文档内容
第 04 讲 解三角形
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：正弦定理的应用....................................................................................................................2
题型二：余弦定理的应用....................................................................................................................3
题型三：判断三角形的形状................................................................................................................4
题型四：正、余弦定理的综合运用....................................................................................................5
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用........................................................................6
题型六：解三角形的实际应用............................................................................................................8
题型七：倍角关系..............................................................................................................................12
题型八：三角形解的个数..................................................................................................................16
题型九：三角形中的面积与周长问题..............................................................................................18
02 重难创新练....................................................................................................................................20
03 真题实战练....................................................................................................................................31题型一：正弦定理的应用
1．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则 .
【答案】 或
【解析】在 中， ，
则由正弦定理得 ， ，得 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，
当 时，
故答案为： 或
2．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ，则
.
【答案】 /
【解析】在 中，由 ， ，得 ，
则 ，
由正弦定理理 ，所以 .
故答案为：
3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则角 .
【答案】
【解析】由正弦定理角化边可知， ，整理为 ，即 ，
由于 ，所以 .
故答案为：
题型二：余弦定理的应用
4．在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积为
，则角 = .
【答案】
【解析】由题， ，
故 ， ． ，
， ， ．
故答案为：
5．在 中， ，则角 = .
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理 ，
， .
故答案为：
6．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 中角B的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设 ，则 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 .
故选：D.
题型三：判断三角形的形状
7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在 中， ，则 的形状为 三角形．
【答案】直角
【解析】在 中，由 ，得 ，即 ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
所以 是直角三角形.
故答案为：直角
8．在 中，有 ，试判断 的形状 （从“直角三角形”，“锐角
三角形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
【答案】直角三角形
【解析】由二倍角公式 可知， ，
且注意到在 中，有 ，
因此可将已知 转换为 ，解得 ，
因为 是 的一个内角，所以 ，即 是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
9．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 的形状为
.
【答案】直角三角形或等腰三角形
【解析】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.
10．对于 ，有如下四个命题:
①若 ，则 为等腰三角形，
②若 ，则 是直角三角形③若 ，则 是钝角三角形
④若 ，则 是等边三角形.
其中正确的命题序号是
【答案】③④
【解析】对于① 可推出 或 ，故不正确；
②若 ，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得 ，所以 ，是钝角三角形；
④由正弦定理知 ，由于半角都是锐角，所以 ，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
11．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，满足 ，且
，则 的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．顶角为 的等腰三角形
【答案】D
【解析】由题
即 ，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故 为顶角为 的等腰三角形
故选D
题型四：正、余弦定理的综合运用
12．（2024·北京西城·三模）在 中，若 ， ， ，则 ， .
【答案】 /
【解析】由正弦定理 ，有 ，所以 ，由余弦定理 ，有 ，
解得 .
故答案为： ， .
13．（2024·贵州六盘水·三模）在 中， ， ， ，则 外接圆的半径为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，由余弦定理可得：
，
设 外接圆的半径为 ，由正弦定理可得： ，则 ．
故选：B．
14．设 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则
（ ）△
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，由正弦定理有 ，
根据余弦定理有 ，
且 ，故有 ，即 ，
又 ，所以 .
故选：D .
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的定义域和值域；(2)已知锐角 的三个内角分别为A，B，C，若 ，求 的最大值.
【解析】（1） ，
所以要使 有意义，
只需 ，即 ，
所以 ，解得
所以函数 的定义域为 ，
由于 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ；
（2）由于 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 即 ，
由锐角 可得 ，所以 ，
由正弦定理可得
，
因为 ，所以 所以 ，
所以 的最大值为2.
16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 .
（1）若 ，求 的值.
（2）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围.【解析】（1）
由 可得： .
.
（2）由余弦定理得： ，整理可得： ，
， ，
又 ， ， ，
，则 ，
，即 的取值范围为 .
17．在 中，角 的对边分别为 .已知向量 ，向量 ，且
.
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
【解析】（1）
，解得：
（2）由余弦定理得：
由正弦定理 得：
为锐角题型六：解三角形的实际应用
18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的 两座炮台， 在 的正东方.某次演习时，
向西偏北 方向发射炮弹， 则向东偏北 方向发射炮弹，其中 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公
里外的同一目标，接着 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点 ，则 炮台与弹着点
的距离为（ ）
A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里
【答案】D
【解析】依题意设炮弹第一次命中点为 ，则 ， ，
， ，
在 中 ，
即 ，解得 ，
所以 ，又 为锐角，解得 （负值舍去），
在 中
，
所以 ，即 炮台与弹着点 的距离为 公里.
