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9.4抛物线（精练）
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远
镜“中国天眼”—— 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转
所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C
的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为
，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令抛物线方程为 且 ，
由题设 在抛物线上，则 ，得 ，
又 且 ，则P到该抛物线焦点F的距离为 米.
故选：A
2．（2023春·河北廊坊 ）已知抛物线 ，过点 的直线l交C于A，B两点，则直线 ，
（O为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【解析】设l的方程为 ，联立 ，得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ．
故选：A
3．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若直线
与 交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令 ，则 ，故 ，所以 ，
所以 ，故准线为 ，则 .
故选：B
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，
若 ，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 作差得 .因为 ，所以P是线段AB
的中点，所以 ，则直线l的斜率 .
故选：A
5．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线 于M，N两点，且MN的中
点为 ，则直线l的斜率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k， ，
则 ，两式相减得 ，整理得 ，
因为MN的中点为 ，则 ，
所以 ，即直线l的斜率为3．
故选：C．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测） 为 ： 的焦点，点 在曲线 上，且
在第一象限，若 ，且直线 斜率为 ，则 的面积 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
如图，设点 ，
，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意 ，所以 ，
得 ，或 （舍去），
所以 ，
，
故选：B
7．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线 的焦点为 ，准线为
为 上一动点， ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， 的值为4
B．当 时，抛物线 在点 处的切线方程为
C． 的最小值为3
D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，当 时， ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，由 可得 ，所以 ，所以抛物线 在点 处的切
线方程为 ，
整理得： ，故B错误；
对于C，如图，过点 作 准线于点 ，则由抛物线定义可知： ，
则 ，当 三点共线时，和最小，最小值为 ，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，由题意得： ，连接 并延长，交抛物线于点 ，此点即 取最大值的点，此时
，
其他位置的点 ，由三角形两边之差小于第三边得：
，故 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，若点 不在抛物
线上，且满足 的最小值为 ，则 的值可以为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】ABC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
如上图所示，若A在抛物线内，易知 ，抛物线的准线为 ，
过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于 ，
由抛物线的定义知 ，当且仅当A、P、B三点共线时，
即 重合时取得最小值， ，
又A在抛物线内，故 ，
所以 ，即 ；
若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则 ，
当且仅当 重合时取得最小值，此时即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上 .
故选：ABC
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线 的焦点F
（2，0）作斜率为 的弦AB，其中点A在第一象限，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】抛物线方程为 ，设直线 的方程 ，代入 得 ，设
，则 ，
对A：显然 不关于 轴对称，故 ，A错误；
对B： ，所以 ，B正确；
对C： ，C错误；
对D： ，D正确.
故选：BD
10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线 焦点为 ，准线上有点
是抛物线上一点， 为等边三角形，则 点坐标为 ．
【答案】
【解析】抛物线 焦点为 ，点 在准线 上，
在等边 中， ，因此 长等于点 到准线的距离，即有 与抛物线准线垂直，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令抛物线准线与x轴交于点 ，则 ，由 轴，得 ，
于是 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以 点坐标为 .
故答案为：
11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C： 的焦点为F，点M在C上，
，若以MF为直径的圆过点 ，则C的方程为 .
【答案】 或 .
【解析】由题意得 ，设 ，
则由抛物线的定义得 ，
则 ，所以圆心的横坐标为 ，其半径也为 ，
所以圆与y轴相切，
又因为以MF为直径的圆过点 ，
所以切点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以圆心为 ，则 ，
又因为点M在抛物线上，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
所以抛物线方程为： 或 .
故答案为： 或 .
12．（2023春·广东广州 ）已知点 为拋物线 上的动点，点 为圆 上的动点，则
点 到 轴的距离与点 到点 的距离之和最小值为 .
【答案】
【解析】由题可知，抛物线 的准线方程为 ，焦点坐标为 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，
由抛物线的定义可知点 到 轴的距离即为 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
故点 到 轴的距离与点 到点 的距离之和 ，
根据圆的性质可知点 到 轴的距离与点 到点 的距离之和最小值为
，
当且仅当 、 、 、 四点共线（ 、 在 之间）时取等号.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
13．（2023·福建）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶点），过 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设 ，有 ，圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，
因此 ，表示抛物线 上的点 到y轴距离与到定点 的距离的和，
而点 在抛物线 内，当且仅当 是过点 垂直于y轴的直线与抛物线 的交点时， 取得最小值
3，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知 是抛物线 上一点，则
的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题可知， 过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过
点 作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点.
