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期末解答题压轴题—函数综合题（考题猜想，7 种必考题型）
题型一：一次函数与二次函数、相似三角形、圆的综合题（共4题）
1．（2023秋•中山区期末）【发现问题】某课外活动课上，小聪研制了一种小球滚动模型：在一条笔直的
滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 处开始减速，此时白球在黑球前面 处．小聪测量黑球
减速后的运动速度 （单位： 、运动距离 （单位： 随运动时间 （单位： 变化的数据，整
理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 8 7.5 7 6.5 6
0 7.75 15 21.75 28
运动距离
小聪探究发现，黑球的运动速度 与运动时间 、运动距离 与运动时间 之间的数量关系可以用我们学过的函数来描述．
【提出问题】黑球的运动速度 与运动时间 、运动距离 与运动时间 有怎样的函数关系？
【分析问题】小聪利用平面直角坐标系描出表格中各对数值所对应的点，猜测出这两种数量关系对应的函
数，并通过验证得出猜想是正确的．
【解决问题】
（1）直接写出 关于 的函数解析式和 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为 时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【解答】解：（1）由表格中数据可知运动速度 与运动时间 是一次函数，
设 关于 的函数解析式 ，
把 ， 代入解析式得： ，
解得 ，
，
当 时 ， ；当 时， ；当 时， ，
关于 的函数解析式为 ；
由表格中数据可猜想运动距离 与运动时间 是二次函数，
设运动距离 与运动时间 之间的函数解析式为 ，
把 ， ， 代入解析式得：
，
解得 ，，
当 时， ；
当 时， ，
运动距离 与运动时间 之间的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
当 时， ，
黑球此时的运动速度为 ；
（3）设黑白两球的距离为 ，
根据题意可知， ，
当 时， ，
整理得： ，
△ ，
方程没有实数根，
黑球不会碰到白球．
2．如图，在平面直角坐标系 中，直线 分别交 轴、 轴于点 ， ， ，过点 的直
线 与 轴交于点 ，点 是线段 上一点（不与 ， 重合）．
（1）求直线 的解析式及点 的坐标；
（2）点 是平面内一点，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，直接写出点 的坐标；
（3）作 于 ， 于 ，连接 ．
①若△ 与△ 相似，求点 的坐标；②取 的中点 ，直接写出△ 周长的最小值．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
将 点代入 ，可得 ，
直线解析式为 ，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）设 ， ，
当 为菱形的对角线时， ，，
解得 ，
；
当 为菱形的对角线时， ，
，
解得 ，
；
当 为菱形的对角线时， ， 关于 轴对称， ；
综上所述： 点坐标为 或 或 ；
（3）① ， ，
，
，
，
，
， ，四边形 是矩形，
，
设 ， ，
， ，
在 △ 中， ，
在 △ 中， ，
当 时， ，
，
解得 ，
；
当 时， ，
，
解得 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 ；
②取 、 的中点 、 ，连接 ，
作 点关于 的对称点 ，连接 、 ， ，由对称性可知， ，
，此时△ 的周长最小，
， ，
， ，
，
，
△ 的周长最小值为 ．
3．（2023秋•锦江区校级期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， ，点 在直线
上，过点 作 的垂线，过原点 作直线 的垂线，两垂线相交于点 ．
（1）如图，点 ， 分别在第三、二象限内， 与 相交于点 ．
①若 ，求证： ．
②若 ，求四边形 的面积．
（2）是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求 的长；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1）①证明： ， ，
，
，，
，
，
，
，
；
②过点 ， 作 于 ，过点 作 轴于 ，如图1，
点 在直线 上，设 ，
， ，
中， ，
，
，
，即 ，
设 ，则 ，
中， ，
， ，
，
，解得： 或 （舍去），
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
；
（2）存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，
理由如下：Ⅰ．过点 作 于 ，当 在线段 或 延长线上时，如图2，图3，
由（1）②可知： ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
， ，
，，即 ，
，
中， ，
，
以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
则 或 ，
或 ，
解得 ， ，
或 ；
Ⅱ．过点 作 于 ，当 在线段 的延长线上时，如图4，
由（1）②可知： ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
， ，
，
，即 ，，
中， ，
，
以 、 、 为顶点的三角形与 相似，需满足 ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
；
综上所述，以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
则 的长度为：2或 或 ．
4．（2023秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系 中，已知 ， ．
对于点 给出如下定义：若 ，则称 为线段 的“等直点”．
（1）当 时，
①在点 ， ， ， 中，线段 的“等直点”是 ；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“等直点”，直接写出点 的横坐标．
（2）当直线 上存在线段 的两个“等直点”时，直接写出 的取值范围．
【解答】解：（1）①当 时， ， ，
根据“等直点”得的定义，线段 的“等直点”在以点 为圆心， 为半径的圆中的优弧 上，
或在以点 为圆心， 为半径的圆中的优弧 上，如图，则即“等直点”到圆心 的距离均为 ，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
点 ， 是线段 的“等直点”，
故答案为：点 ， ；
②由点 在直线 上，设 ，
点 为线段 的“等直点”，
，
，
解得 ， （不合题意舍去），
利用对称性可求第三象限也存在符合题意的点 ，它们关于原点对称，此时的点 的横坐标为 ．
点 的横坐标为 或 ．
（2） ， ，
， 的中点的横坐标为 ，
由（1）知：线段 的“等直点”在以 为弦的优弧上，即圆心在直线 或 上， 为半径的
圆的优弧 上．
①当 时，设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，如图，
则 ， ，
，
．
为一个符合条件的圆，设直线 与 相切于点 ，交直线 于点 ，直线 与 轴交于
点 ，连接 ，则 ，过点 作 于点 ，则 为 的中点，
，
， ， ，
四边形 为矩形，
．由题意： ， ， ，
，
，
．
，
，
，
，
．
当直线 上存在线段 的两个“等直点”时， ，
由于当 时， 经过点 ，符合条件的点只有一个，
．
②当 时，设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，如图，
则 ， ，
，
．
为一个符合条件的圆，设直线 与 相切于点 ，直线 交直线 于点 ，直线
与 轴交于点 ，连接 ，则 ，过点 作 于点 ，则 为 的中点，，
， ， ，
四边形 为矩形，
．
由题意： ， ， ，
，
，
．
，
，
，
，
．
当直线 上存在线段 的两个“等直点”时， ，
由于当 时， 经过点 ，符合条件的点只有一个，
．
综上，当直线 上存在线段 的两个“等直点”时， 的取值范围为 且 ．
题型二：反比例函数与一次函数、正方形、三角形综合题（共3题）
5．（2023秋•龙岗区校级期末）小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表 描点
连线，画出了如图所示的图象．
0 1 2 3 4
1 2 4 1 0
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①完成描点，把图象补充完整；
②表格中： ，③写出函数的一条性质： ；
④若函数图象上的两点 ， ， ， 满足 ，则 ． （填“对或错”
（2）【延伸探究】如图2，将过 ， 两点的直线向下平移 个单位长度后，得到直线
