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9.3双曲线（精讲）
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双
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曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝
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2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
性质 图形焦点 F(－c，0)，F(c，0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
实轴：线段AA，长：2a；虚轴：线段BB，
1 2 1 2
轴
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．
当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不
等于0时，用判别式Δ来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝ |x －x|＝·.
1 1 2 2 1 2
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定
量”
2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件
求解．
3.常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝.
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形，∠FPF ＝θ，△PFF 的面
0 0 1 2 1 2 1 2
积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝|PF ||PF|·sin θ＝b2tan ＝c|y|，当|y|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
1 2 0 0
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2) 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则 S ＝，其
1 2 △PF1F2
中θ为∠FPF.
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考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ，那么点 到它的左
焦点的距离是（ ）
A． B． C． 或 D．不确定
【例1-2】（2023·广东潮州）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线内一点，
点A在双曲线的右支上，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【例1-3】（2023·江苏 ）设点P在双曲线 上， 为双曲线的两个焦点，且 ，
则 的周长等于 ， ．
【一隅三反】
1．（2023·江苏）（多选）设 分别是双曲线 的左、右焦点，若点P在双曲线上，且 ，
则 （ ）
A．5 B．3
C．7 D．6
2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知 是双曲线 的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
3．（2023·全国· 课堂例题）P为双曲线 右支上一点，M，N分别是圆 和
上的点，则 的最大值为 .
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点 ，曲线上的动点 到 的距离之差为6，则曲
线方程为（ ）
A． B．
C． D．【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线 经过点 ，则 的标准方
程为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2023·江苏 ）下列选项中的曲线与 共焦点的双曲线是（ ）
A． B． 1
C． 1 D． 1
【一隅三反】
（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1) ，经过点 ；
(2)与双曲线 1有相同的焦点，且经过点 ；
(3)过点P ，Q 且焦点在坐标轴上．
(4)两个焦点的坐标分别是 ,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 ；
(5)焦点在 轴上，经过点 和点 ．
(6)虚轴长为12，离心率为 ；
(7)焦点在x轴上，离心率为 ，且过点 ；
(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝± x.(9)以直线 为渐近线，过点 ；
(10)与椭圆 有公共焦点，离心率为 .
考点三 离心率与渐近线
【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，则 的渐近线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ，
是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C： （ ， ），斜率为
的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·广西桂林）双曲线 的渐近线方程是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·新疆巴音郭楞）设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与
相交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知 是双曲线C： 的左焦点， ，
直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2023湖南）已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，则 的取值
可以是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线 只有一个公共点的
直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线
与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线 的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，
B两点，则弦长 ．
【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 ，与双曲线交于 两点，若
，则这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例5-3】（2023·福建）已知双曲线 过 点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的
中点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【一隅三反】
1．（2023·安徽）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则直
线 的方程是（ ）
A． B．C． D．
2．（2023春·河南周口 ）过点 作斜率为1的直线，交双曲线 于A，B两点，
点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023河北）经过点 作直线 交双曲线 于 两点，且 为 中点．
(1)求直线 的方程．
(2)求线段 的长．考点六 直线与双曲线的综合运用
【例6】（2023秋·安徽）已知双曲线C： （ ， ）的离心率为2， 在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且 ，求证：直线l过定点.
【一隅三反】
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线 的一条渐近
线方程为 ，虚轴长为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为点 ，求证：直线 恒过
定点.2．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线 的渐近线方程为 ，
且经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)点 在直线 上， 、 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 、 分别与双曲线 交于 、
两点．求证：直线 过定点．
