文档内容
第 08 讲 拓展三：三角形中面积（定值，
最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
高频考点三：求三角形面积最值
高频考点四：求三角形面积取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
.
(1)求角C；
(2)若 ， 的面积 ，求S.
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，则 .
(2)由 ，根据面积公式，得 ，所以 .
由余弦定理得 ，整理得 ，即 ，
所以 ， .
所以 的面积
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的面积为 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，
由正弦定理，得 ，整理得 ，由余弦定理，得 .
因为 ，所以 .
(2)设 外接圆的半径为 ，则 ，所以 .
由正弦定理，得 ，所以 .
因为 ， ，所以 是等边三角形.
所以 的面积为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，且 ， ，求△ 的面积.
【答案】(1) ；(2) .
(1)由已知及正弦定理得： ，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，则 ，而 ，
∴ ，则 ，故 ，得 .
(2)由 ， ，则 .
法一：在△ 中， ，①
在△ 中， ，②
∵ ，
∴ ，③由①②③得： ，又 ，得 ，
∴ ，不妨设 ， ，
在△ 中，由余弦定理可得， ，得 ，
所以 .
法二： .
∵△ 的边BD与△ 的边DC上的高相等，
∴ ，由此得： ，即 ，不妨设 ， ，
在△ 中，由余弦定理可得， ，得 ，
所以 .
4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意得：
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以
又因为 ，所以 .
所以 ， ；(2)若 ，由正弦定理 ，得 ，
则 ， ，
则 ，
所以 .
5．（2022·全国·高三专题练习）在① ，② ，③
中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且________．
(1)求角 的大小；
(2)已知 ， 为 中点，且 ，求 面积．
【答案】(1)选① ；选② ；选③
(2)选① ；选② ；选③
(1)解：选①： ，
由正弦定理可得： ， ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
选②： ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
，
所以 ， ， ，
选③： ，由正弦定理可得： ，
可得：
可得： ，
， ，解得 ，
， ．
(2)解： ， 为 的中点， ，
， ，
，即 ，
， ，
（另一值不符合题意，舍去 ， ，
在 中，由余弦定理有 ，解得 ，
．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量 ， ，且 ；②
这两个条件中任选一个填入横线上并解答．
在锐角三角形 中，已知角 ， ， 的对边分别为 ， ，c，．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) (2)
(1)选择①：
因为 ，所以 ，由正弦定理得， ，
即 ，即 ，即 ，
即 ．因为 ，
又 为锐角，所以 ．
选择②：
因为 ，
由正弦定理得， ，
即 ．
又 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
又 为锐角，所以 ， ．
(2)因为 ，
所以 ，则 ．
(法一)由余弦定理得， ．①
因为 为锐角三角形，所以 即
将①代入上式可得 即 解得 ．
令 ，，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，即 的取值范围为 ．
(法二)由正弦定理得 ，又 ，所以 ．
因为 为锐角三角形，所以 解得
因为 ，所以 ， ，
即 ，解得 ．
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，即 的取值范围为 ．
2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知 ，且三角形外接圆半径为 .
(1)求C的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
(1)因为 ，所以由正弦定理得 ,
所以 ，
所以 ,
即
， ， ， .
(2)因为 的面积为 ，所以 ，解的 ，
三角形外接圆半径为 ， ，解得 ，
由余弦定理可得， ，所以 ，
,
.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在 中， ， ， 是边
上一点.
(1)若 是以 为斜边的等腰直角三角形，求 的长；
(2)若 是边 的中点， 的面积为 ，求 的长.
【答案】(1) ；(2) .
(1)由 ， ， 是以 为斜边的等腰直角三角形
所以 ， ， ，
则 .
在△ 中，由正弦定理知 ，则 .
(2)由 ，则 .
又 是边 的中点，
所以 ，
则 ，
故 .