与函数 的图象交于点 ，连接 ， ．
①求当 时，直线 的解析式和△ 的面积；
②直接用含 的代数式表示△ 的面积．
【解答】解：（1）①根据表格描点连线，如图：②把 ，代入函数解析得 ，
所以 ；
把 代入函数解析式得 ，
所以 ；
故答案为： ， ；
③由图象知：函数有最大值为4，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）；
④假设 ，
则 ，
，
，
，
不一定成立，故答案为：错；
（2）①设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，直线 的解析式为 ，
设直线 与 轴交于 ，
则△ 的面积 △ 的面积，
，
△ 的面积为 ；
②设直线 与 轴交于 ，
，
△ 的面积 △ 的面积，由题意知， ，
．
△ 的面积为 ．
6．（2023秋•海门区期末）如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 ， 分别在 轴，
轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 ，将正方形 绕点 逆时针旋转 得正方形
，点 ， ， ， ， 的对应点分别是 ， ， ， ， ，函数 的图象
记为图象 ．
（1）当 ， 时，点 恰好在图象 上，求 的值；
（2）当点 ， 同时在图象 上时，点 横坐标为4，求 的值；
（3）点 为 轴上一动点，当 时，图象 过点 ，且 的值最小时， ，求 的
值．【解答】解：（1） 当 ， 时，正方形 绕点 逆时针旋转 得正方形
，
， ，
过点 作 于 ，如图，
， ，
， ，
将 ， 代入 ，得 ，
；
（2）如图，过点 作 于 ，过点 作 轴于 ，交 于 ，作 轴于 ，过点作 轴于 ，
设 ，则 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
由旋转得 ， ， ， 是正方形 的中心，
， ，
，
，
，
△ △ ，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
点 横坐标为4，
，
，
，
，， ，
，
点 ， 同时在图象 上，
，
，
，
，
解得： 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意；
的值为 ；
（3）设正方形 的边长为 ，则 ， ， ， ，
当 时， ，
设 ， ，
，
，
，
， ，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时， 的值最小，如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，作 轴交 于 ，
则四边形 是矩形， ， ， ，
由（2）知：△ △ ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
△ ，
，即 ，
解得： ，
正方形 的对角线 ， 相交于点 ，
，
把 代入 ，得 ，．
7．（2023秋•锦江区校级期末）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线
与 轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若 ，则直线
与直线 称为“等腰三角线”；反之，若直线 与直线 为“等腰三角线”，则 ．
（1）如图1，若直线 与直线 为“等腰三角线”，且点 、 的坐标分别为 、 ，求直线
的解析式；
（2）如图2，直线 与双曲线 交于点 、 ，点 是双曲线 上的一个动点，点 、 的
横坐标分别为 、 ，直线 、 分别与 轴于点 、 ；
①求证：直线 与直线 为“等腰三角线”；
②过点 作 轴的垂线 ，在直线 上存在一点 ；连接 ，当 时，求出线段 的
值（用含 的代数式表示）．
【解答】（1）解：如图1，过点 作 轴的垂线 ，直线 与直线 为“等腰三角线”，
，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得：
，
解得： ，
的解析式为 ；
（2）①证明：如图2，直线 与双曲线 交于点 、 ，联立得：
，
解得： 或 ，
、 ；
的横坐标 ，且在双曲线 的图象上，
的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得：
，
解得： ，的解析式为 ，
当 时， ，即 ；
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得：
，
解得： ，
的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
过点 作 轴的垂线 ，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
直线 与直线 为“等腰三角线”；
②解：设 交 于点 ，如图3，直线 与直线 为“等腰三角线”，
平分 ， 垂直平分 ，
轴，
轴，
，
△ △ ，
，
，
，
，
，即 ，
，
在 △ 中，由勾股定理得：
，
解得： ，
．
题型三：二次函数的应用（共2题）
8．（2023秋•大连期末）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒
乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为 的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获
胜．
【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】：小强以斜坡底端 为坐标原点，地面水平线为 轴，取单位长度为 ，建立如图2所示的
平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点 的坐标为 ，第一次弹起的运行
路线最高点坐标为 ，第二次弹起的最大高度为 ．小强通过这些数据，经过计算，确定了
木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】：
（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
（2）求乒乓球第一次落地点 距斜坡底端 的距离；
（3）小强将木板立在距斜坡底端 多远的范围内，才能确保自己获胜？
【解答】解：（1）根据题意知，乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为 ，过点 ，
设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为 ，
代入 得： ，
解得 ，
乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为 ；
（2）令 ，则 ，解得 （舍 ，
，
乒乓球第一次落地点 距斜坡底端 的距离为 ；
（3） 乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为 ，
设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为 ，
把 代入解析式得： ，
解得 （舍 ，
乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线为 ；
当 时，则 ，
解得 ， （舍 ；
当 时，则 ，
解得 ， （舍 ．
当 时，小强确保获胜．
9．（2023秋•甘井子区期末）【发现问题】
近年来，我国无人机技术发展迅猛，新型号无人机不断面世．某科研单位为保障某种型号无人机能安全投
产，现针对该种型号无人机的降落情况进行测试．一架该型号无人机在跑道端点处着陆后，相关滑行数据
如下表：
0 1 2 3 4
滑行时间
60 56 52 48 44
滑行速度
0 58 112 162 208
滑行距离
【提出问题】
这架该型号无人机在跑道端点处着陆后，滑行的速度 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足
的函数关系和滑行的距离 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足的函数关系是不同的．【分析问题】
科研人员在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，如图 1，图2所示，据此猜想了函
数关系，并进行了验证．
【解决问题】
（1）请直接写出这两个函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）若该无人机在跑道端点处着陆后，当滑行 时，求此时无人机的滑行速度；
（3）求该无人机在着陆的过程中，以不大于 的速度滑行直至停止，一共滑行了多少米？
【解答】解：（1）由图象可知，滑行的速度 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足的函数
关系是一次函数，
设 ，
把 ， 代入解析式得：
，
解得 ，
