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9.3双曲线（精讲）
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F ，F 的距离差的绝对值等于非零常数(小于|FF|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双
1 2 1 2
曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝
1 2 1 2
2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
性质 图形
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】焦点 F(－c，0)，F(c，0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A(－a，0)，A(a，0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
实轴：线段AA，长：2a；虚轴：线段BB，
1 2 1 2
轴
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．
当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不
等于0时，用判别式Δ来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝ |x －x|＝·.
1 1 2 2 1 2
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定
量”
2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件
求解．
3.常用设法：①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝＝.
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫做焦点三角形，∠FPF ＝θ，△PFF 的面
0 0 1 2 1 2 1 2
积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝|PF ||PF|·sin θ＝b2tan ＝c|y|，当|y|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
1 2 0 0
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2) 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则 S ＝，其
1 2 △PF1F2
中θ为∠FPF.
1 2
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ，那么点 到它的左
焦点的距离是（ ）
A． B． C． 或 D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线 的左、右焦点为 ，则 ；则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由双曲线定义可得 ，即 ，
所以 或 ，由于 ，故点 到它的左焦点的距离是 或 ，故选：C
【例1-2】（2023·广东潮州）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线内一点，
点A在双曲线的右支上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以要求 的最小值，
只需求 的最小值.
如图,连接 交双曲线的右支于点 .当点A位于点 处时，
最小，最小值为 .
故 的最小值为 .
故选：C
【例1-3】（2023·江苏 ）设点P在双曲线 上， 为双曲线的两个焦点，且 ，
则 的周长等于 ， ．
【答案】 22
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】在双曲线 中，实半轴长 ，半焦距 ，则 ，
显然 ，又 ，解得 ，
所以 的周长等于 ，
.
故答案为：22；
【一隅三反】
1．（2023·江苏）（多选）设 分别是双曲线 的左、右焦点，若点P在双曲线上，且 ，
则 （ ）
A．5 B．3
C．7 D．6
【答案】BC
【解析】由双曲线的定义可知 ，即 ，所以 或 ．故选：BC．
2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知 是双曲线 的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意知， .
设双曲线的右焦点为 ，
由 是双曲线右支上的点，则 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 三点共线时，等号成立.
又 ，则 .
所以， 的最小值为 .
故答案为： .
3．（2023·全国· 课堂例题）P为双曲线 右支上一点，M，N分别是圆 和
上的点，则 的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点 ， 分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为 ， ，易知 ， ，
故 的最大值为 .
故答案为：5
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点 ，曲线上的动点 到 的距离之差为6，则曲
线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且 ,即 ，
所以 .
又因为焦点在 轴上，所以曲线方程为 .
故选:A.
【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线 经过点 ，则 的标准方
程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为 （ ），
代入点 ，得 ，
故所求双曲线的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其标准方程为 ．
故选：A．
【例2-3】（2023·江苏 ）下列选项中的曲线与 共焦点的双曲线是（ ）
A． B． 1
C． 1 D． 1
【答案】D
【解析】双曲线 的焦点在x轴上，半焦距 ，
对于A，方程 ，即 ，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为 ，A不是；
对于B，C，方程 、 都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；
对于D，方程 是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为 ，D是.
故选：D
【一隅三反】
（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1) ，经过点 ；
(2)与双曲线 1有相同的焦点，且经过点 ；
(3)过点P ，Q 且焦点在坐标轴上．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(4)两个焦点的坐标分别是 ,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 ；
(5)焦点在 轴上，经过点 和点 ．
(6)虚轴长为12，离心率为 ；
(7)焦点在x轴上，离心率为 ，且过点 ；
(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝± x.
(9)以直线 为渐近线，过点 ；
(10)与椭圆 有公共焦点，离心率为 .
