文档内容
第 05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
角度2：测量高度问题
角度3：测量角度问题
高频考点二：求平面几何问题
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基线在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应
根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，
目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角 的范围是
.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西) ，
例：(1)北偏东 ：(2)南偏西 ：
5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即
.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）公园内有一棵树， ， 是与树根处 点在同一水平面内的两个观测
点，树顶端为 .如图，观测得 ， ， ， 米，则该树的高度
大约为（ ）
A．21米 B．18米 C．15米 D．10米
2．（2022·新疆·乌市八中高一期中）现只有一把长为 的尺子，为了求得某小区草坪边缘 两点的距
离 （ 大于 ），在草坪坛边缘找到点 与 ，已知 ，且 ，测得， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，为了测量某湖泊两侧 ， 间的距离，李宁同学首先选定了与
， 不共线的一点 ，然后给出了三种测量方案( 的角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， )：
①测量 ， ， ；②测量 ， ，C；③测量 ， ， ．
则一定能确定 ， 间距离的所有方案的个数为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在救灾现场，搜救人员从 处出发沿正北方向行进 米达到 处，
探测到一个生命迹象，然后从 处沿南偏东 行进 米到达 处，探测到另一个生命迹象，如果 处恰
好在 处的北偏东 方向上，那么 （ ）
A． 米 B． 米 C．10米 D． 米
5．（2022·重庆八中高一期中）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h.
将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数.如果地球
表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该
观测点的纬度值为 ，观测该卫星的仰角为 ，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：解三角形应用举例
角度1：测量距离问题
例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）如图，一轮船从 点沿北偏东 的方向行驶10
海里至海岛 ，又从 沿北偏东 的方向行驶10海里至海岛 ，若此轮船从 点直接沿直线行驶至海岛
，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛 （ ）
A．北偏东 ； B．北偏东 ；
C．北偏东 ； D．北偏东 ；
例题2．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 ，
(如图)，要测量 ， 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 ，测得 ， ，
．就可以计算出 ， 两点的距离为（ ）．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离分别为 ， ，
灯塔 在观察站 的北偏东 方向上，灯塔 在观察站 的南偏东 方向上，则灯塔 与 的距离为
______km．例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）如图，为了测量 两点间的距离，选取同一平
面上 两点，已知 ， ， ， ， ，则 的长为________．
例题5．（2022·江苏·高一课时练习）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，
员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首
衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，
而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，
合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距 的 ， 两地各放置一个地动仪， 在
的东偏北 方向，若 地动仪正东方向的铜丸落下， 地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在 地
正东________________km.
角度2：测量高度问题
例题1．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于
唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学
为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们的地面上的点 （ ，
， 三点共线）测得楼顶 ，滕王阁顶部 的仰角分别为 和 ，在楼顶 处测得阁顶部 的仰
角为 ，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到 ）A． B． C． D．
例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第
一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的
元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点 （如图2）距离地面的高度 （ 与地面垂
直），在赛道一侧找到一座建筑物 ，测得 的高度为25.4米，并从 点测得 点的仰角为 ；在
赛道与建筑物 之间的地面上的点 处测得 点， 点的仰角分别为 和 （其中 ， ， 三
点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点 距离地面的高度约为（ ）（参考数据：
， ， ）
A．58 B．60 C．66 D．68
例题3．（2022·四川成都·高一期中）如图， 是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在
地面选取 ， 两点，使 ， ， 三点在同一条直线上，在 ， 两点测得顶点 的仰角分别为
， ，且 ， 两点之间的距离为20米，则烟囱 的高度为_________米．（用四舍五入
法将结果精确到个位数，参考数据： , ）
例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相
连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔 塔的高度，他在家
测得塔尖的仰角为 ，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为 ，塔底俯角为 .则
塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据： ， ， ，
.角度3：测量角度问题
例题1．（2022·江苏·高一课时练习）两座灯塔 和 与海岸观察站 的距离相等，灯塔 在观察站北
偏东 ，灯塔B在观察站南偏东 ，则灯塔 在灯塔 的（ ）
A．北偏东 B．北偏西
C．南偏东 D．南偏西
例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））位于灯塔 处正西方向相距 的 处有一艘
甲船需要海上救援，位于灯塔 处北偏东 相距 的 处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标
方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏南通·高一期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，
由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为 ，日影长为 .图2是地球轴截面的示意图，虚线
表示点 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬 ）在某地
利用一表高为 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为 ，则该地的纬度约为北纬（ ）（参
考数据： ， ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）如图，一艘船上午8：00在 处测得灯塔 在它的北偏东
30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达 处，此时又测得灯塔 在它的北偏东75°处，且与它相距 海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时 B．15海里/小时
C． 海里/小时 D． 海里/小时
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）如图，在一场足球比赛中，甲同学从点 处开始做匀速直线运动，到
