文档内容
重难点突破 02 解三角形图形类问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）............................................................................2
题型二：两角使用余弦定理建立等量关系........................................................................................4
题型三：张角定理与等面积法............................................................................................................5
题型四：角平分线问题........................................................................................................................6
题型五：中线问题................................................................................................................................7
题型六：高问题....................................................................................................................................9
题型七：重心性质及其应用..............................................................................................................10
题型八：外心及外接圆问题..............................................................................................................12
题型九：两边夹问题..........................................................................................................................13
题型十：内心及内切圆问题..............................................................................................................14
03 过关测试.........................................................................................................................................15解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）
【典例1-1】（2024·河南·三模）已知 是 内一点， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
【典例1-2】 的内角 的对边分别为 为 平分线， .
(1)求 ；(2) 上有点 ，求 .
【变式1-1】如图，在平面四边形 中， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【变式1-2】（2024·广东广州·二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
【变式1-3】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 是 内一点， ， ， ， ，求 ．题型二：两角使用余弦定理建立等量关系
【典例2-1】如图，四边形 中， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
【典例2-2】如图，在梯形ABCD中， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求梯形ABCD的面积．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角 ；
(2)若点 在 上， ， ，求 的值.【变式2-2】平面四边形 中， ， ， ， ．
(1)求 ；
(2)求四边形 周长的取值范围；
(3)若 为边 上一点，且满足 ， ，求 的面积．
题型三：张角定理与等面积法
【典例3-1】（2024·吉林·模拟预测） 的内角 的对边分别是 ，且 ，
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ，且 为 的平分线，求 的面积．
【典例3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
.
(1)求角 的大小;
(2)已知直线 为 的平分线，且与 交于点 ，若 ，求 的周长.
【变式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别
为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．【变式3-2】（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在 中， ， ，点
在线段 上.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.
题型四：角平分线问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知在△ 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)若 为 边上的高线，求 的最大值；
(2)已知 为 上的中线， 的平分线 交 于点 ，且 ，求△ 的面积．
【典例4-2】如图所示，在 中， ，AD平分 ，且 .
(1)若 ，求BC的长度；
(2)求k的取值范围；
(3)若 ，求k为何值时，BC最短.【变式4-1】在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， .
(1)求 ；
(2)作角 的平分线，交边 于点 ，若 ，求 的长度；
(3)在（2）的条件下，求 的面积.
【变式4-2】已知 的内角 的对边分别为 ，其面积为 ，且
(1)求角A的大小；
(2)若 的平分线交边 于点 ，求 的长.
题型五：中线问题
【典例5-1】如图，在 中，已知 ， ， ， 边上的中点为 ，点 是
边 上的动点（不含端点）， ， 相交于点 ．
(1)求 的正弦值；
(2)当点 为 中点时，求 的余弦值．
(3)当 取得最小值时，设 ，求 的值．【典例5-2】（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设 中角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 且 ， ．
(1)求b边的长度；
(2)求 的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且 的面积为 面积
的 ，求 的取值范围．
【变式5-1】阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于
三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和
的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .
(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ，
，求 的值.【变式5-2】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
(1)已知 ，
（i）求 ；
（ii）若 ， 为 边上的中点，求 的长.
(2)若 为锐角三角形，求证：
【变式5-3】（2024·江苏南通·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
， ，其中 为 的面积.
(1)求角 的大小；
(2)设 是边 的中点，若 ，求 的长.
题型六：高问题
【典例6-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
， 的外接圆半径为 .
(1)求 的面积；
(2)求 边 上的高 .
【典例6-2】（2024·四川·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 边上的高.【变式6-1】在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求角 的大小；
(2)若 ，求 边上的高.
【变式6-2】（2024·山东枣庄·一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 是边 上的高，且 ，求 ．
题型七：重心性质及其应用
【典例7-1】（2024·四川内江·一模） 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2) 为 的重心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积．【典例7-2】（2024·江西景德镇·一模）如图，已知△ABD的重心为C，△ABC三内角A、B、C的对边分
别为a，b，c.且
(1)求∠ACB的大小；
(2)若 ，求 的大小.