【答案】(1) ．(2) (3) (4) (5) (6) 或
(7) (8) 或 (9) (10)
【解析】（1）由 ，
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 ，
把点A的坐标代入，得 ，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为 ，
把点A的坐标代入，得 ．
故所求双曲线的标准方程为 ．
（2）法一：∵双曲线 1的焦点在 轴上，∴设所求双曲线的标准方程为 ，
∴ ，即 ． ①
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵双曲线经过点 ，∴ ．②
由①②得 ，故双曲线的标准方程为 ．
法二：设所求双曲线的方程为 ．
∵双曲线过点 ，∴ ，
解得 或 （舍去）．
故双曲线的标准方程为 ．
（3）设双曲线的方程为 ．
∵点 在双曲线上，
∴ ，解得 ，
故双曲线的标准方程为 ．
（4）由已知得， 即 ,
∵ ，∴ .∵焦点在 轴上，∴所求的双曲线的标准方程是 ;
（5）设双曲线的方程为 ，则 ,
∴双曲线方程为 .
（6）设双曲线的标准方程为 或 .
由题意知 ， 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
∴双曲线的标准方程为 或 ；
（7） ， ， .
又∵焦点在 轴上，
∴设双曲线的标准方程为 ， .
把点 代入方程，解得 .
∴双曲线的标准方程为 .
（8）设以 为渐近线的双曲线方程为 （ ），
当 时， ， ，得 ；
当 时， ， ，得 ；
∴双曲线的标准方程为 或 .
（9）方法一：由题意可设所求双曲线方程为 ，
由题意，得 解得 ，
故所求双曲线的标准方程为 ；
方法二：由题意可设所求双曲线方程为 ，
将点 的坐标代入方程解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故所求双曲线的标准方程为 ；
（10）方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为 ， ，
即 且焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故所求双曲线的标准方程为 ；
方法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故所求双曲线的标准方程为 .
考点三 离心率与渐近线
【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，则 的渐近线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得： ，解得： ，
即双曲线 的方程为 ，所以 的渐近线方程是 .故选：A.
【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】是双曲线 上的一点，且 ， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的半焦距为 .
由题意，点 在双曲线 的右支上， ， ，
由余弦定理得 ，
解得 ，即 ， ，
根据双曲线定义得 ，
解得 ，
故双曲线 的离心率 .
故选：D
【例3-3】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C： （ ， ），斜率为
的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线C的左焦点 ，右焦点为 ，P为第二象限上的点，
连接PF， ，QF， ，
根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形 为平行四边形.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以 ，即四边形 为矩形，
由直线l的斜率为 ，得 ，
又 ，则 是等边三角形，所以 .
在 中， ，则 ，故 ，
又由双曲线定义知 ，所以 ，
则 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·广西桂林）双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】化已知双曲线的方程为标准方程 ，
可知焦点在y轴，且a＝3，b＝2，故渐近线方程为 .故选：A．
2．（2023春·新疆巴音郭楞）设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】相交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 轴，则点 、 关于 轴对称，则 为线段 的中点，
因为 为等边三角形，则 ，所以， ，
所以， ，则 ，
所以， ，则 ，
因此，该双曲线 的离心率为 .
故选：D.
3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知 是双曲线C： 的左焦点， ，
直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线为 ，
又 ， ，所以直线 的斜率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 与双曲线 有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线 与双曲线的一条渐进线 平行，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
故选：B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2023湖南）已知双曲线 ，直线 ，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1) 或 或 ；
(2) 或
(3) 或
【解析】（1）联立 ，
消 整理得 ，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以 ，整理得
解得： 或 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）当 即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为 ，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当 时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则 ，解得 ；
综上， 或 .
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以 ，
解得： 或 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与双曲线 有两个不同的交点，则 的取值
可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 与双曲线 有两个不同的交点，又直线 过原点
则 则 的取值可以是 .故选：B．
2．（2023·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线 只有一个公共点的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线 的渐近线方程为 ，点 是双曲线的顶点.
①若直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时，直线 与双曲线 只有一个公共点，合乎题意；
②若直线 的斜率存在，则当直线平行于渐近线 时，直线 与双曲线只有一个公共点.
若直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，此时直线 为双曲线 的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点 与双曲线只有一个公共点的直线 共有 条.
故选：A.
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直线
与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 可得 ， ， ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为直线 与 只有一个交点，所以直线 与双曲线的渐近线平行，
所以 ，解得 .
