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9.4抛物线（精讲）
一．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
x2＝－2py
y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0)
标准方程 (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
性
质
焦点 F F F F
离心率 e＝1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
一．抛物线的定义及标准方程
1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确
定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
二．与抛物线有关的最值问题
1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边
之和大于第三边”，使问题得以解决．
2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理
解决．
三．常用的结论
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x ，y)，
1 1
B(x，y)．则有
2 2
(1)x·x＝.
1 2
(2)y·y＝－p2.
1 2
(3)|AB|＝x＋x＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
1 2
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．
考点一 抛物线的定义及标准方程
【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，点 在
上．若 到直线 的距离为3，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】如下图所示：
根据题意可得抛物线的准线方程为 ，
若 到直线 的距离为 ，则 到抛物线的准线 的距离为 ，
利用抛物线定义可知 .
故选：A
【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线 上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离
大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意抛物线 上任意一点到焦点F的距离与它到直线 的距离相，因此
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，抛物线方程为 ．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则P到C的准线的距
离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】抛物线 的准线为 ，
将 代入 得 ，
故P到准线的距离为2，
故选：C．
2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线 ： 的焦点为 ， 在 上，
，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线 的开口向上，
由于 在 上，且 ，
根据抛物线的定义可知 ，
所以抛物线 的方程为 .
故选：A
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，点M在抛物线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C上，点 ，且 ，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】因为点 是抛物线C： 的焦点，所以 ， ．
又因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，故点M到y轴的距离为8．
故选：B
考点二 抛物线有关的最值问题
【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且
点 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为点 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程
为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由抛物线的定义知：点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
结合点 与抛物线 的位置关系可知， 的最小值是点 到准线 的距离，故
的最小值为7．
故选：C.
【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到
抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 ，所以抛物线 的方程为 ，
且 ，所以抛物线 的方程为 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国· 专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点P在C上，若点 ，则 周
长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】 ，故 ,
记抛物线 的准线为 ，则 ： ，
记点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
则 .
故选：A.
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线 ，圆 ，P为E上一点，Q为
C上一点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由题意知 ,设 ，则 ,
所以当 时, ，又因为圆 的半径为1，所以 .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023春·四川南充 ）已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和
的距离之和的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】B
【解析】由 消去 得 ，
因为 ，所以方程 无解，
即直线 与抛物线无交点；
过点 作 于点 ， 于点 ，记抛物线 的焦点为 ，连接 ，
因为 点 到直线 的距离为 , 为抛物线 的准线，根据抛物的定
义可得， ，
则 到直线 和 的距离之和为 ，
若 ， ， 三点不共线，则有 ，
当 ， ， 三点共线，且 位于 之间时， ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以 ，即所求距离和的最小值为 .
故选： .
4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与
交于 ， 两点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】B
【解析】设 ， ，
联立 得 ，
则 .
所以 .
当且仅当 ，即 ， 时，上式取等号，
故 .
故选：B
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点 ，则与抛物线 有且只有一个公共
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点的直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】（1）当过点 的直线l的斜率存在时，设其方程为 ，
由方程组 消去y得 ，
①若 ，则 ，解得 ，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为 ，A正确；
②若 ，令 ，解得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方
程为 ，即 ，B正确.
（2）当过点 的直线l的斜率不存在时，方程为 ，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．
综上，直线l的方程为 ， 或 .
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（2023秋·课时练习）已知直线 与抛物线 只有一个公共点，则直线 与抛物线的位置关
系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】直线 与抛物线的对称轴平行或 与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有
公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A． B．
C．1 D．2
【答案】BC
【解析】 抛物线 的准线与x轴交于点Q，
准线为 ，Q点的坐标 ，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l： ，
联立 ，可得 ，
当 时，得 ，即交点为 ，
当 时，由 得，即 ，
解得， 或 ，
综上，k的取值范围是 ．
故选：BC.
3．（2023秋课时练习）过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有 条．
【答案】3
【解析】①当斜率不存在时，过点 的直线为y轴，显然符合题意．
②当斜率存在时，设直线方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 得 ，
当 时，解得 ，此时方程有唯一实数解，符合题意；
当 时，由 解得 ，此时方程有唯一实数解，符合题意．
综上共有3条直线．
故答案为：3
4．（2023秋云南）已知抛物线方程为 ，若过点 的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜
率的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ①，
当 时，①可化为 ，此时 ，即直线 与抛物线相交于 .
当 时，由于①有解，
所以 ，
即 ，解得 且 .
