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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 25 讲 解三角形（精讲）
题型目录一览
①正弦、余弦定理的应用
②解三角形面积问题
③判断三角形形状
④解三角形与三角函数综合
⑤解三角形的实际应用
一、知识点梳理
一、正余弦定理和面积公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
；
公式 ；
.
(1) ， ， ； ；
常见变形
(2) ， ， ； ；
.
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边③合分比：
（2） 内角和定理：
①
② ；
③在 中，内角 成等差数列 .
三、解三角形的实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【常用结论】
1.解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”
（2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 .
二、题型分类精讲
题型 一 正弦、 余弦 定理的应用
策略方法 正余弦定理解三角形
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c．
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C．
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A
＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
【典例1】（单选题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【典例2】（单选题）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）在 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 最大角和最小角之
和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）设△ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a=b，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
， ，则A＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ， ，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足
，若 ，则 外接圆的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且 ， ，则 （ ）
A． B． C．8 D．4
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使
的形状唯一确定的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）在 中，内角 所对的边分别
为 ，下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，若sin A=sinB，则A=B
B．在△ABC中，若BC=√5，sinC=2sin A，则AB=2√5
C．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
a b+c
D．在△ABC中， =
sinA sinB+sinC
三、填空题
11．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若
， ，则 ___________．
12．（2023·全国·高三专题练习） 的内角A，B，C的对边分别为A，b，c，若
，则 __________．
13．（2023·上海嘉定·校考三模）在 中，已知 ，则角 的大小为__________.
14．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在 中，它的内角 的对边分别为
，若 ，则 _________．
15．（2023·陕西西安·统考一模）在 中， ，则 ___________.16．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图，在 中，若 ，D为边 上一点，
， ， ，则 __________．
四、解答题
17．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求A的大小；
(2)若 ， ，求BC边上高的长.
18．（2023·广东东莞·校考三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知
.
(1)求角 的大小；
(2)设 ， ，求 的值.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
20．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，已知
(1)求角 的大小；(2)若 ， ，求边 及 的值．
题型二 解三角形面积问题
策略方法
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该
角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总
之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【典例1】（单选题）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在 中， ，且 ，则
的面积是（ ）
A． B． C． D．2．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ， ，且 的面
积为 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为 ，
， ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
4．（2023·河南开封·统考三模）在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，b
＝2c， ，则a=（ ）
A．13 B．2 C． D．
6．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在 中， ，则 边上的高等于
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·西藏拉萨·统考一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的面积为（ ）A． B． C．12 D．16
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）（多选） 分别为 内角 的对边，已知
，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的周长为 D． 的面积为
9．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ，且 ，则（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则 的面积的最小值为
三、填空题
10．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若
， ， ，则 的面积为______.
11．（2023·北京海淀·北航实验学校校考三模）已知 中， ，且 ，则
的面积是________．
12．（2023·北京东城·统考模拟预测）在 中， ， ， ，则 ______.
13．（2023·全国·高三专题练习） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， 外接圆的周长为 ，则 的面积为______．
14．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，D为BC边上的中点且AD＝4，则 面积的最大
值为______．
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
△
， .
(1)求B；
(2)D为AC的中点， ,求 的面积.
17．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 的中线 长为 ，求 面积的最大值.题型三 判断三角形形状
策略方法
1．判定三角形形状的两种常用途径
2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中
要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，
应移项提取公因式，以免漏解．
【典例1】（单选题） 中，若 ，且 ，那么 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）在 中，若 ，则 一定是
（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
2．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，若
，则 为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
3．（2023·高三课时练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 为
（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在 中内角 的对边分别为 ，若 ，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（2023·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（2023·青海西宁·统考二模）在 和 中，若 ， ， 则
（ ）
A． 与 均是锐角三角形
B． 与 均是钝角三角形
C． 是钝角三角形， 是锐角三角形
D． 是锐角三角形， 是钝角三角形
二、多选题
7．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）在 中，内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，
下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ， ，则 为等边三角形
D．若 ， ， ，则 有两解
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中
正确的是（ ）
A．若 ，则 是锐角三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形D．若 ，则 是等边三角形
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）对于 ，有如下四个命题:
①若 ，则 为等腰三角形，
②若 ，则 是直角三角形
③若 ，则 是钝角三角形
④若 ，则 是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
四、解答题
10．（2023·上海虹口·统考一模）设 的内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求角A；
(2)若 ，求证： 是直角三角形．
11．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ．
(1)若 ，判断 的形状；
(2)求 的最大值．
题型四 解三角形与三角函数综合
【典例1】已知函数 ， 为奇函数，其图像相邻的对称
轴之间的距离为 ．
(1)求函数 的解析式及其减区间；(2)在 中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若 ， ， ，求 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，
，则实数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 中，角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，且满足
，则 的取值范围为___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）锐角 中， ，角A的角平分线交 于点 ， , 则
的取值范围为_________.
三、解答题
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形 中， .
(1)若 .求 的长；
(2)若四边形 有外接圆，求 的最大值.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示．（1）求函数 的解析式；
（2）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且 的面积
为 ，求 ．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知 分别为 的内角 所对的边， ，且
．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
9．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；
(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.10．（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求A；
(2)若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
题型 五 解三角形的实际应用
策略方法 解三角形的实际应用
【典例1】（单选题）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某
塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得 ， ，
米，在C点测得塔顶A的仰角为 ，则塔的总高度为（ ）A． B．
C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东 方向上的
点D处，在A点测得塔顶C的仰角为 ，在A的正东方向且距D点30m的B点测得塔底位于西偏北
方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（ ， ）（ ）
A．17.32m B．14.14m C．10.98m D．6.21m
2．（2023·四川·校考模拟预测）如图，在山脚 测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 米
到 ，在 处测得山顶 的仰角为 ，则山高 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.
据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁
侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视
为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为
45°，若 ，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（ ）
A．63米 B．61米 C．57米 D．54米
4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为
测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度 ，在BC同
一水平面上选一点A，测得M点的仰角为 ，N点的人仰角为 ，以及 ， 则M，N间的距
离为（ ）
A． B．120m C． D．200m
5．（2023·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江
省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物
保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它
的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为
m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和 ，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20m B．30m C． m D． m
二、多选题
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在
D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C
处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．A、D之间的距离为 海里
C．A、B两处岛屿间的距离为 海里
D．B、D之间的距离为 海里
7．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为
了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点 处
测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点 ， ， ，使点 ，
， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东方向上，测得 ，
， ， ，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）A． B． 的面积为
C． D．点 在点 的北偏西 方向上
三、填空题
8．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山
脚 处测得山顶 处的仰角为 ，又利用无人机在离地面高 的 处（即 ），观测到山
顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，则山高 _________m．
9．（2023·江西·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图
1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人
目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表
各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆
BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时
A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________
步.（古制单位:180丈=300步）10．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用
与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科
技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和
点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别
为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
四、解答题
11．（2023·河北沧州·统考三模）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，
该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高
度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得 ， ，
， ， ，在点C测得塔顶A的仰角为 .参考数据：取 ，
， .
(1)求 ；
(2)求塔高 （结果精确到1m）.
12．（2023·全国·高三专题练习）为了测量隧道口 、 间的距离，开车从 点出发，沿正西方向行驶
米到达 点，然后从 点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 点，再从 点出发，沿东南方向
行驶400米到达隧道口 点处，测得 间的距离为1000米.(1)若隧道口 在点 的北偏东 度的方向上，求 的值；
(2)求隧道口 间的距离.
13．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，
“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，
以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形
顶点 都在圆周上，角 的对边分别为 ， ， ，满足
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长