由 ，得 ，所以 ，如图所示
则 动点 到 轴的距离为
所以 ,
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即 ,( 为点 到
直线 的距离).
所以 到直线 的距离为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .
15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则A到焦点
F的距离为 ．
【答案】4
【解析】因为 在 上，故 ，
A到准线的距离为 ，
故A到焦点F的距离为4.
故答案为：4
16．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则点A到抛
物线C的准线的距离为 ．
【答案】2
【解析】因为 在抛物线C： 上，
所以 ，解得 ，
故抛物线C的准线为 ，
所以点A到抛物线C的准线的距离为 .
故答案为： .
17．（2022秋·陕西渭南 ）设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段
AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 ．
【答案】10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，则 ，
由抛物线方程可知 ，
由线段 的中点E到y轴的距离为3得， ，
∴
故答案为： .
18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线 与 交于
、 两点，且 ， 为坐标原点，则 的面积为 .
【答案】
【解析】易知，抛物线 的焦点为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合
乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ， ，
又 ，即 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 .
此时，
又因为原点 到直线 的距离为 ，
故 的面积为 .
故答案为： .
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 上两点A，B关于点 对称，则直线AB的斜率
为 .
【答案】2
【解析】设 ， 代入抛物线 ，得 ，
则 ①，
因为两点A，B关于点 对称，则 ，
所以由①得 ，
直线AB的斜率为2.
则直线AB： 与代入抛物线 联立，得 ， ，解得
.
所以直线AB的斜率为2.
故答案为：2.
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线 的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾
斜角为 ，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
【答案】3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意，抛物线为 ，则 ，即直线 为 ，
∴将直线方程代入抛物线整理得： ，
设 ， ，则 ，
故线段 的中点的横坐标为 代入直线 ，得 ，
∴线段 的中点到 轴的距离是 .
故答案为：3.
21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C： 焦点F的直线l交抛物线C于A，B两
点，且 ，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为 .
【答案】
【解析】作出抛物线的准线 ，设 、 在 上的射影分别是 、 ，
连接 、 ，过 作 于
， 设 ，则 ，
由点 、 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
， ，
因此， 中， ，得
所以，直线 的倾斜角 ，
得直线 的斜率 ．
直线 的方程为 ，代入 ，可得 ，
或 ，
为 的中点， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 到 轴的距离为 ，
故答案为：
22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于
A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义知： ，而AB的中点横坐标为4，即 ，
所以 ，即 .
故答案为：
23．（2023秋· 课时练习）已知抛物线 的焦点 为 ，则 ，若点 在抛物线上，点
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 为 ，
可得 ，即 ，抛物线方程为 ，
则抛物线 的准线方程为 ，
过 作直线 的垂线，垂足为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
则当 三点共线时， 取得最小值，
且最小值为 （即 到准线的距离）.
故答案为： ；
24．（2023·江苏 ）设点P是抛物线 上的一个动点.
(1)求点 到 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值；
(2)若 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为 ，准线为 ，由抛物线的定义知点 到直线 的
距离等于点 到焦点 的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点 ，使点 到点 的距离与点 到 的距离之和最小.
显然，连接 与抛物线的交点即为所求点 ，故最小值为 ＝ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如图，过点 作 垂直于准线于点 ，过点 作 垂直准线于点 ，交抛物线于点 ，
此时， ，那么 ,即最小值为4.
25．（2023·江苏 ）若位于 轴右侧的动点 到 的距离比它到 轴的距离大 ，点 ，求
的最小值，并求出点 的坐标.
【答案】最小值为 ,
【解析】由题意可知，动点 到 的距离与它到直线 的距离相等，
所以点 的轨迹是以点 为焦点的抛物线，抛物线方程为 ，
由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 作 垂直于准线于点 ，
于是 .
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，即 取最小值 ，
这时 的纵坐标为2，可设 ，代入抛物线方程得 ，即 .
26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线 与抛物线 有两个公共点？仅有一个公共点？
无公共点？
【答案】答案见解析
【解析】由 ，得 .
当 时，方程化为一次方程 ，
该方程只有一解 ，原方程组只有一组解，
∴直线 与抛物线只有一个公共点；
当 时，二次方程的判别式 ，
当 时，得 ， ，
∴当 或 时，直线与抛物线有两个公共点；
由 得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由 得 或 ，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当 或 时，直线与抛物线仅有一个公共点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 或 时，直线与抛物线有两个公共点；
当 或 时，直线与抛物线无公共点．
27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系 中，已知圆心
为C的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知 及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线BD
经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设圆心 ，半径为 ，
因为圆心为C的动圆过点 ，所以 ，
因为圆心为C的动圆在 轴上截得的弦长为4，所以 ，
所以 ，即 ，所以曲线E是抛物线.