，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．滑行的速度 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足的函数关系为 ；
由图象可知，滑行的距离 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足的函数关系二次函数，
设 ，
把 ， ， 代入解析式得：
，
解得 ，
，
当 时， ；
当 时， ；
滑行的距离 （单位： 与滑行的时间 （单位： 之间满足的函数关系为 ；
（2）当 时， ，
解得 ， ，
，
当 时， 最大，即飞机滑行15秒停止，
所以 不合题意，舍去，
当 时， ，
无人机的滑行速度为20米 秒；
（3）当 时， ， ，即滑行 后直至停止的速度都不大于20，
由 知，当 时，飞机最远滑行了450米，当 时，飞机最远滑行了400米，
当 时，飞机一共滑行了50米．
题型四：二次函数综合题（共31题）
10．（2023秋•海珠区期末）已知二次函数 ，顶点为 ，且二次函数的图象恒
过两定点 、 （点 在点 的左侧）．
（1）当 时，求该二次函数的顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，二次函数 的图象上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求出点 的
横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将点 先沿水平方向平移 个单位，再向下移动 个单位得到 ，若二次函数
经过点 ，在二次函数 的图象上存在点 ，使得 的最小值为4，求 的取
值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，
故二次函数顶点坐标为： ；
（2）存在一点 ，使得 ，理由如下：
由 整理得 ，
二次函数的图象恒过两定点 、 ，
当 或5时，函数的值为3，
点 、 坐标分别为 ， ，
设点 坐标为 ，
则当 时， ，，整理得 ，
，
，
即 ，
或 ，
解得 （舍去）， （舍去）， ， ，
故点 横坐标为 或 ；
（3）由题可知，点 坐标为 ，
由点 先沿水平方向平移 个单位，再向下移动 个单位，
故点 横坐标 ，
纵坐标 ，
，
二次函数 ，
由 为抛物线上动点，则可知，当 ， ， 三点共线时， 有最小值，
由 最小值为4， ， 坐标分别为 ， ，
当点 在线段 上时 的最小值为4，
当 点 时，
，解得 （舍去）或 ，
当 点 时，
，
解得 （舍去）或 ，
故 的取值范围为： ．
11．（2023秋•天河区期末）已知抛物线 与 轴交于坐标原点 和点 ．
（1）已知该抛物线的顶点 的纵坐标与点 的横坐标相同，设过点 的直线 与抛物线的另一个
交点为 ．求点 和点 的坐标；
（2）将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，若该抛物线与线段 只有一个交点，请直接写出
的取值范围；
（3）若直线 与该抛物线交于 ， 两点（点 在点 左侧），连接 ， ．设直线
为 ，直线 为 ；令 ，求 与 的函数关系式．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于坐标原点 ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ，
则点 ，
的纵坐标与点 的横坐标相同，则点 ，
将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
则点 ，则点 ，则抛物线的表达式为： ①，
将点 的坐标代入 得： ，
解得： ，
则一次函数的表达式为： ②，
联立①②得： ，
解得： （舍去）或 ，
即点 ；
（2）当 时，
如图，过点 作 轴交抛物线于点 ，
由题意得， ，
而直线 和 轴的夹角为 ，则点 ， ，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
当抛物线和 相切于点 也符合题意
此时 ，
即 或 ；当 时，
如图，
由题意得， ，
而直线 和 轴的夹角为 ，则点 ， ，
过点 作 轴交抛物线于点 ，
该抛物线与线段 只有一个交点，
则点 在点 之上，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
而 ，
即 ；
综上， 或 或 ；
（3）设点 、 的坐标分别为： 、 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
即 ，
同理可得： ，
则 ，联立直线 和抛物线的表达式并整理得：
，
则 ，
则 ．
12．（2023秋•番禺区期末）蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以
吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就
形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线的一部分 构成（以
下简记为“抛物线 ” ，其中 ， ，现取 中点 ，过点 作线段 的垂直平分
线 交抛物线 于点 ， ，若以 点为原点， 所在直线为 轴， 为 轴建立如图①所
示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，其
中 ， 在抛物线 上，若 ，求两个正方形装置的间距 的长；
（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过 点恰好照射到 点，大棚截面的阴影为 ，此刻，过点
的太阳光线所在的直线与抛物线 交于点 ，求线段 的长．
【解答】解：（1）由题意可知四边形 为矩形， 为 的中垂线，
，则 ，
， ，
， ， ，
设抛物线的解析式为： ，，解得 ，
抛物线的解析式为： ；
（2） 四边形 ，四边形 均为正方形， ， ，
延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，则四边形 ，四边形 均为矩形，
， ，
，
，当 时， ，解得 ，
， ， ， ，
，
；
（3） ， 垂直平分 ，
，
， ，
，
直线 的解析式为： ，
太阳光为平行光，设过点 平行于 的光线的解析式为： ，
由题意可得， 与抛物线相切，
令 ，整理得， ，
则△ ，
解得 ；
， ，
解得 ，
，
当 时， ，即 ，
．
13．（2023秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 为直线 上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 作 交抛物线于点 ，点 为直线 上一动点，连接 ， ， ， ，求四
边形 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位， 为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在
点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标，
若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得： ；
（2）过点 作 轴的平行线交 于点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
，则 ，
则四边形 面积
，
，
故四边形 面积有最大值为32，此时点 ；
（3）存在，理由：
平移后的抛物线的对称轴为直线 ，设点 ，
设点 ，
当 是对角线时，
由中点坐标公式和 得：
，解得： ，
则点 ；
当 或 为对角线时，
由中点坐标公式和 或 得：
或 ，
解得： 或 ，
即点 或 ；
综上，点 的坐标为： （舍去）或 或 ．14．（2023秋•历城区期末）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ， 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2） 为线段 上的一个动点，过点 作 轴于点 ， 点坐标为 ．
①在 上是否存在点 ，使 为直角三角形？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明
理由；
②连接 ，若 ，求 的值．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，代入得：
，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）①在 上存在点 ，使 为直角三角形，理由如下：
，
，不可能为直角；
当 时，则 ，
轴，，
解得： ，
， ；
当 时，过点 作 轴于 ，如图1，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，，
解得： ， ，
，
，
，
， ；
综上所述，当 为直角三角形时，点 的坐标为 ， 或 ， ；
