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9.3 双曲线（精练）（提升版）
题组一 双曲线的定义及应用
1．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上
的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)
故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A
2．（2022·淮南模拟）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 、 ，且
，若P是该双曲线右支上一点，且满足 ，则 面积的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有 ，
又 ，所以 ， ，设 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 面积的最大值是 ，故答案为：A.
3．（2022怀仁期中）已知 ， 是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与曲
线 的右支交于 两点，则 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 可知：
的周长为 .
当 轴时， 的周长最小值为故答案为：C
题组二 双曲线的离心率及渐近线
1．（2022湖南月考）已知双曲线的左焦点为 ，右焦点为 ， ， 为双曲线右支上一点，
为坐标原点，满足 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵ ，O为 的中点，∴△ 为直角三角形，
设 ，
则 ，则 ，
∴ ，∴e＝ .故答案为：B.
2．（2022雅安期末）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，点M
在双曲线C上，点I为 的内心，且 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】依题意， ，由双曲线定义知： ，于是得 ，
，
令双曲线C的半焦距为c， 内切圆半径为r，因 ，
则有 ，即有 ，
于是得： ，即 ，
所以双曲线C的离心率为 。故答案为：A
3．（2022怀仁期末）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右
支上存在一点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以可得 ，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
故答案为：D
3．（2022·巴中模拟）设 ， 分别为双曲线 （a>0，b>0）的左､右焦点，若双曲
线上存在一点P使得 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，即 ，①
根据双曲线的定义可得 ，即
②，①减去②得 . ，
故 ，解得 或
（舍），双曲线的离心率为 。 故答案为：B.
4．（2022南开期末）已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 的直线分别交
双曲线左、右两支于 、 两点，以线段 为直径的圆过右焦点 ，则双曲线的离心率为（ ）.A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 、 ，如下图所示：
由题意可知，点 为 的中点，也为 的中点，且 ，
则四边形 为矩形，故 ，由已知可知 ，
由直角三角形的性质可得 ，故 为等边三角形，故 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，所以， .
故答案为：A.
5．（2022北京）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直
线与双曲线 的右支交于 ， 两点，点 在线段 上，且 ，
，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据题意，作图如下：
因为 ，故可得 ，
故可得 // ，且 ，故 分别为 的中点；
又 ，故可得 既是三角形 的中线又是角平分线，
故可得 ；又 为 中点，由对称性可知： 垂直于 轴.
故△ 为等边三角形，则 ；
令 ，可得 ，解得 ，故可得 ，
则 ，由双曲线定义可得： ，
即 ，解得 ，则离心率为 .
故选：B.
6．（2022·德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则
，
令 ，由 得： ，
由双曲线定义知 ，而 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，
所以双曲线 的离心率为 。
故答案为：B
7．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线 的右焦点，过双曲
线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，
O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，点 的坐标为 ，故 ，
因为以F为圆心的圆经过点A，O，
所以 ，则△ 为等边三角形，
所以 ，则 ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：A
8．（2022·湖北模拟）已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过
的直线与 的左支交于 、 两点，且 ， ，则 的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 ， ；
根据双曲线的定义， ，
所以 ， ．
在直角三角形 中， ，即 ，
解得 ；
在直角三角形 中， ，即 ，即 ，解得 ，所以 的渐近线方程为 .
故答案为：C．
题组三 双曲线的标准方程
1．（2022·东北模拟）我们常说函数 的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个
双曲线的标准方程为 ．函数 的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，
它的标准方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对函数 ，其定义域为 ，定义域关于原点对称，
用 替换 方程 不变，故其图象关于原点对称；
又当 ，且 趋近于 时， 趋近于正无穷；当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
此时 的图象与 无限靠近；
故 的两条渐近线为 轴与 ，做出其图象如下所示：为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴 必须平分两条渐近线的夹角，
又 ，其斜率为 ，此时其在原坐标系中其倾斜角为 ，与 轴夹角为 ，
故新坐标系中， 轴与 轴的夹角应为60º，
故 轴所在直线在原坐标系中的方程为 ， 轴与其垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线 与 的夹角为 ，
故 ，即 ，故在新坐标系下双曲线方程为 .