4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
， ，且 ．
(1)求角A
(2)若c＝2，且△ABC的面积为 ，求AC边上的中线BM的大小．
【答案】(1) (2)
(1)因为 ， ， ，所以 ．
由正弦定理得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以 ；
(2)因为△ABC的面积为 ．所以 ．
因为c＝2． ．所以 ．
在三角形ABM中，∵M为AC的中点．∴ ，由余弦定理得
．
所以 ．
5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任
意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
的顶点”.如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为
， ， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
(1)解：由 ，
得 ，
即 ，
即
即 ，∵ ，∴ ，
由正弦定理得 ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
(2)解：如图，连接 ､ ，则 ， ，
正 面积 ，∴ ，
而 ，则 ，
∴ 中，由余弦定理得： ，
有 ，则 ，
在 中， ， ，由余弦定理得 ，则 ，
∴ ， ，∴ ，所以 的周长为 .
高频考点三：求三角形面积最值
1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习） 中，
(1)若
(2)求三角形面积的最大值
【答案】(1)1(2)
(1)已知 ， ，由余弦定理有： ，
，所以 .(2)由余弦定理有， ，当且仅当“ ”时取等，所以
.所以 ，三角形面积的最大值为： .
2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在 中， ， 分别为内角 ， 的对边长，设
向量 ， ，且有 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求三角形面积的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)由 得： ；即
因为 ，所以
(2)由 得：
又 ∴
∴
∴ .
三角形面积的最大值为 .
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设 的三边分别是 ， ， ，周长为2，若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） ．
（1）
，又 ，所以 ，，故 的取值范围为 ．
（2）由 可得， ，而 ，所以 ，解得 ．
由于 ，又 ，所以 ，化简可得，
，
而 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，解得
（舍去）或 ，即有 ，
故 面积的最大值为 ．
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 中， 所对的边分别为 ，向量
，且 .
（1）求角A的大小；
（2）若 外接圆的半径为2，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
（1）依题意得： ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ ， ，故 .
（2）法一：由正弦定理得 ， ，
∴ 面积
由 得： ，则 ，
∴ ，故 ，即 时， .
法二：由正弦定理得： ，由余弦定理得： ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ， .5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) .
(1)解：在 中，因为 ，
所以由正弦定理有 ，
即
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： .
(2)解：因为 ，所以由（1）及余弦定理可得 ，
则 ，即 ，
，则 ，即 ，
即 ，当且仅当 时，取等号，所以 ，
所以 的面积的最大值为 .
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)．
(1)求A和b；
(2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有 ，求△EAF面积
的最小值．
【答案】(1) (2)
(1)由正弦定理得： 即： (R为三角形ABC的外接圆半径)，故 ，
由 得： ，
则 ，因为 ，故 ；
由等腰三角形ABC可得 ，故 ；
(2)由（1）知： ，
由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ，
知点 在点 的左边,如图：
设 ， 不变，可知 ,
在 中，由正弦定理可得 ，
，
在 中，由正弦定理可得 ，
，
故
， ，
，
三角形 的面积的最小值为 ，此时 ．
7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三
角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知
， ， ， .
(1)若 时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
(2)当 为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【答案】(1) ；(2) ，最小值为 .
(1)由 ， ， ，则 ，
所以 ， ，则 ，
在△ACM中，由余弦定理得 ，则
，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，则 ，
综上，护栏的长度（△MNC的周长）为 .
(2)设 ，
在△BCN中，由 ，得 ，
在△ACM中，由 ，得 ，
所以 ，
而
，
所以 ，仅当 ，即 时， 有最大值为
，
此时△CMN的面积取最小值为 .8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形 的地块建造小老虎的
休息区和活动区．如图， ， （单位：米），E、F为BC上的两点，且 ，
区域为休息区， 和 区域均为活动区．设 ．
(1)求 、 的长（用 的代数式表示）；
(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当 为多少时，
活动区的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1) 米， 米；
(2)当 为 时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为 平方米.
(1)由题意得， 米， ，则 ，
又由 ， ，
，所以 ；
在 中，由正弦定理得：
，即 米；
同理，在 中，
，即 米；
综上所述： 米， 米.
