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9.4抛物线（精练）
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远
镜“中国天眼”—— 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转
所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C
的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为
，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河北廊坊 ）已知抛物线 ，过点 的直线l交C于A，B两点，则直线 ，
（O为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A． B．8 C．4 D．
3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若直线
与 交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，
若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中
点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测） 为 ： 的焦点，点 在曲线 上，且
在第一象限，若 ，且直线 斜率为 ，则 的面积 （ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线 的焦点为 ，准线为
为 上一动点， ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 的值为4
B．当 时，抛物线 在点 处的切线方程为
C． 的最小值为3
D． 的最大值为
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，若点 不在抛物
线上，且满足 的最小值为 ，则 的值可以为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F
（2，0）作斜率为 的弦AB，其中点A在第一象限，则（ ）A． B．
C． D．
10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线 焦点为 ，准线上有点
是抛物线上一点， 为等边三角形，则 点坐标为 ．
11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C： 的焦点为F，点M在C上，
，若以MF为直径的圆过点 ，则C的方程为 .
12．（2023春·广东广州 ）已知点 为拋物线 上的动点，点 为圆 上的动点，则
点 到 轴的距离与点 到点 的距离之和最小值为 .
13．（2023·福建）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶点），过 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知 是抛物线 上一点，则
的最小值为 .
15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则A到焦点
F的距离为 ．
16．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则点A到抛
物线C的准线的距离为 ．
17．（2022秋·陕西渭南 ）设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段
AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 ．
18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 与 交于、 两点，且 ， 为坐标原点，则 的面积为 .
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB的斜率
为 .
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾
斜角为 ，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C： 焦点F的直线l交抛物线C于A，B两
点，且 ，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为 .
22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于
A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
23．（2023秋· 课时练习）已知抛物线 的焦点 为 ，则 ，若点 在抛物线上，点
，则 的最小值为 .
24．（2023·江苏 ）设点P是抛物线 上的一个动点.
(1)求点 到 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值；
(2)若 ，求 的最小值.
25．（2023·江苏 ）若位于 轴右侧的动点 到 的距离比它到 轴的距离大 ，点 ，求
的最小值，并求出点 的坐标.26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线 与抛物线 有两个公共点？仅有一个公共点？
无公共点？
27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知圆心
为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，
， 的最小值为5．若直线 与抛物线 交于点N，则 外接圆的面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线 的焦
点F为 ，过点 的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）A． 的最小值为3
B．C的准线方程为
C．
D．当 时，点P到直线l的距离的最大值为
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线 的顶点，直线l交抛
物线于M，N两点，过点M，N分别向准线 作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若 ，则直线l恒过点
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交抛物线
于 、 两点， ，直线 左边的抛物线上存在一点 ，则（ ）
A． B．
C．若点 ，则 D．当 的面积最大时，面积为
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线 的准线方程为 ，
圆 ，直线 与 交于 两点，与 交于 两点 在第一象限）， 为坐
标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．C．若 ，则 D． 为定值
6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为 ，O为坐
标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段 与x轴交于点M，连接
并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M为C的焦点，则直线 平行于x轴
B．若点M为C的焦点，则线段 的长度的最小值为4
C．若 ，则点M为C的焦点
D．若 与 的面积之积为定值，则点M为C的焦点
7．（2023秋·河北唐山 ）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点，连接 并
延长，交抛物线 于点 ，若 中点的纵坐标为 ，则当 最大时， ．
8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则 的
最小值为 .
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点 为抛物线 的焦点，点 ，
，且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点 且交抛物线 于 ， 两点，若直线 ， 交抛物线于 ， 两点（ 、
与 、 不重合），求证：直线 过定点.10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C： 焦点为 ，直线l与抛物
线C交于 ， 两点，且 ， （O为坐标原点）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l过定点．
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线 和圆 ，倾斜角为的直线 过 焦点，且 与 相切.
(1)求抛物线 的方程；
(2)动点 在 的准线上，动点 在 上，若 在点 处的切线 交 轴于点 ，设 ，证明
点 在定直线上，并求该定直线的方程.
12．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 的焦点为 ，且经过 的直
线被圆 截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准
线为 ，过点 且倾斜角为 的直线交抛物线于点 （M在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交
轴于点 ，
(1)求 的值.
(2)若斜率不为0的直线 与抛物线 相切，切点为 ，平行于 的直线交抛物线 于 两点，且
，点 到直线 与到直线 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