（2）证明：由题意 点坐标适合 ，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线 ： ，
联立 ，消去 并整理得 ，
需满足 ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，将 ， 代入得 ，
即 ，
所以直线 ： ，即 ，
所以直线BD经过定点 .
1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，
， 的最小值为5．若直线 与抛物线 交于点N，则 外接圆的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】依题意，抛物线 的焦点 ，准线 ，
过点 作 于 ，过 作 于 ，交抛物线 于 ，连接 ，如图，
则 ，当且仅当点 与 重合时取等号，
所以 的最小值为 ，解得 ，即有 ，
由 得点 ，因此 ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
令 外接圆半径为 ，由正弦定理得 ，则 ，
所以 外接圆的面积为 .
故选：D
2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线 的焦
点F为 ，过点 的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（ ）
A． 的最小值为3
B．C的准线方程为
C．
D．当 时，点P到直线l的距离的最大值为
【答案】ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如图：对于A,B，由抛物线的焦点 为 ，
则 ，即 ，其准线方程为 ，设点 到准线的距离为 ，
则 ，设点 到准线的距离为 ，
易知 ，故选项A正确，B正确；
由题意可知，过点 的直线 的方程可设为
，代入抛物线 ,可得 ，
，则直线 始终与抛物线图象有两个交点，
设 ,则
，当 时，取到最小值 ，故选项C错误；
由C可得直线 的方程为 ，由 ，可知 到直线 的距离等于 到直线 的距离，
点 到直线 的距离 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， 单调递增，由当 时， ，当 时, ，
则当 时， ，所以 ，故选项D正确.
故选：ABD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线 的顶点，直线l交抛
物线于M，N两点，过点M，N分别向准线 作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线
B．若直线l过焦点F，则
C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上
D．若 ，则直线l恒过点
【答案】BCD
【解析】设直线 ，联立方程 ，得
设 ， ，则
选项A，若直线l过焦点F，则
， ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， 三点共线， A错；
选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：
，
又 ， ，所以B对；
选项C，设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ，即 ，
所以与抛物线 相切的切线方程为 ，
将 点坐标代入方程可得 ，则 ，
所以过 的切线方程为 ．
同理，过 的切线方程为 ，
联立 ，得：
抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线 上，所以C对；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项D，因为 ， ，
将韦达定理代入得： .
所以直线l恒过点 ，所以D对.
故选：BCD.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交抛物线
于 、 两点， ，直线 左边的抛物线上存在一点 ，则（ ）
A． B．
C．若点 ，则 D．当 的面积最大时，面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程 ，消去x化简得： ，
∴ ，代入抛物线方程得： ，A正确；
对于B，∵ ，解得 ，所
以 ，B错误；
对于C：分别做 、 于 、 点，弦 的中点 于 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ， ，
，所以 ，所以以 为直径的圆 与准线相切，
由选项B得， 时， ，得 ， 时， ，得
，所以圆心 ，
所以与准线的切点为 ，所以点 在圆外，所以 是锐角，即 ，C正确；
对于D：直线 方程为 ，斜率为 ，
当过点 的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最大，
当 时， ，所以 ，设 ，所以 ，得 ，所以点 ，此
时 ，所以 面积的最大值为 ，当斜率为 时，同理求得面积为 ，
D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ACD.
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线 的准线方程为 ，
圆 ，直线 与 交于 两点，与 交于 两点 在第一象限）， 为坐
标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D． 为定值
【答案】BD
【解析】对于A，因为抛物线 的准线方程为 ，所以 ，得 ，所以A错误，
对于B，设 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 恒过圆心 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以B正确，
对于C，因为直线过抛物线的焦点 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，所以C错误，
对于D，因为直线过抛物线的焦点 ，
所以 ，
所以 为定值，所以D正确，
故选：BD
6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为 ，O为坐
标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段 与x轴交于点M，连接
并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M为C的焦点，则直线 平行于x轴
B．若点M为C的焦点，则线段 的长度的最小值为4
C．若 ，则点M为C的焦点
D．若 与 的面积之积为定值，则点M为C的焦点
【答案】AB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】直线 的斜率不为0，设点 ，设直线 的方程为 ，
设 ， ，因为点M在线段 上，所以 ，
联立直线和抛物线方程得 ，则 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，得 ，
又因为 ，故 ，
对于A，若 为焦点，则 ，
因为 ，所以 ，A选项正确；
对于B，若 为焦点，则 ， ，
则 ，B选项正确；
对于C，若 ，有 ，即 ，
所以 ，解得 或0（舍去），C选项错误；
对于D， ，只需M横坐标为定值即可，故D错误.