(2)由（1）知，综 米， 米，
所以小老虎休息区 面积为:
化简得：又 ， ，
则当 ，即 时， 取得最小值 ；
此时小老虎活动区面积 取得最大值，即
平方米.
综上所述：
当 为 时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为 平方米.
高频考点四：求三角形面积取值范围
1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知 的内角 ､ ､ 所对的边分别为 ､ ､ ，且
， .
(1)求 和 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围.
【答案】(1) ， (2)
(1)因为 ，
由正弦定理得， ，即 ，
由余弦定理得， ，所以 ，
又 ，所以 .
因为 ，由余弦定理得，
，
可得
所以 ， .
(2)由（1）知 ， ，由正弦定理得，
， .因为 为锐角三角形，所以 ，得 .
从而 的面积
，
又 ， ，所以 ，
从而 的面积的取值范围为 .
2．（2022·四川绵阳·高一期中）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
(1)解：由 得 ，
即 ，
又 ，所以
因为 ，故 .
(2)解： ，
由正弦定理知： .因为 是锐角三角形，所以 ,
所以 ，
于是 ，则 .
故 .
3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习） 中，角 所对的边分别为 ，已知
，且 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的面积的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意，向量 ，
因为 ，可得 ，
又由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
可得 ，所以 或 ，
又因为 ，所以 .
(2)解：由（1）结合正弦定理 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，又由 为锐角三角形，且 ，则 ，解得 ，
因为 在 单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，
c，已知 ．
(1)求角B的值；
(2)若 为锐角三角形，且c＝1，求 的面积S的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)由已知及正弦定理，得 ，
即 ，即 ，即 ．
由余弦定理，得 ，因为 ，所以 ．
(2)因为 ，c＝1，由正弦定理，
得
所以
因为 为锐角三角形，则 ，
从而 ，所以
5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知
．
(1)求角B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 ，求△ABC的面积S的取值范围．
【答案】(1)60°；(2) ﹒(1)∵ ，
∴由正弦定理得 ，即 ，即 ，
即 ，
由余弦定理得 ，∵ ，∴ ；
(2)∵B=60°，∴ ，即A=120°-C，又∵ ，
∴由正弦定理得 ，
∴ ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ，解得 ，
从而 ，∴ ．
6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角C的大小；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
(1)由正弦定理可得
整理得
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 或
(2)因为 ，所以 ，
由正弦定理可得
因为 是锐角三角形，所以 ，所以
所以
所以 ，
可得
即 面积的取值范围为
7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若 ， ， 为角C的平分线，求 的长；
(3)若 ，求锐角 面积的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：由 及正弦定理得
所以
∴ ，∴
∵ ，∴
(2)解：设 由 得
.
解得 ，即角平分线 的长度为
(3)解：设 外接圆半径为R，由
，即 ，即 ，∴
所以 的面积
∵ ，∴ ，∴
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴
第三部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
（1） ，则由正弦定理可得 ，， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，
则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
2．（2019·全国·高考真题（理）） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，消去 得 ．
， 因为故 或者 ，而根据题意 ，故
不成立，所以 ，又因为 ，代入得 ，所以 .
(2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ，
故 ，解得 .
又应用正弦定理 ， ，
由三角形面积公式有：
.
又因 ,故 ，
故 .
故 的取值范围是
3．（2017·上海·高考真题）已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）设 为锐角三角形，角 所对边 ，角 所对边 ，若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）
（1）依题意 ，由 得 ，令
得 .所以 的单调递增区间 .
（2）由于 ，所以 为锐角，即 .由 ，得 ，所以.
由余弦定理得 ， ，解得 或 .
当 时， ，则 为钝角，与已知三角形 为锐角三角形矛盾.所以 .
所以三角形 的面积为 .
4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos
（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
【答案】（1） （2）
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝ 或cos A＝－2(舍去)．
因为0