②如图2，连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，交 于点 ．
在 中， ， ，
，
，
，
由（2）知 ，，
由题意得 ， ，
，
由题意知，四边形 、四边形 都是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
15．（2023秋•黄埔区期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 、 两点的
抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
（1）求 的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求
出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在 轴上方的部分沿 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象
轴下方的部分组成一个“ ”形状的新图象，若直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 的值．
【解答】解：（1）直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 的坐标分别代入抛物线表达式得： ，解得： ，
则抛物线的表达式为： ，则点 坐标为 ，顶点 的坐标为 ，
；
（2）①当 时， 点纵坐标与 中点的纵坐标相同，
故此时 点坐标为 ；
②当 时，
可得：点 的坐标为 或 ；
③当 时，
可得：过该中点与 垂直的直线方程为： ，
当 时， ，即点 的坐标为 ；
故：点 的坐标为 或 或 或 ；
（3）图象翻折后的点 对应点 的坐标为 ，①在如图所示的位置时，直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时直线 和抛物线的交点有3个， ；
②当直线 与 轴上方的部分沿 轴向下翻折后的图象相切时，
此时，直线 与该“ ”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即： ，△ ，解得： ．
即： 或 ．
16．（2023秋•长沙期末）我们不妨约定，如果点 满足 ，那么称这个点 为“郡系
点”．如果一个函数的图象经过一个“郡系点”，那么称这个函数为“郡系函数”．
（1）对下面的结论进行判断，请在正确结论的后面的括号中打“ ”，错误结论后面的括号中打“ ”．
①点 为“郡系点” ；
②已知 为常数，且 ，它的图象经过的“郡系点”的坐标为 ，则 ，
．
（2）已知点 和 ，那么线段 上是否存在“郡系点”？如果存在，请表示出来；如果不
存在，请说明理由．
（3）已知关于 的二次函数 ， 均为正整数）为“郡系函数”，其图象满足下面两个条件：（Ⅰ）图象经过四个象限；（Ⅱ） ， 是图象上的两个“郡系点”，且 ，
试求该二次函数的解析式和它的“郡系点” ， 的坐标．
【解答】解：（1） ，
，
郡系点”在直线 上，
① ，
点 在直线 上，
点 为“郡系点”，
故答案为： ；
② “郡系点”的坐标为 ，
，
点为 ，
，
故答案为： ， ；
（2）线段 上存在“郡系点”，理由如下：
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，当 时， ，
， ，
线段 上存在“郡系点”为 ， ；
（3） 是正整数，
，
当 时， ，即抛物线与 轴的交点在 轴上方或经过原点，
此时二次函数的图象不能经过四个象限，
，
，
函数的解析式为 ，
当 时， ， ，
，
，
解得 （舍 或 ，
二次函数的解析式为 ，
当 时，解得 ，
， 或 ， ．
17．（2023秋•长沙期末）已知抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 ， ，点 在线段 上（与点 ， 不重合），点 是 的中点，连接 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，当 面积是 面积的3倍时，求点 的坐标；
（3）如图2，点 是抛物线上对称轴右侧的点， 是 轴正半轴上的动点，若线段 上存在点
（与点 ， 不重合），使得 ，求 的取值范围．【解答】解：（1） 抛物线 过点 和点 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线 与 轴交于点 ，
当 时， ，
，则 ，
，
轴， ，
点 是 的中点，
，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ， ，
如图1，过点 作 交 的延长线于 ，
则 ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，，
即 ，
，
，
即 ，
，
，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
，
当 面积是 面积的3倍时，
即 ，
，
在 中， ，
，
，
解得： 或 （舍去），
， ；
（3） ，
又 ，
，
，，
设 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图2，
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，联立 ，
解得： 或 ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
，
整理得： ，
点 在线段 上（与点 ， 不重合），
，
，
当 时， 取得的最大值为 ，
．
18．（2023秋•长沙期末）定义：平面直角坐标系 中，若点 ，点 ，其中 为常数，
且 ，则称点 是点 的“ 级变换点”．例如，点 是点 的“ 级变换点”．
（1）函数 的图象上是否存在点 的“ 级变换点”？若存在，求出 的值；若不存在，说明理
由；（2）点 为直线 上的一点，它的“ 级变换点” 在直线 上，在 ， 上分别取点 ，
， ， ．若 ，求证： ；
（3）若关于 的二次函数 的图象上恰有两个点 ， ， ， ，
这两个点的“1级变换点”都在直线 上，并且同时满足：① ，② ，求
的取值范围．
【解答】解：（1）存在．
理由： 的“ 级变换点”为： ，
代入 得 ，
．
（2） 点 为直线 上的一点，
设 ， ，
它的“ 级变换点”为 ，
，
直线 ，
， 上分别取点 ， ， ， ．
， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
即 ；
（3） ， ，
的“1级变换点”为 ， ，
代入直线 上得： ，
即 ，
在直线 上，
、 都在直线 上．
由 和 得：
，
， ，．
，
，
，
，
当 时，
的值最小，
最小值是 ．
当 时，
的值最大，
最大值是 ．
．
19．（2023 秋•江岸区期末）如图 1 所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
和 两点，与 轴交于点 ．
（1）求 点的坐标；
（2）连接 ， 为抛物线上一点，当 时，求点 的坐标；
（3）如图2所示，点 为第二象限内一动点，经过 的两条直线 与 分别与抛物线 均有唯一的公共点 和 （点 在点 的左侧），直线 与 轴交于点 ， 为线段 的中点，连接 、
，当 时，求 的值．
【解答】解：（1）当 时， ，
解得 ，
函数的解析式为 ，
当 时， ，
；
（2）设 与 轴的交点为 ，
，
，
，
，
在 中， ，
解得 ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ，
当 时，解得 或 ，
， ；
（3）设直线 的解析式为 ，
当 时，△ ，
，
直线 的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
，
当 时， ，
， ，
，
， ，
是 的中点，
， ，
轴，
直线 的解析式为 ，
，过点 作 交于 点，
， ，
，
．
20．（2023秋•红桥区期末）抛物线 ， 为常数， 与 轴相交于点 和点
，与 轴相交于点 ，点 为线段 上的一个动点．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式；
（Ⅱ）当 的周长最小时，求点 的坐标；
（Ⅲ）过点 作 ，与抛物线在第一象限的部分相交于点 ，连接 ， ，记 与 的
面积和为 ，当 取得最大值时，求点 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）把 和 代入 得：
，
解得 ，
抛物线的表达式为 ；（Ⅱ）作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，如图：
在 中，令 得 ，
，
，
，
、 关于直线 对称，
，
，
四边形 为正方形，
，
连接 ，交 于点 ，由对称性得 ，
，
， ， 共线，
此时 有最小值为 的长，
，
此时 的周长最小，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 得：解得 ，
直线 的表达式为 ，
同理由 ， 可得直线 解析式为 ；
联立 ，
解得 ，
， ；