故答案为：A.
2．（2022·湘赣皖模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，双曲线C上一点P到x轴的距离为c，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作 轴于M，依题意 ， ，
则 ，则 为等腰直角三角形
令 ，则 ，由双曲线定义知 ．
而 ，在 中， ，
解得： ，双曲线离心率 ，则 ．故答案为：C．
3．（2022·南昌模拟）已知中心在原点的双曲线 的离心率为2，右顶点为 ，过 的左焦点 作
轴的垂线 ，且 与 交于 ， 两点，若 的面积为9，则 的标准方程为 .
【答案】
【解析】设双曲线标准方程为令 ，则 ，得 ，所以 ，
易知 ，所以 …①，
又 …②， …③，联立①②③求解得 ，所以双曲线方程为 。
故答案为： 。
4．（2022成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，焦距为 ，则该双
曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题设，可知： ， ，
∴由 ，可得 ， ，又焦点在 轴上，
∴双曲线的标准方程为 .
故答案为： .
5．（2021成都期末）已知焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，半焦距 ，
则双曲线的标准方程为 ．
【答案】【解析】由题可设双曲线方程为 ，
由渐近线方程可得 ， ，
又因为 ，即 ，解得 ，则 ，
所以双曲线的标准方程为 。
故答案为： 。
6．（2022太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率 ；
（2）渐近线方程为 ，经过点 ．
（3）双曲线E： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求
的方程；
（4）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准
方程．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）解：设双曲线的标准方程为： ，由题知：，双曲线方程为： .
（2）解：设双曲线方程为： ，
将 代入 ，解得 ，
所以双曲线方程为： .
（3）由 ，得 ，即 ，
又 ，即 ，
双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．
所以，双曲线 的方程为 ．
（4）椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以，双曲线 的方程为 ．
7．（2021包头期末）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，，且过点 .
（1）求双曲线C的虚轴长；
（2）求与双曲线C有相同渐近线，且过点 的双曲线的标准方程.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意，易知 ， ，且 .
在 中，
由双曲线的定义可知， ， ，即 .
∵双曲线C的两个焦点分别为 ， ，∴ .
又∵ ，∴
故双曲线C的虚轴长为
（2）解：由（1）知双曲线C的方程为 .
设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为
将点 的坐标代入上述方程，得
故所求双曲线的标准方程为
题组四 直线与双曲线的位置关系
1．（2022·广东）（多选）下列曲线中与直线 有交点的是（ ）
A． B． C． D．【答案】BCD
【解析】对于A,直线 和 的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．
对于B,由 ，得 ， ，所以直线与B中的曲线有交点．
对于C,由 ，得 ， ，所以直线与C中的曲线有交点．
对于D,由 ，得 ， ，所以直线与D中的曲线有交点．
故选：BCD
2．（2022·全国·高二课时练习）直线 与双曲线 上支的交点个数为______．
【答案】2
【解析】由 ，可得 ，解得 或 ．当 时， ；当 时，
，所以直线 与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：2
3．（2022·全国·高二课时练习）直线 与双曲线 的交点坐标为______．
【答案】 ，
【解析】由 ，消 得 即 ，解得 或
代入直线得 或 ，所以直线与双曲线的交点坐标为 ， ，故答案为： ，
4．（2022·全国·高三专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由题意，双曲线 的渐近线方程为： ，
因为直线 过原点且与双曲线 没有交点，
故需满足 ，
故答案为：
5．（2022·全国·专题练习）双曲线 与直线 交点的个数为_____.
【答案】1
【解析】联立方程可得 ，消 可得 ，
即 ，故 ，
故方程组有且只有一组解，
故双曲线 与直线 有且只有一个交点.
