ，故 ，令 ，故 ，而
令 ，故 ，故当 时， ，当 时， ，故 ，即实
数 的取值范围为
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，直线 与函数 的图
象分别交于点 ，若对任意 ，不等式 成立，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．【答案】A
解：由题意可知 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
易知 ，
所以 ．
令 ，
由 ，
得 ．
当 时， ，当 时， ，
则函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以当 时， 取得最小值，且为 ，
所以要使对任意 成立，
只需 ，
解得 ．
故选：A．
3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数 在 内单调递增，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
由题意 时， 恒成立，即 恒成立，
， 时， ，∴ ．
故选：B.
4．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
首先 时，不等式为 ，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等
式的另一个整数解．
若1不是不等式的解，则 ， ，此时不等式化为：
，易知函数 在 上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等
式的解，不合题意．
所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解， ，
所以 时，不等式 恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，
则 ， 时， ， ， 单调递增，
所以 ，所以 ．
综上 的取值范围是 ．
故选：C．
5．（2022·全国·高二）若关于 的方程 有且只有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ，得 （ ），令 ，
所以关于 的方程 有且只有2个零点，等价于函数 的图像与直线 有两个交点，
由 ，得 ，
当 时， ，当 ， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
当 时， ，
所以当 时，函数 的图像与直线 有两个交点，所以a的取值范围是 ，
故选：D
6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数定义域是 ，
有两个零点，即 有两个不等实根，即 有两个不等实根．
设 ，则 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
＝ ，而 时， ， 时， ，
极小值
所以 ．
故选：B．
7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当 时，函数 的图象与函数 的图象有
且只有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题设，当 时， ，令 ，
则 ，所以当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减.又 ， ，
所以当 时，直线 与 的图象有两个交点，
即函数 的图象与函数 的图象有且只有两个交点.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 且关于 的方程 有三个不等实根，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意，关于 的方程 有三个不等实根，可转化为 有三个不同的交点
结合图像，当 时显然不成立；
当 时，考虑临界状况， 与 相切
设切点为 ，
由于
从而切线方程为： ，由于直线过原点
故
数形结合可知，当 ，即 时， 有三个不同的交点即关于 的方程 有三个不等实根
故选：
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习）方程 在 上的实数根的个数为___________.
【答案】1
解法一：令 ，则 ，显然在 上 ，所以函数 在 上单调
递增，又 ， ，∴
在 上函数 的图象和 轴有且只有一个交点，即方程 在 上的实数根的个数为1.
解法二： ，即 ，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数 和
的大致图象，如图所示，在 上两函数的图象只有一个交点，即方程 在 上的实数根的
个数为1.
故答案为:1.
10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式 在 上仅有一个整数解，则a
的取值范围是______．
【答案】
令函数 ，则 有两个零点1， ，
在 上， 且 ；
在 上， 且 有零点 ；
在 上， 且 有零点 ，
故 的大致图象如图所示：过（2，0）作直线，如图，若 在 上仅有一个整数解，
则满足： 时， ，即 ； 时， ，即 ，
故 ．
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使
得 ，则实数 的取值范围是____.
【答案】 .
设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ，
当 时， ,所以，函数 的最小值为 .
又 ， （1） ，
直线 恒过定点 且斜率为 ，故 且 ，解得 .
故答案为： .
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 的最小值为0，则正实数 的值为__．
【答案】
由于函数 的最小值为0，
所以 恒成立，即 恒成立且可取等号，
设 、
所以 的图象在函数 的图象上方相切，
当 时， 的图象与 轴的交点在 轴的负半轴上，
由图可知当正数 最小时，直线 与 在 内相切，
对函数 求导得到 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以切点的坐标为
把点 代入 得： ．
由于 的周期为 ，故 每向左或向右平移 都会与曲线相切，又
.故答案为：
三、解答题
13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 (2)
(1)
由题意知 .∵ ，∴ ，解得 或 ， ，解得 ，
∴ 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为 .
(2)
∵ 对任意的 恒成立，∴ .
令 ，则 .
令 ，则 ，易得 在 上单调递增，∴ 在
上恒成立.
∴ 在 上单调递增， 在 上恒成立.
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ .
∴ ，即实数m的取值范围是 .
14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x∈ ，不等式2xln x＋x2－mx＋3≥0成立，求实数m的取值范
围．
【答案】m≤ ＋3e－2
因为
所以 等价于 ，记 ，由题意知 ，
因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， ，
而 ， ，又
，
所以 ，
所以
15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数 在 处的切线为 .
(1)求实数a的值及函数 的单调区间；
(2)用 表示不超过实数t的最大整数，如： ， ，若 时， ，求 的
最大值.
【答案】(1) ，单调递增区间 ，单调递减区间为 (2)2
(1)
函数 的定义域 ，
因为 ，由已知得： ，所以 ，
由 得 ，由 得 ，
所以函数 的单调递增区间 ，单调递减区间为 .
(2)
时，不等式 等价于 ，
令 ，所以 ，
由（1）得 在 上单调递增，又因为 ， ，所以 在 上有唯一零点，且 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的最小值为 ，
由 得 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
因为 ，所以 的最大值为2.
16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知 .
（1）若 ，求 的极值.
（2）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的极小值为 ，极大值为 ；（2） .
(1)由题意得 ，所以 ，
令 ，得 ，解得 ，
时， ； 时， ； 时， ，
所以 在 处取极小值 ，在 处取极大值 ；
(2)由 ，得 ，
令 ， ，则 ，
时， ， 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
故 在 处取得最大值 ，而 ，且 ，
因原方程有两个不同的实数根，则8-e2≤m<8ln2-4，
所以实数 的取值范围为 .