（Ⅲ）由已知点 ， ， ，
设 ，
由 ， 可得直线 的表达式为 ，
由 设直线 表达式为 ，
把 代入 得：，
，
直线 的表达式为： ，
联立 ，
解得 ，
， ，
， 都在第一象限，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 点为 ．
21．（2023秋•如皋市期末）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于 ，两点（点 在点 的左侧）， ， 两点的坐标分别为 ， ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）若二次函数 的图象经过点 ，且与平行于 轴的直线 始终有两个交点 ， （点
在点 的左侧）， 为该抛物线上异于 ， 的一点，点 ， 的横坐标分别为 ， ．当 的值
发生变化时， 的度数是否也发生变化？若变化，请求出 度数的范围；若不变，请说明理由；
（3）若二次函数 的图象与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
【解答】解：（1）在 中，令 得 ，
解得 或 ，
， ；
（2）当 的值发生变化时， 的度数不发生变化；理由如下：
过 作 ，交直线 于 ，如图：把 代入 得：
，
解得 ，
，
点 ， 的横坐标分别为 ， ，
， ， ，
轴，抛物线 的对称轴为直线 ，
，
， ，
，
当 的值发生变化时， 的度数不发生变化；
（3） ，
抛物线 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，抛物线与 轴交点为 ，
①当 时， ， ，
抛物线 与 轴交点在 下方，顶点在直线 下方，
如图：在 中，令 得 ，
，
，即 时抛物线过点 ，
由图可知，当 时，二次函数 的图象与线段 只有一个交点；
②当 时，
若顶点在线段 时，如图：
此时 ，
解得 ；
若顶点在直线 上方，即 时，如图：二次函数 的图象与线段 只有一个交点， ， ，
解得 ；
此时满足 ，
；
综上所述，二次函数 的图象与线段 只有一个交点， 的取值范围是 或 或
．
22．（2023秋•增城区期末）已知抛物线 是常数）与 轴交于 ， 两点
在 的左侧），顶点为 ．
（1）若 ，求抛物线的顶点坐标；
（2）若点 是点 关于 轴对称的点，判断以点 、 、 、 为顶点的四边形的形状，并写出证明过
程；
（3）在（1）的条件下，将二次函数向左平移 个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线
与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，求 的值．
【解答】解：（1） 时， ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）四边形 是正方形，证明如下：
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
， ；
，
抛物线顶点 ，
点 是点 关于 轴对称的点，
；
， ， ，
，
，
四边形 是菱形；
， ； ， ；
， ，
，即菱形 对角线相等，
四边形 是正方形；
（3）将抛物线 向左平移 个单位，可得抛物线 ，
在 中，令 得 ，
解得 或 ，
新抛物线与 轴两个交点之间的距离为 ，在 中，令 得 ，
新抛物线与 轴交点为 ，
新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为1，
，
或 ，
解得 或 或 ；
的值为 或 或2．
23．（2023秋•福州期末）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于 ， 两点，
点 在点 左侧．点 的坐标为 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上的动点，当 、 两点到直线 的距离相等时，求直线 的解析式；
（3）已知点 、 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．过点 作 轴
的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
①如图2，连接 ，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标；
②如图3连接 和 ，试探究 与 的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，
请说明理由．
【解答】解：（1）由题意知， ，，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，
；
（2）由题意知，当 时，当 过 、 中点时， 、 两点到直线 的距离相等，
①当 时，
当 时， ，
解得： 或 ，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，直线 的解析式为 ；
②当 过 、 中点时，
由题意知， 、 中点坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
综上所述，直线 的解析式为 或 ；
（3）①由题意知， ， ， ， ， ，
，
， ，
，
，
当 时，四边形 的面积最大，最大值为2，
；
② 与 的面积之和为定值；理由如下：
由题意知，，
与 的面积之和是定值，且定值为2．
24．（2023秋•洪山区期末）已知直线 与抛物线 有唯一公共点 ，直线
分别交 轴， 轴于 ， 两点．
（1）如图1，当 ， 时，求 的值；
（2）如图2，当 时，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，求 点坐标；
（3）如图3，当 时，平移直线 ，使之与抛物线 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，
求证： ．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
直线 与抛物线 只有一个公共点，
△ ，
；
（2）由题意得，
，，
由△ 得，
，
，
，
当 时， ，
，
，
当 时，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，；
（3）由 得 ，
△ ，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
设 ， ，
，
，
，
， ，
点 关于 的对称点 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，，
，
当 时， ，
，
．
25．（2023秋•西岗区期末）【发现问题】
“轴对称”是初中数学“图形与几何”中“图形的变化”中重要的一部分，现实生活中我们也能随处可见
一些轴对称图形，在学习二次函数的时候，我们知道，二次函数的图象也是轴对称图形，教材对二次函数
的图象是轴对称图形给出如下证明：直线 轴是二次函数 的图象的对称轴，在二次函数
的图象上任取一点 ，则点 关于直线 轴）的对称点 的坐标为 ，当
时， ，所以点 在二次函数 的图象上，所以二次函数 的图象关于
轴）对称．
【提出问题】
二次函数图象是轴对称图形都可以转化为图象上任意一点的坐标关于对称轴对称的点还在二次函数图象上
的问题？
【分析问题】
小明通过上述发现，对于二次函数 的图象关于直线 对称的结论给出如下部分
证明．
证明：设点 是直线 左侧图象上任意一点，则
【问题解决】（1）请你帮助小明将证明过程补充完整；
（2）已知抛物线 与 轴交于点 ， 和点 ．
①直接写出点 的坐标（用含 的式子表示）；
②点 ， 是该抛物线上两点，若始终满足 ，求 的取值范围；
③如图，若 ，抛物线与 轴相交于点 ，在抛物线的对称轴上存在一点 ，连接 ， ，直接写
出 的最大值．
【解答】（1）证明：设点 是直线 左侧图象上任意一点，
则点 关于抛物线对称轴的对称点 的坐标为： ， ，
当 时， ，
即点 在抛物线上，
故图象上任意一点的坐标关于对称轴对称的点还在二次函数图象上，
即二次函数 的图象关于直线 对称；
（2）解：①由中点坐标公式得，点 ；
②由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 ，
当点 、 在对称轴右侧时，即 时，符合题意；
当点 、 在对称轴两侧时，则 ，解得： ；
综上， ；
③由题意得，抛物线的表达式为： ，则点 ，
函数图象如下：
点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时， 最大，理
由：
为最大，
则 的最大值 ．
26．（2023秋•花都区期末）已知点 在函数 的图象上．
（1）若 ，求 的值；
（2）抛物线 与 轴交于两点 ， 在 的左边），与 轴交于点 ，记抛物线的顶
点为 ．
① 为何值时，点 到 轴的距离为 ；
②若 ，平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，若不
存在请说明理由，若存在，请直接写出点 的坐标（不用说明理由）．