故答案为：1
6．（2022·四川内江·模拟预测（文））若双曲线 上存在两个点关于直线 ： 对称，则
实数 的取值范围为______．
【答案】 或【解析】设双曲线 存在关于直线 对称的两点为 ， ，
根据对称性可知线段 被直线 垂直平分，
且 的中点 在直线 上，且 ，
故可设直线 的方程为 ，
联立方程 ，整理可得 ，
∴ ， ，
由 ，可得 或 ，
∴ ， ，
∵ 的中点 在直线 上，
∴ ，可得 ， 或 .
故答案为： 或 .
7．（2022·四川·仁寿一中 ）若直线 与双曲线 始终只有一个公共点，则 取值范围是
_____________.
【答案】
【解析】由 ，消 可得 ，当 或 ，解得
或 ，故答案为：
8．（2022·上海市虹口高级中学 ）直线 与曲线 的交点个数是______.
【答案】2
【解析】当 时，将 代入 ，
整理得 ，解得 ， （舍去），
当 时，将 代入 ，
整理得 ，解得 ， （舍去），
综上，直线 与曲线 的交点个数是2个.
故答案为：2
9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则C的
离心率等于________．
【答案】
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ， ，
因为直线 与双曲线 有且只有一个公共点，
所以直线 与渐近线 平行，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故答案为：10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l： 与双曲线C： 相交于不同
的两点A，B，则k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】联立 消去y： ， ，
得到 ，又直线 不与渐近线 平行，
所以 .
故答案为： .
题组五 弦长与中点弦
1．（2022·四川·射洪中学）直线l交双曲线 于A，B两点，且 为AB的中点，则l的斜率
为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设点 ， ，因 为AB的中点，则有 ，
又点A，B在双曲线上，则 ，即 ，
则l的斜率 ，此时，直线l的方程： ，由 消去y并整理得： ， ，即直线l与双曲线交于
两点，所以l的斜率为2.故选：C
2．（2022·河南）已知双曲线 的离心率为 ，直线 与 交于 两点， 为线
段 的中点， 为坐标原点，则 与 的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， ，则 ，两式作差，并化简得，
，所以 ，
因为 为线段 的中点，即 所以 ，即 ，由 ，得 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 ，过F的直线
l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 ，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率 ．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为 ，则 ．设 ， ，则 ， ， ．
由 ， 得 ，
即 ，∴ ，易得 ， ， ，
∴双曲线C的离心率 ．
故选：B．
4．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线 的一条渐近线方
程为 ，过点 作直线 交该双曲线于 和 两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若 和 在双曲线的同一支上，则
D．若 和 分别在双曲线的两支上，则
【答案】BC
【解析】对于A选项，若双曲线 的焦点在 轴上，则 ，可得 ，
且有 ，解得 ，则双曲线 的方程为 ，其焦点在 轴上；
若双曲线 的焦点在 轴上，则双曲线 的标准方程为 ，
则 ，可得 ，且有 ，无解，A错；
对于B选项， ， ， ，所以，双曲线 的离心率为 ，B对；
对于CD选项，当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
则 ，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
，
.
若 和 在双曲线的同一支上，则 ，可得 ，
则 ，C对；
若 和 分别在双曲线的两支上且直线 不与 轴重合时，
，可得 ，则 ，
若直线 与 轴重合，则 、 分别为双曲线 的两个顶点，则 ，
故当 和 分别在双曲线的两支上时， ，D错.
故选：BC.
5．（2022·全国·专题练习）双曲线 ： 被斜率为 的直线截得的弦 的中点为则双曲线 的离心率为 ______.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
将 两点坐标代入双曲线方程得： ；
将上述两式相减可得：
即 ，也即
所以 ，即
故答案为：
6．（2022·四川内江 ）若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实数 的取
值范围为______.
【答案】
【解析】依题意，双曲线上两点 ， ， ， ，
若点A、B关于直线 对称，则
设直线 的方程是 ，代入双曲线方程 化简得：
，
则 ，且 ，解得 ，且
又 ，设 的中点是 ， ，所以 ， ．
因为 的中点 在直线 上，
所以 ，所以 ，又
所以 ，即 ，所以
所以 ，整理得 ，
所以 或 ，
实数 的取值范围为：
故答案为： .
