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重难点突破02 解三角形图形类问题
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解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：妙用两次正弦定理
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中 ， ， ，设
.
（1）若 面积是 面积的4倍，求 ；
（2）若 ，求 .
例2．（2023·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 中 ， ， ，设
．（1）若 面积是 面积的 倍，求 ;
（2）若 ，求 .
例3．（2023·全国·高三专题练习）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中， ， ，且______.
(1)证明： ；
(2)若 ，求四边形ABCD的面积.
变式1．（2023·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，
.
(1)当 时，求 的面积.
(2)当 时，求 .变式2．（2023·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形 中， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 ．
变式3．（2023·广东·统考模拟预测）在平面四边形 中， ， .
（1）若 ， ，求 的长；
（2）若 ，求 的值.
变式4．（2023·江苏徐州·高一统考期末）在① ，② ，③
的面积这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知______.
(1)求角 ；
(2)若点 在边 上，且 ， ，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
变式5．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、
，已知 .
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
变式6．（2023·广东揭阳·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 .
(1)求角 ；
(2)若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．
题型二：两角使用余弦定理
例4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形 中， ， ．(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
例5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求梯形ABCD的面积．
例6．（2023·河北·校联考一模）在 中， ， ，点D为 的中点，连接 并延长
到点E，使 .
(1)若 ，求 的余弦值；
(2)若 ，求线段 的长.
变式7．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.(1)求角 ；
(2)若点 在 上， ， ，求 的值.
变式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
.
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度.
题型三：张角定理与等面积法
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中， 分别为内角 的对边，且
.
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积.
例8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且 ， ，求△ABC的面积．例9．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）在 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且
．
（1）求 ；
（2）若D为 上点， 平分角A，且 ， ，求 ．
变式9．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在 中， ， ，且点 在线段
上．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的面积．
变式10．（2023·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在 中， ， ，点
在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.变式11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 ，其图像上相邻
的最高点和最低点间的距离为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)记 的内角 的对边分别为 ， ， ， ．若角 的平分线 交 于 ，
求 的长．
变式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为
，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．
题型四：角平分线问题
例10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在 中，已知 ，
的平分线与边 交于点 ， 的平分线与边 交于点 ， .
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 .
例11．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，
(1)求 的值及 的面积；
(2) 的平分线与BC交于D， ，求a的值．
例12．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
.
(1)求角C的大小；
(2)若 的平分线交AB于点D，且 ， ，求 的面积.
变式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别
为a，b，c， ，角C的平分线交AB于点D，且 ， .
(1)求 的大小；
(2)求 .
变式14．（2023·广东深圳·校考二模）记 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
.
(1)证明： ；
(2)若角B的平分线交AC于点D，且 ， ，求 的面积.变式15．（2023·海南·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边
上， 是角A的平分线， ， ．
(1)求A；
(2)若 ，求 的长．
变式16．（2023·四川·校联考模拟预测）在① ；② 这两个条件中任选一个作为
已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知 中，角 的对边分别为 ，点D为 边的中点， ，且________．
(1)求a的值；
(2)若 的平分线交 于点E，求 的周长．
题型五：中线问题
例13．（2023·浙江杭州·统考一模）已知 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足
， ．
(1)求角A；
(2)若 ， 边上中线 ，求 的面积．
例14．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点， ， ，AD平
分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．(1)求△ACD的面积；
(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．
例15．（2023·四川绵阳·统考二模）在 中，角 所对的边分别为 ， ，
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 边上中线 的长．
变式17．（2023·广东广州·统考一模）在 中，内角 的对边分别为 ，
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
变式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测） 中，已知 .
边上的中线为 .
(1)求 ；
(2)从以下三个条件中选择两个，使 存在且唯一确定，并求 和 的长度.
条件①： ；条件② ；条件③ .变式19．（2023·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设 中角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 且 ， ．
(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积
的 ，求 的取值范围．
变式20．（2023·广东广州·统考三模）在① ；② 这两个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知 中， 分别为角 所对的边，__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，若 边上的两条中线 相交于点 ，求 的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型六：高问题
例16．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 的内角A， ， 的对边分别为 ， ，
， ， .
(1)若 ，证明： ；(2)若 边上的高为 ，求 的周长.
例17．（2023·重庆·统考模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ， 边上的高线长 ，求 ．
例18．（2023·四川自贡·统考三模） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ．
(1)求A；
(2)若BC上的高 ，求 ．
变式21．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 ，且BC边上的高为 ，求a．
变式22．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知 中，点 在边 上，满足
，且 ， 的面积与 面积的比为 ．(1)求 的值；
(2)若 ，求边 上的高 的值．
题型七：重心性质及其应用
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)若M为 的重心， ，求 ．
例20．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
为 的重心．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
例21．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求角 的大小
(2)若 ，点 是 的重心，且 ，求 内切圆的半径．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的
中线，c＝1， ， ．
(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为 的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF的长度．
变式24．（2023·四川内江·高三威远中学校校考期中） 的内角A，B，C所对的边分别为
．
(1)求A的大小；
(2)M为 内一点， 的延长线交 于点D，___________，求 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使 存在，并解决问题．
①M为 的重心， ；
②M为 的内心， ；
③M为 的外心， ．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在① ；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且其面积为 ，点G为 重心，点M为线段 的中点，点N在线段
上，且 ，线段 与线段 相交于点P，求 的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
题型八：外心及外接圆问题
例22．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且a，b，c是公差为2的等差数列.
(1)若 ，求 的面积.
(2)是否存在正整数b，使得 的外心在 的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由.
例23．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB的值；
(2)若O是 ABC的外心，且 ，求 ABC外接圆的半径．
例24．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c； ， .
（1）求 的值；
（2）若 的外心在其外部， ，求 外接圆的面积.
变式26．（2023·高三统考阶段练习）在 中，角 ， ， 对应的三边分别为 ， ， ，
， ， ， 为 的外心，连接 ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）过 作 边的垂线交于 点，连接 ，试求 的值．
题型九：两边夹问题
例25．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，若
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
例26．（2023·河北唐山·高三校考阶段练习）在 中， 、 、 分别是 、 、 所对边的边长.若 ，则 的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
例27．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _________________
变式27．（2023·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _____．
变式28．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）在 中，已知边 、 、 所对的角分别为 、
、 ，若 ， ，则 的面积 ______.
变式29．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则角 __．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是△ABC的
面积，若 ﹣ ，则角A的值为_______．
题型十：内心及内切圆问题
例28．（2023·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时
(1)求 ；
(2)若∠ADB= ，求 .
例29．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ,
.
(1)求 ；
(2)若 ，M为 的内心，求 的面积.例30．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边
分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 的内切圆半径为 ， ，求 ．
变式31．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的内切圆半径为 ，求 的周长.
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知在 中，其角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且满足
．
(1)若 ，求 的外接圆半径；
(2)若 ，且 ，求 的内切圆半径
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
，内切圆半径 ，则 ________.