【解答】解：（1）将点 的坐标代入反比例函数表达式得： ，
当 时， ；
（2）① ，则抛物线的对称轴为直线 ，
即 ，
解得： ，
，
则 或 ，
解得： 或 （不合题意的值已舍去），
②存在，理由：
联立 和 得： ，
解得： （舍去）或 ，
则 ，即点 ，
故设点 ， ，点 ，
由抛物线的表达式知，点 ；
当 为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得： ，
即点 ， ；
当 、 为对角线时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
则点 的坐标为： ， 或 ， ，综上，点 的坐标为： ， 或 ， 或 ， ．
27．（2023秋•武昌区期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）点 是 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，交直线 于点 ，如果
，求点 的坐标；
（3）点 在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，如果以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边
形，直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）将 ， 代入抛物线，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为： ，
将 代入直线 ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
，
， ，
， ，
，
，解得 或 或4（舍去）或 ，
点 的坐标为 或 ；
（3） 抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴是直线 ， ，
则设 的坐标是 ， ， 的坐标是 ．
当 是平行四边形的一边时，或 ，
或 ，
点 在抛物线上，
点 的坐标为 ， 或 ， ，
点 的坐标为 ， 或 ， ；
当 是平行四边形的对角线时，
，
，
点 在抛物线上，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
28．（2023秋•汉阳区期末）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．
（1）直接写出点 ， ， 的坐标．
（2）如图（1），抛物线上有点 ，在第三象限的抛物线上存在点 ，且 ，求点的坐标．
（3）如图（2），在第一象限的抛物线上有一点 ，过点 作 的平行线交抛物线于另一点 ，直线
， 交于点 ，若点 的纵坐标为 ，△ 的面积记为 ，试探究 与 之间数量关系．
【解答】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
解得 或 ，
， ；
（2）当 时， ，
，
，
，
，
，
过 点作 交 的延长线于点 ，
，
分别过点 、 作 轴的平行线交直线 于点 、点 ，
△ △ ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
，
当 时，解得 或 ，
， ；
（3） ， ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
当 时， ， ，
设直线 的解析式为 ，
当 时， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
当 时， ， ，
，
，
，
当 时，解得 ，
， ，过 点作 轴的平行线交 于点 ，
， ，
．
29．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ，其中 ，抛物线的对称轴是直线 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点 是直线 下方抛物线上一动点，点 是线段 上一动点，直线 交 轴于点 ．若
，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）另有抛物线 的顶点 在线段 上， 经过点 ，将抛物线 平移得到新的抛物线 ，点 ，
平移后的对应点分别是点 ， ，连接 ．若 轴，点 在 轴上， 经过点 ，写出所有符合
条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．【解答】解：（1） 抛物线的对称轴是直线 ，
，即 ，
点在抛物线上，
，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）连接 ，
当 时， ，
解得 或 ，
， ，
， ，
，
，
，
，设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
过 点与 平行的直线 解析式为 ，
当直线 与抛物线有一个交点时， 点到直线 的距离最大，此时 的值也最大，
，
当△ 时，即 ，
此时直线的解析式 ，与 轴的交点 ，
由 ，解得 ，
， ，
过 作 交于 点，过 点作 交于 点，过 点 交于 点，
， ，
，
，
，
，
解得 ，在 中， ，
，
，
，
的最大值为 ，此时 点坐标为 ， ；
（3）设 ，抛物线 ，
将点 代入，可得 ，
解得 （舍 或 ，
平移后点 ， 平移后的对应点分别是点 ， ， 轴，
点纵坐标为 ，
点在 轴上，
点纵坐标为0，
，
解得 ，
抛物线 ，
设平移后 ，则 ，
将点 代入，可得 ，
或 ．30．（2023秋•河西区期末）已知抛物线 ，其中 ， 为常数，且 ．
（Ⅰ）若 ， ，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线经过点 ．请你用含 的式子表示 ，并求出 的取
值范围；
（Ⅲ）若 ，点 ，抛物线与 轴负半轴交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上的
动点， 是 轴上的动点， ，点 是 的中点，当 的最小值是 时，求
在 的图象的最低点的坐标．
【解答】解：（1） ， 时，抛物线 与 轴交点为 ， ，
对称轴为直线 ，
把 代入 得 ；
抛物线的顶点坐标为 ；
（2） 抛物线 的对称轴为直线 ，
，
，抛物线 经过点 ，
，
，
，
，
；
（3） 时， ，令 得 ，
，直线 为 ，
连接 、 ，如图：
是 的中点，
，
点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
， ，
， ，在 中， ，
①当 ，即 时，满足条件的点 在线段 上，
此时 的最小值为 ，
解得 ；
抛物线解析式为 ， 即是 ，
此时图象在对称轴直线 右侧，开口向上，
当 时， ；
在 的图象的最低点的坐标为 ；
②当 ，即 时，满足条件的点 落在线段 的延长线上，
此时 的最小值为 ，
解得 ；
抛物线解析式为 ， 即是 ，
此时图象包含顶点 ， ，开口向上，
在 的图象的最低点的坐标为 ， ；
综上所述， 在 的图象的最低点的坐标为 或 ， ．
31．（2023秋•武汉期末）（1）已知抛物线 经过原点 ，其顶点 的坐标为 ．求抛
物线 的函数表达式；
（2）如图1，若抛物线 与 轴交于另一点 ，过 ， 两点作开口向下的抛物线 ，设其顶点为（点 在点 的下方），线段 的垂直平分线与抛物线 相交于 ， 两点，若四边形 的面积
为 时，求抛物线 的函数表达式；
（3）如图2，将抛物线 向左平移1个单位长度，得到抛物线 ，且与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于
， 两点，连接 ，过点 作 轴于点 ，在直线 上有一点 ，坐标平面内有一点 ，使
得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的 点的坐标： 或
或 或 ．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为： ，
将点 代入得： ，
解得： ，
；
（2） 为过 ， 两点的抛物线，且其顶点为 ，则 轴，
， ，
线段 的垂直平分线与抛物线 相交于 ， 两点，
，令 ，
即 ，则 ， 是方程的两个实数根，
，
，
四边形 的面积 ，
解得： ，
，
设抛物线 的函数表达式为： ，
将点 代入得： ，
解得： ，
物线 的函数表达式为： ；
（3）方法一：由题意得：抛物线 的表达式为： ，
令 ，则 ；
令 ，则 ， ；
， ，
设 ，点 ，则 ， ， ，
① 时， ，
，解得： ，
，
此时 ， ，
；
② ， ，
，
解得： ，
，
此时 ， ，
；
③ ， ，
，
解得： ，
或 ，
此时 或 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
方法二：由题意可知，抛物线 解析式为 ，
令 ，则 ；令 ，则 ， ；
， ，
， ，
①如图1，当 为矩形一边，且 在 轴的上方时，过 作 轴于点 ，
点 在 上（直线 上），
，
，
，
，
点 向上平移2个单位，向右平移2个单位得到点 ，
点 向上平移2个单位，向右平移2个单位得到点 ，