故选：B.
4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点 且与双曲线 有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由双曲线 得其渐近线方程为 ．
①过点 且分别与渐近线平行的两条直线 与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点 且与双曲线相切的直线为 ，联立 ，
化为 得到 ，解得 ．
则切线 分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点 且与双曲线 仅有一个公共点的直线共有4条．
故选: .
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线 的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，
B两点，则弦长 ．
【答案】8
【解析】由双曲线 ，得 ， ，
焦点为 ，倾斜角 ，
法一：直线斜率 ，直线方程为 ，
联立 消 得， ，
由韦达定理知 ，
代入弦长公式 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得 .
法二： .
故答案为：8.
【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 ，与双曲线交于 两点，若
，则这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】由题意得双曲线左焦点 ，当直线垂直于横轴时， 不符合题意，双曲线渐近线方
程为 ；
故可设 ，
与双曲线联立可得 ，
，
由弦长公式知 ，
则 或 .
故存在四条直线满足条件.
故选：D
【例5-3】（2023·福建）已知双曲线 过 点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的
中点，则直线AB的斜率为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】设 ， ，则有 与 ，两式相减得： ，即
，
又因为 为AB的中点，所以 ，得到 ，
即直线AB的斜率为6.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段 的中点，则直
线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
两式相减得直线的斜率为 ，
又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
经检验此时 与双曲线有两个交点.
故选：A
2．（2023春·河南周口 ）过点 作斜率为1的直线，交双曲线 于A，B两点，
点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，
则有 ，两式做差后整理得 ，
由已知 ，
，又 ，
，
得
故选：B
3．（2023河北）经过点 作直线 交双曲线 于 两点，且 为 中点．
(1)求直线 的方程．
(2)求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设 ，
代入双曲线方程得 ，
两式相减得 ，即 ，
因为 为 的中点，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以直线的斜率为
所以 的方程为 ，即 ，
经验证 符合题意，
所以直线 的方程为 ；
（2）将 代入 中得 ，
故 ，
所以
.
考点六 直线与双曲线的综合运用
【例6】（2023秋·安徽）已知双曲线C： （ ， ）的离心率为2， 在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且 ，求证：直线l过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得： ，则 ，
又因为 在C上，则 ，
解得 ， ，
所以双曲线C的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ， ， ，
联立方程 ，消去y得 ，
由已知 ，则 ，且 ，
可得 ， ，
又因为 ，
由 可得： ，
整理得： ，
则 ，
可得 ，则 ，
由已知l不经过点 ，故 ，
所以 ，即 ，
可得l： ，过定点 ；
若直线l的斜率不存在，设 ， ，
可得 ，
由 可得： ，
又因为 ，解得 ，满足条件，
综上所述：故直线l过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线 的一条渐近
线方程为 ，虚轴长为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为点 ，求证：直线 恒过
定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得， ，解得 ， .
双曲线 的方程为： .
（2）将 代入 ，得， .
因 与 有两个交点，所以 ， ，且 .
设 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
从而 .
根据对称性可知，如果直线 过定点，则所过定点必在 轴上，
不妨设为 ，则 ， .
过定点 ，即 对 恒成立.
即 ，
即 .
因为 ， ，
所以 .
所以 .
代入上式得， ， .
上式对 恒成立，当且仅当 ，
即直线 恒过定点 .
2．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线 的渐近线方程为 ，
且经过点 ．
(1)求双曲线 的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)点 在直线 上， 、 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 、 分别与双曲线 交于 、
两点．求证：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意 ，可得 ，∴双曲线 .
（2）法一：设直线 ，代入 ，得 ，
，则有 ，
直线 ，直线 ，
由直线 、 的交点 在 上得 ，
即： ，
，
∴ 恒成立，
若 ，
将 代入得 ，
∴ 过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 过定点 .
法二：设 ，则设直线 ，
由 ，得 ，记 ，
则 和 是该方程的两个根，则 ，
由 ，得 ，
记 ，则2和 是该方程的两个根，
则 ，
则直线 的斜率：
∴ ，
令 ， ，
故直线 过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