【变式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是
的重心，且 ．
(1)若 ，①直接写出 ______；②设 ，求 的值
(2)求 的取值范围．
【变式7-2】（2024·浙江温州·模拟预测） 的角 对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知
.
(1)求 a 的长.
(2)求 的面积.题型八：外心及外接圆问题
【典例8-1】（2024·广东深圳·二模）已知在 中，角 的对边分别为 .
(1)求角 的余弦值；
(2)设点 为 的外心（外接圆的圆心），求 的值.
【典例8-2】已知 的内角 所对的边分别为 ．
(1)求 ；
(2) 为 外心， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积．
【变式8-1】 的内角 的对边分别为 的面积为 .
(1)求 ；
(2)设 点为 外心，且满足 ，求 .
【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已知 的外心为 ，点 分别在线段 上，且 恰为
的中点．
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)证明： ．【变式8-3】（2024·安徽黄山·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
.
(1)求角 的大小和边 的取值范围；
(2)如图，若 是 的外心，求 的最大值.
题型九：两边夹问题
【典例9-1】在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】在 中， 、 、 分别是 、 、 所对边的边长.若
，则 的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【变式9-1】在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _________________
【变式9-2】（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在 中，已知边 所对的角分别为 ，若
，则 _____．
【变式9-3】在 中，已知边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，若 ，
，则 的面积 ______.【变式9-4】在 中，若 ，则角 __．
题型十：内心及内切圆问题
【典例10-1】（2024·全国·模拟预测）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
， ．
(1)求 的周长的取值范围；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积S.
【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在 中，设 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求角 ；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的面积．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ，求 的最小值．
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径取值范围．
【变式10-3】（2024·广西南宁·一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求 的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【变式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径
为 ，且 .
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
1．如图所示，在 中，设 分别为内角 的对边，已知 ， ．(1)求角 ；
(2)若 ，过 作 的垂线并延长到点 ，使 四点共圆， 与 交于点 ，求四边形
的面积．
2．如图，在梯形 中， ， ．
(1)若 ，求 周长的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．
3．（2024·全国·模拟预测）在 中，已知 ．
(1)求 ．
(2)若 ， 的平分线交 于点 ，求 ．
4．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，
边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，角A为△ABC的内角，且
．
(1)求角A的大小；
(2)如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为 ，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边
AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．
6．（2024·全国·模拟预测）在 中，角 ，的对边分别为 ， 的面积为 ，
．
(1)求角 ．
(2)若 的面积为 ， ， 为边 的中点，求 的长．
7．（2024·四川成都·三模）在 中， ．
(1)求 的长；
(2)求 边上的高．8．（2024·江苏南通·三模）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 边上的高为1，求 的周长．
9．（2024·高三·河南·开学考试）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 边上的高为 ，求 ．
10．（2024·高三·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
11．在 中，设 ， ， 分别表示角 ， ， 对边．设 边上的高为 ，且 ．
(1)把 表示为 （ ， ）的形式，并判断 能否等于 ？说明理由．
(2)已知 ， 均不是直角，设 是 的重心， ， ，求 的值．
12．（2024·江苏苏州·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．(1)求角 ；
(2)若 ，点 为 的重心，且 ，求 的面积．
13．（2024·河南开封·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
为 的重心．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的面积．
14．（2024·辽宁抚顺·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)若 ，点 为 的重心，且 ，求 的面积．
15．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.
(1)若 ，求 的面积.
(2)是否存在正整数b，使得 的外心在 的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理
由.
16．（2024·湖北·模拟预测）已知 的外心为 ， 为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：
(2)若 ， ，求 的最大值.17．在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求 的值；
(2)当 与 边上的中线长均为2时，求 的周长；
(3)当 内切圆半径为1时，求 面积的最小值.
18．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆周长的最大值.
19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 的周长为20，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 的内切圆半径为 ， ，求 的值．
20．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，
， 的内切圆 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)若点 在 上，且 三点共线，求 的值.21．（2024·贵州·模拟预测）在 中， ， ， ， 为 的中点， 的角平
分线 交 于点 .
(1)求 的长；
(2)求 的面积.
22．（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
23．（2024·甘肃陇南·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为 .已知
(1)求b；
(2)D为边 上一点， ，求 的长度和 的大小.
24．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， ， ， ，．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