；
②如图2，当 为矩形一边，且 在 轴的下方时，
，，
，
点 向下平移1个单位，向左平移1个单位得到点 ，
点 向下平移1个单位，向左平移1个单位得到点 ，
；
③如图3，当 为对角线时，连接 交于点 ，则 为 、 中点，
， ，
， ，
设 ，由平移可知 ，
，
，
解得 ，
或 ；
综上所述， 点坐标为 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
32．（2023秋•开福区校级期末）定义：若直线 与函数 交于 ， 、 ， 两点，将 叫做函数 在直线 上的弦长，且 ，其中 叫做函数 在直线 上的
截距．
（1）求出 在 轴上的截距；
（2）若直线过定点 ，抛物线 在该直线上的弦长等于8，求直线的解析式；
（3）若二次函数 与反比例函数 在第一象限交于点 ，在第三象限交于 、
两点．
①若 、 两点的横纵坐标均为整数，请直接写出整数 的值；
②若 ，求该二次函数在直线 上的截距的取值范围．
【解答】解：（1）令 ，
解得： 或3，
则截距 ；
（2）设直线的表达式为： ，
联立直线和抛物线的表达式得： ，即 ，
则 ， ，
则弦长 ，
解得： ，
则直线的表达式为： ；
（3）①联立两个函数表达式得： ，
整理得： ，
两个函数在第三象限交于 、 两点，则 ，
若 、 两点的横纵坐标均为整数，则 或 ，则 ，解得： ；
则 或 ，则 ，解得： ；
则 或 ，则 ，解得： ；
则 或 ，则 ，解得： ；
综上， 或12或 或0；
②由①知， ， ，
设二次函数在直线 上的截距 ，
，
则 ．
33．（2023秋•硚口区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上
平移4个单位长度，得到抛物线 ．
（1）直接写出抛物线 的解析式；
（2）如图1，直线 与抛物线 相交于 ， 两点（点 在点 的右侧），连接 ， ．
①若 的面积是10，求 的值；
②作 轴交抛物线 于点 ，连接 ，若 与 的面积相等，直接写出 的值；
（3）如图2，抛物线 与 轴的正半轴交于点 ，与 轴交于点 ．过点 的直线 ， 与抛
物线 分别相交于 ， 两点，若 ，求 的值．【解答】解：（1）由题可得 ，
抛物线 的解析式为 ；
（2）①当 时， ， ，
，
直线 与 轴的交点为 ，
的面积 ，
解得 ，
，
；
② 与 的面积相等，
，
直线 的解析式为 ，
当 时，解得 或 ，
，
点与 点关于 轴对称，
，点在直线 上，
，
，
解得 ，
，
；
（3）当 时，解得 或 ，
，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
，
，
①，直线 的解析式为 ，当 时， ，
直线 的解析式为 ，当 时， ，
②，
联立①②，可得 或 （舍 ，
．
34．（2023 秋•海沧区期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接 ， ，点 是直线 下方抛物线上的一个的动点（不与 ， 重合），
①求 面积的最大值；
②若 ，求点 的坐标．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得：
，
解得 ，
抛物线的函数解析式为 ；
（2）①过 作 轴交 于 ，如图：在 中，令 得 ，
，
由 ， 得直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 取最大值 ，此时 ， ；
面积的最大值为 ；
②过 作 轴，过 作 于 ，如图：设 ， ，
，
，
轴，过 作 ，
，
，即 ，
，
，
， ，
，
，
即
解得 ，
， ．
35．（2023秋•青山区期末）已知抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与
轴交于点 ．
（1）直接写出点 、 、 的坐标；（2）如图1，过点 作直线 交抛物线于点 ，连接 ， ，若 ；4，求点 的坐标；
（ 3 ） 如 图 2 ， 过 点 分 别 作 直 线 交 抛 物 线 于 点 、 ， 直 线
，且 交抛物线于点 、 ，点 、 分别为线段 、 的中点，
，求证：直线 必经过一定点，并求该定点坐标．
【解答】（1）解：当 时， ，
，
当 时， ，
解得 或 ，
， ；
（2）解：设 ，直线 的解析式为 ，
，
解得 ，直线 的解析式为 ；
设 与 轴的交点为 ，则 ，
， ，
；4，
，
解得 或 ，
， 或 ， ；
（3）证明：当 时， ，
当 时， ，
直线 、 都经过点 ，
， ，
， ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
直线经过点 ．36．（2023秋•滨海新区期末）抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，已知
，抛物线顶点的横坐标为 ．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴于点 ，延长 交抛物线于点 ，求线段
的最大值及此时点 的坐标；
（Ⅲ）在 轴上是否存在一点 ，使得 ．若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
【解答】解：（1） ，抛物线顶点的横坐标为 ，
则点 ，
设抛物线的表达式为： ，
则 ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（Ⅱ）由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，即 的最大值为2，此时点 ；
（Ⅲ）存在，理由：
当点 在 轴上方时，
由点 、 的坐标得， ， ，
在 中，过点 作 于点 ，
，
故设 ，则 ， ，则 ，
则 ，
解得： ，
则 ，
则点 ， ．
当点 在 轴下方时，
同理可得：点 的坐标为： ，
综上，点 的坐标为： ， 或 ．
37．（2023秋•河东区期末）在二次函数 中．
（1）若它的图象过点 ，则 的值为多少？（2）当 时， 的最小值为 ，求出 的值；
（3）如果 ， ， 都在这个二次函数的图象上，且 ．求 的取值范围．
【解答】解：（1）将 代入 得：
，
解得： ；
（2）抛物线 对称轴为 ．
若 ，当 时函数取最小值，
，
解得 ；
若 ，当 时函数取最小值，
，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述， 的值为 ；
（3） ， 都在这个二次函数的图象上，
二次函数 的对称轴直线 即为直线 ，
，
，
，
解得 ，
，
在对称轴左侧， 在对称轴右侧，
在 中，令 得 ，抛物线 与 轴交点为 ，
关于对称轴直线 的对称点为 ，
，
，
解得 ；
①当 ， 都在对称轴左侧时，
随 的增大而减小，且 ，
，
解得 ，
此时 满足的条件为 ；
②当 在对称轴左侧， 在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线 距离大于 到对称轴直线 的距离，
，
解得： ，
此时 满足的条件是 ，
综上所述， 或 ．
38．（2023秋•南平期末）已知点 在二次函数 的图象上．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）求 的最大值；
（3）设直线 为常数且 与抛物线 交于点 ， ，与抛物线 为
常数）交于点 ， ．求证： ．
【解答】（1）解： 点 在二次函数 的图象上，
，；
（2）解：由（1）知 ，
，
，
当 时， 取最大值 ；
的最大值为 ；
（3）证明：由直线 与抛物线 交于点 ， ，与抛物线 交于点 ，
，设 ， 、 ， 、 ， 、 ， ，
把 代入 得： ，
，
，
，
， ，
，
把 代入 得： ，
整理得： ，
， ，
，，
，
．
39．（2023秋•泉州期末）抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴
交于点 ，连接 ， ．
（1）求点 ， ， 的坐标；
（2）如图1， 是抛物线上的一动点，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）如图2， 为线段 上方抛物线上的一动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 交
轴于点 ，交线段 于点 ，若 ，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于
点 ，
当 时， ，
解得 ， ，
， ，当 时， ，
点 的坐标为 ；
（2）由（1）可得 ， ，
， ，
，
作 轴于 ，
设 ，则 ，
， ，
，
使 ，则 ，
，
，
当 时，
整理得 ，
解得 或 ，，
；
当 ，
整理得 ，
解得 或 ，
，
；
当点 在点 的左下方时， 恒成立，而 恒成立，故点 不能在点 的左下方，
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）设点 ，
， ，
，
，
，
设 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
是 与 的交点，
，
解得 ，则 ，
，
，
，
，