综上所述，直线l的斜率的取值范围是 .
故答案为：
考点四 弦长
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为 ，过 作直线 交抛物线于
、 两点，若线段 的中点横坐标为2，则线段 的长为
【答案】6
【解析】 是抛物线 的焦点，
准线方程 ，
设 ，线段 的中点横坐标为2, .
， 线段 的长为6.
故答案为：6.
【例4-2】（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
过 的直线与抛物线 交于 、 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则弦 最短长度为4
C．存在以 为直径的圆与 相交
D．若直线 ，且 点在 轴的上方，则
【答案】BD
【解析】对于A，若 ，则 ，故 ，故A错误，
对于B，若 ，则 ，则抛物线方程为 ，
设过点 的直线方程为 ，联立其与抛物线的方程可得 ，
设 ，则
故 ，
故当 时，此时弦 最短长度为4，故B正确，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C， 设 的中点为 ，设过点 的直线方程为 ，
联立其与抛物线的方程可得 ，
设 ，
因为 ，故 ，
则点 到准线 的距离为 ，
而 ，
故以 为直径的圆与 相切，故C错误，
对于D，联立 与抛物线方程可得 ，解得 或 ，
由于 点在 轴的上方，所以 故 ，
又 ，则 ，
所以 ，D正确，
故选：BD
【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线 的焦点 ，作斜率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A． B． 或3 C． 或2 D．3
【答案】C
【解析】由题意可知 直线 的方程为 ，
由 ，可得 ，解得 或 ，或者
.
故选：C.
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物线
的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
【答案】BC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，
过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，
设直线 的倾斜角为 ，画图为：
根据抛物线的定义： ，从图可知 ， ，
，在 中， ，
所以 ，同理 ，
则
，故当 时 ，
故 最小值为 ，此时 垂直于 轴，所以A不正确；
对于B项，由A可知， ，故B正确；
对于C项， ，
当且仅当直线 过焦点 时等号成立，所以 最大值为5，故C正确；
当直线 过焦点 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线 不过焦点 时， 不是定值，
举例当 时，此时 ， ，
即 ， ， ，故D错误；
故选：BC.
3．（2023·江西九江·统考一模）已知点 分别是抛物线 和圆 上的
动点，点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
由圆 的标准方程为 可知圆心 ，半径为 ，
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义可知 ，
圆外一点到圆上点的距离满足 ，即 ；
所以 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 的最小值为 ．
故答案为：
考点五 直线与抛物线的综合问题
【例5】（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，
抛物线 的焦点为 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若直线l与 交于M，N两点，与 交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且
，证明： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知 ， ，
所以 ，
解得 ．
（2）由（1）知 ， ．
设直线 ， ， ， ， ，
根据题意结合图形可知 ，且 ．
联立 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
同理联立 ，得 ，
则 ．
由 可得， ，
又 ， ，
所以 ，
即 ，化简得 ，即 ，
又因为 ， ，所以 ，
再由 ，得 ．
联立 ，解得 ，
所以 ， ， ．
故 ，
所以 为定值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系 中，已知动点 到定点 的距离
比动点 到定直线 的距离小1，记动点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)点 是曲线 上位于直线 的上方的点，过点 作曲线 的切线交于点 ，若 ，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，动点 到定点 的距离与动点 到定直线 的距离相等，
满足抛物线 定义，则 ，得 ，
则 的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
，则 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
由 ，有 ，过点 的切线的斜率为 ，
则切线 的方程为 ，
同理切线 的方程为 ，
联立方程组解得 ，
由点 是曲线 上位于直线 的上方的点，可知 ，
则 ， ，
则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入 ，得
，
即 为定值.
2．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，
．
(1)求 ；
(2)过点 作直线 ， 与 交于 ， 两点， 关于 轴的对称点为 ．判断直线 是否过定
点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
【答案】(1)
(2)过定点
【解析】（1）因为点 在 上，所以 ①，
因为 ，所以由焦半径公式得 ②，
由①②解得 （负值舍去），所以 .
（2）由（1）知抛物线的方程为 ，
依题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 消去 得 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
即 ，即 ，令 ，可得 ，
所以直线 恒过定点 .
3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交
于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意， ，直线l的方程为 ，代入 ，得 ．于是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，∴焦点弦 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 ．
（2）因 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 ，代入 ，得
．由 ，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得
．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为 ，设 ， ．
将 代入 ，得 ．于是 ， ，且 ，
．
∴
．
故 为定值2．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