故选：AB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023秋·河北唐山 ）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点，连接 并
延长，交抛物线 于点 ，若 中点的纵坐标为 ，则当 最大时， ．
【答案】16
【解析】由题可得抛物线焦点为 ，准线为 .设 ，
则由抛物线定义可得 ，
又由题可得 中点的纵坐标为 ，则 .
则
.
则 ，当且仅当 取等号，则 为等边三角形，即直线AD斜
率为 或 .
如图，设此时AD方程为 ，将其与抛物线联立有 .
设D ，则由韦达定理有 .
再由抛物线定义有 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则 的
最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题可知，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直线于 ，过点
作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点，
由 ，得 ，所以 ，如图所示
则 动点 到 轴的距离为
所以 ，
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即 (此时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为点 到直线 的距离)，
所以 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点 为抛物线 的焦点，点 ，
，且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点 且交抛物线 于 ， 两点，若直线 ， 交抛物线于 ， 两点（ 、
与 、 不重合），求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设 ，则 ， ，
又 ，故 ，
整理得 ，解得 .
所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）若直线 不过点 ，如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ， ， ，
由题意可知直线 的斜率存在且不为0，
则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由直线 过定点 ，可得 同理直线 的方程为 ，
过焦点 ，可得 ，
的方程 ， 过焦点 ，可得 .
直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 .
又因为 ，所以 .
令 ，解得 ，故直线 恒过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若直线 过点 ，直线 即为直线 ，其方程为 ，
即 ，显然直线过点 .
综上，直线 过定点 .
10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C： 焦点为 ，直线l与抛物
线C交于 ， 两点，且 ， （O为坐标原点）．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线l过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设 ，则 ，所以抛物线方程为 .
（2）令l： ， ， ，
联立 得： ，则 ， ，
，
解得 或 ，由 得： ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴l： 过定点 .
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线 和圆 ，倾斜角为
的直线 过 焦点，且 与 相切.
(1)求抛物线 的方程；
(2)动点 在 的准线上，动点 在 上，若 在点 处的切线 交 轴于点 ，设 ，证明
点 在定直线上，并求该定直线的方程.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， .
【解析】（1）依题意得，物线 的焦点坐标为 ，设直线 的方程为 ，
而圆 的圆心 ，半径 ，由直线 与圆 相切，
得 ，又 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知抛物线 ： 的准线为 ，设 ，
由 ，求导得 ，设 ，则以 为切点的切线 的斜率为 ，
于是切线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 交y轴于点 ，
因此 ， ，
则 ，设N点坐标为 ，从而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点N在定直线 上.
12．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 的焦点为 ，且经过 的直
线被圆 截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 经过定点 ．
【解析】（1）因为抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心 ，
而经过 的直线被圆 截得的线段长度 ，其中 为圆心 到直线的距离，
则 ，所以 ，
显然， 的最大值为焦点 到圆心 的距离，即 ，
所以 ，又 ，解得 或 （舍），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故抛物线的方程为 ．
（2）设点 ， ， ，由 ，即 ，得 ，
则点 处的切线方程为 ，
直线 的方程为： ，
则点 ，同理点 ，
可得：
，
直线 的方程为： ，
注意到点 ， 满足 ，
直线 的方程为 ．
注意令 ，则
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直线 经过定点 ．
13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准
线为 ，过点 且倾斜角为 的直线交抛物线于点 （M在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交
轴于点 ，
(1)求 的值.
(2)若斜率不为0的直线 与抛物线 相切，切点为 ，平行于 的直线交抛物线 于 两点，且
，点 到直线 与到直线 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
【答案】(1)
(2)是，3
【解析】（1）如图所示，过点 作 ，垂足为 交 轴于点 ，
由题得 ，所以 ，
因为 ，所以△ 是等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
故 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可知抛物线的方程是 ，
设直线 的方程为 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 .
又 ，所以 ，故 .
联立 ，消去 ，得 ，其中 ，
则 ，
所以 ，所以 .
设点 到直线 和直线 的距离分别为 ，
则由 得 ，
所以点 到直线 与到直线 的距离之比是定值，定值为3.
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