达点 时，发现乙同学踢着足球在点 处正以自己速度的 向 做匀速直线运动，已知 ，
， .若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段 上离 处
____________m的点.
3．（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在
福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G
基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为 ；基站A，B在江的北岸，测得
， ， ， ，则A，B两个基站的距离为______．
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从
A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山
高BC=500m，则山高MN=______m.5．（2022·全国·高三专题练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 ，已知
射线 ， 为湿地两边夹角为 的公路（长度均超过 千米），在两条公路 ， 上分别设立游客
接送点 ， ，且 千米，若要求观景台 与两接送点所成角 与 互补且观景台
在 的右侧，并在观景台 与接送点 ， 之间建造两条观光线路 与 ，则观光线路之和最长是
_________________ （千米）.
6．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，测量河对岸的塔高 ，可以选取与塔底 在同一水平面内的
两个测量基点 和 ．现测得 ， ， 米，在点 测得塔顶 的仰角为60°，
则塔高 为（ ）米．
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差
术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启
发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个
垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表
高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
8．（2022·湖南·高一阶段练习）如图，无人机在离地面高300m的A处，观测到山顶M 处的仰角为 、
山脚C处的俯角为 ，已知 ，则山的高度MN为___m．
9．（2022·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱
成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时
刻地面上点 观测点观测到点D的仰角分别为 ，若 间距离为10千米（其中向量 与 同
向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离 约为___________千米（结果保留整数，参考数据：
）.
10．（2022·河南安阳·高一阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A
处测得 ，沿土坡向坡顶前进 后到达D处，测得 ．已知旗杆
，土坡对于地平面的坡角为 ，则 （ ）A． B． C． D．
11．（2022·江苏·高一课时练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹竿，要使它的
影子最长，则竹竿与地面所成的角 ________．
12．（2022·全国·高一专题练习）如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m，宽0.8
m，高2.5 m，房门的宽为1.2 m，高为2.2 m．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？
（ ， ， ）
13．（2022·全国·高三专题练习）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船
搁浅在其南偏东 方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东 方
向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．
（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走
最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
高频考点二：求平面几何问题
例题1．（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）如图，在三棱锥 的平面展开图中， ，
， ， ， ， ，则 ( )A． B．
C． D．
例题2．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）在梯形 中，
，则 （ ）．
A． B．
C． D．
例题3．（2022·四川南充·二模（文））托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是
由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上， 是其两条对角线， ，且 为正三角形，则四
边形 的面积为（ ）A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，已知在 中， ，点 在边 上，且满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·金陵中学高一期中）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的
原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当
对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆 的直径为2， 为直径延长线上的一点，
， 为半圆上一点，以 为一边作等边三角形 ，则当线段 的长取最大值时，
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2022·四川·攀枝花市第十五中学校高一阶段练习） 在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且
MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD（端点C，D除外）上运动，则 · 的取值
范围是（ ）
A．[－1，0) B．
C．[－1，1) D．
4．（2022·湖北·武汉市武钢三中高一期中）若 ， ，平面内一点 ，满足 ，
的最大值是（ ）A． B． C． D．
高频考点三：三角函数与解三角形的交汇问题
例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边
分别为 ， ， ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、
，若 ， ，则实数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2022·广东·兴宁市沐彬中学高一阶段练习）在锐角 中， ， ， 分别是角
， ， 的对边，已知 ，若 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角 中， ，角 的角平分线交 于点 ，
,则 的取值范围为_________.
例题5．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）设锐角 的内角 ， ， 的对边分别为
， ， ，若 ，则 的取值范围是___.
例题6．（2022·四川成都·高一期中（理））已知 中，角 、 、 对应的边分别为 、 、 ，
若 ，且满足 ．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．题型归类练
1．（多选）（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
．若 ，则（ ）
A． B． 的取值范围是
C． D． 的取值范围是
2．（多选）（2022··一模）设 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
3．（2022·全国·高三专题练习）在① ，② ，③ 三个条
件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且______，若 ，求 的取值范围.
4．（2022·山西·模拟预测（理））已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.5．（2022·江苏南京·高一期中）如图所示，某镇有一块空地 ，其中 km， km，
.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中M、
N都在边AB上，且 ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下的 地带开设儿
童游乐场.为安全起见，需在 的一周安装防护网．
(1)当 km时，求OM长度；
(2)若要求挖人工湖用地 的面积是堆假山用地 的面积的 倍，试确定 的大小；
(3)为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？
最小面积是多少？
6．（2022·上海·复旦附中高一期中）在工厂实习中，小宋拿到的材料是一块顶角A为 的扇形铝板（足够
大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件 ．
(1)小宋的师傅拿出了一个工件样品 ，其中 ，求 的值；
(2)师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且 ，并要求小宋加工的工件
的 边经过点D，则
①用角B表示工件 的面积S；
②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的
差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
2．（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三
角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正
方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 ___________.
3．（2021·浙江·高考真题）在 中， ，M是 的中点， ，则
___________， ___________.