整理得 ，当 时，解得 ，
，且点 在 上方运动，
则不符合题意，舍去，
当 时，
解得 或 ，
此时 或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
40．（2023秋•福州期末）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在 轴正半轴），
与 轴交于点 ，连接 ， ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 在点 ， 之间的抛物线上运动（不与点 ， 重合），连接 交 于点 ，连接 ．
记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为 ，过点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与直线 交
于点 ，过点 作 的垂线，交抛物线于点 ，过 的中点 作 于点 ．求证： ．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在 轴正半轴），与 轴
交于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，，
将 ， 代入抛物线 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ．
（2）过点 作 于点 ，点 作 于点 ，如图：
的面积为 ， ，
的面积为 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则直线 的解析式为 ，
设 ，则直线 的解析式为 ，
即 ，
整理得： ，
则 ，
，
故当 时， 有最大值为 ，
即 的最大值是 ．
（3）抛物线的解析式为： ，
整理得： ，
故顶点 ；
连接 和 ，过点 作 与点 ，如图：设直线 的解析式为： ，将 代入求得： ，
故直线 的解析式为： ；
直线 与直线 交于点 ，
将点 的纵坐标 代入 ，
得： ，
解得： ，
故 ，
则点 的横坐标 ，故 ，
；
直线 与抛物线交于 ， 两点，
则 ，
整理得： ，
故 ，，
，
即点 的横坐标 ，故 ，
；
，
，
， 为 的中点，
，
即 ，
，
；
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
，
又 ，
，，
故 ，
即 为直角三角形，
又 为 的中点，
是 斜边上的中线，
．
题型五：动点问题的函数图象（共1题）
41．（2023秋•沙河口区期末）【发现问题】
如图1，小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现，在不同高度释放
小球，小球落地点距小球释放点之间的水平距离都有所不同．
【提出问题】
为了准确投中目标，需要知道小球释放点距地面的竖直高度与小球释放点距落地点的水平距离之间的关系；
【分析问题】
小迪控制无人机在距水平地面不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点距落地点的水平距离和竖直高
度，实验结果如下表：
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8
小球释放点距落地点的水平距离 （米
0 0.2 0.8 1.8 3.2 5 7.2
小球释放点距落地点的竖直高度 （米
小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图 2，小迪根据图2中点的分
布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线．
【解决问题】
如图3，小迪控制无人机在距地面竖直高度为20米 米）向右水平飞行．为了更形象的描述，小迪
在平面坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致．
（1）请直接写出 与 的函数解析式；并求此时小球释放点 距落地点 之间的水平距离 应为多少米？
（2）在距点 正前方的12米 米）地面点 上，有一高度为5米 米），直径为 米米）的圆柱体目标，它的最大截面为矩形 和坐标轴在同一平面内．求无人机离开点 后，
在什么飞行范围内释放小球，可以击中目标；
（3）若在距（2）中的圆柱体目标的正前方 处 米）有一建筑物（建筑物的竖直高度大于20
米）的侧面外形为直线 ，直线 与 轴的交点为点 ，建筑物 和地面的夹角为 ， 为
抛物线上一点， 是点 距建筑物的距离．求小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离．
【解答】解：（1）设小球释放点距落地点的水平距离和竖直高度之间的函数解析式为： ，
代入表格数据得： ，
，
．
关于 轴对称，
此时函数解析式为 ．
当 时， ，（负值不合题意舍去），
即 （米 ；
答： 米．
（2） 无人机水平向右移动，
抛物线 水平向右平移，
， ，
，
当无人机水平向右移动4米后投掷，小球可以击中圆柱体的 点，
，
点 的竖直高度为： （米 ，
当 时， ，
，
当小球下降15米时，小球的水平移动距离为 米，
点 距离点 的水平距离为： ，
（米 ，
当无人机水平向右移动12米后投掷，小球可以击中圆柱体的 点；
综上所述，当无人机水平飞行4米至12米的距离内投掷的小球可以击中圆柱体．
（3）根据（2）可知抛物线 水平向右平移12个单位后，
此时小球在击中圆柱体目标的过程中，存在距建筑物的最小距离，
即平移后的抛物线解析为 ，
将 向左平移直至与抛物线 相切于点 ，且交 轴于点 ，
过 点作 于点 ，过 点作 轴，交 于点 ，过 点作 轴于点 ，如图：根据题意有： ．
， ，
，
，
，
轴， ，
，
，
即 ．
，
设直线 的解析式为： ．
， ，
， ，
直线 的解析式为： ，
设与抛物线 相切且与 平行的直线 的解析式为： ，
联立 ，
得 ．△ ．
．
直线 的解析式为： ，直线 的解析式为： ，
．
根据平移的性质有： ，
在 △ 中， ，
，
即小球在击中圆柱体目标的过程中，距建筑物的最小距离为 米．
题型六：待定系数法求二次函数解析式（共1题）
42．（2023秋•白云区期末）已知抛物线 经过点 和 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 的直线 与抛物线交于点 ．
①当 时，若 的最小值为5，求 的值；
②抛物线的顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ，当点 （不与点 重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，
直线 和直线 分别与对称轴交于点 ， ，试探究 的面积与 的面积之间满足的等量关
系．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 和 ，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）①由题意可知： ，
该函数的对称轴为直线 ，
，开口向下，
当 即 时，
当 时，若 的最小值为5，
当 时， 的最小值为5，即 ，解得 ，
当 时，若 的最小值为5，即 ，解得 （不符合题意，舍去），
当 即 时，同理可得不符合题意；
② 抛物线解析式 ，
整理成顶点式为： ，对称轴为直线 ，
顶点 ， ，
直线 的解析式为 ，且直线 与对称轴交于点 ，
，即 ，
过点 的直线 与抛物线交于点 ，
有 ，
解得， ， ，
将 代入 中，有 ，
，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
直线 与对称轴交于点 ，
，即 ．
当 在第一象限时， ，
，
．
当点 在第四象限时，
，
，
．
综上可知， 或 ．
题型七：抛物线与x轴的交点（共1题）
43．（2023秋•南开区期末）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 和点 ，抛物线的顶点为 ．
（Ⅰ）求此抛物线的解析式和顶点 的坐标．
（Ⅱ）若点 ， 均在此抛物线上，其横坐标分别为 ， ．且 ， 两点的纵坐标的差为3．
①求 的值．
②将点 向上平移 个单位得到点 ，将抛物线沿 轴向右平移 个单位得到新抛物线，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，顶点 的对应点为点 ．在抛物线平移过程中，当 的值最
小时，请填空： ，新抛物线的顶点 的坐标为 ， 的最小值为 ．
【解答】解：（Ⅰ）将 、 两点代入抛物线 得，
，
，
抛物线解析式为 ，
，
顶点 为 ；
（Ⅱ）①由题意， ， ，
， 两点的纵坐标的差为3，
，
或 ，
，
，
②由 得， ， ，
把 代入 ，
解得： 或 ，
点 的坐标为 ，
将点 向上平移 个单位得到点 ，
，
横坐标为4． 横坐标8，的纵坐标为 ， 的纵坐标为 ，
即 ， ，
， ， ，
，
即点 与 ， 的距离和最小值，
取点 关于 的对称点为 ，
与 的距离即为 的最小值，
的最小值为： ，
设过点 与 的直线解析式为 ，
，
解得： ，即 ，
令 ，解得： ，即 ，
为 ， ．
故答案为： ， ， ， ．