故选：D
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测
量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔
的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得
，在点A处测得点C，D的仰角分别为 ， ，在点B处测得点D的仰角为 ，则塔高CD为 m．
【答案】20
【解析】在 中，延长 与 的延长线交于点E，如图所示.
由题意可知， ，
因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，
所以 三点在同一条直线上.
所以 ，
所以 为等腰三角形，
即 .
设 ，即 ， ，
在 中，由余弦定理得
,
即 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳
阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 ，他首
先在 处，测得楼顶 的仰角为 ，然后沿 方向行走22.5米至 处，又测得楼顶 的仰角为 ，则
楼高 为 米．【答案】
【解析】 中， ， ， ，
中， ， ， ，
因为 米，所以 ，
解得：
故答案为：
21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡
度 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第
一排和最后一排的距离为 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国
旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
【答案】 /【解析】
如图所示，依题意知 ，
，
由正弦定理知 （米），
∴在 中， （米），
∵国歌长度约为46秒，
∴升旗手升旗的速度应为 ＝ （米/秒）．
故答案为： ．
22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段 、 是救
生栈道的一部分，其中 ， ， 在 的北偏东 方向， 在 的正北方向， 在
的北偏西 方向，且 ．若救生艇在 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道 ，则最短
距离为 m．(结果精确到1 m)
【答案】
【解析】作 交于E，由题意可得如图：
，所以 ，
，
在 中，由正弦定理可得：
，
所以 ，
所以 ，
，
在直角 中， ，
故答案为：475.
题型七：倍角关系
23．（多选题）（2024·河北·三模）已知 内角A、B、C的对边分别是a、b、c， ，则（ ）
A． B． 的最小值为3
C．若 为锐角三角形，则 D．若 ， ，则
【答案】BCD
【解析】由 ，得 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
则 ，当 时， ，即 ，
当 时， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选项A错误；
由 ，则 ，当且仅当 时，故选项B正确；
在 中， ，由正弦定理，，
若 为锐角三角形，又 ，则 ，故 ，
所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，故选项C正确；
在 中，由正弦定理 ，又 ， ， ，
得 ，则
由余弦定理， ， 得 ，
整理得 ，解得 ，或 ，
当 时，有 ，又 ，所以 ，
因为 ，则 不成立，故选项D正确.
故选：BCD.
24．在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由余弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 （舍去），
所以 ，，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
25．设 的内角 所对边的长分别是 ，且 为 边上的中点，且 ，
则 ．
【答案】
【解析】 中，由 ，可得 ，
则 ，则 ，整理得 ，
即 ，又 ，则 ．
中， 是 边上的中点，且 ，则
，
则有 ，解之得
则 ．
故答案为：
26．在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求a边的范围；
(3)求 的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，代入可得 ，
即 ，
因为 ， ，则 ，故 ，
所以 或 ，即 或 （舍去），
所以 ．
法二：由正弦定理可得： ，
则 ，
则 ，
又 ，故 ，
因为 ， ，则 ，故 ，
所以 或 ，即 或 （舍去），
（2）因为 为锐角三角形， ，
所以 ，
由 ，解得 ，
又 故 ．
（3）由（2）知 ．
由 ，
，
令 ，则 在 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ．题型八：三角形解的个数
27．（2024·北京朝阳·一模）在 中， ， ， ．
（1）若 ，则 ；
（2）当 （写出一个可能的值）时，满足条件的 有两个．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】（1） ， ，
， ，
由余弦定理， ，即 ，
解得 .
（2）因为 , ,
所以当 时，方程有两解，
即 ，
取 即可满足条件（答案不唯一）
故答案为： ；6.
28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
，给出下列条件中：① ，② ，③ ，能使 有两解的为 .（请
写出所有正确答案的序号）
【答案】②③
【解析】选择①，由余弦定理，得 ，解得 ，所以
只有一解.故①错误；
选择②，因为 ，所以 ,由正弦定理，得 ，解得 ，
所以 ,所以 有两解，故②正确；
选择③，由 ，得 ,解得 ，因为 ，
所以 或 ，所以 有两解，故③正确；
故答案为：②③.29．已知 分别是 内角 所对的边，若 ， ，且 有唯一解，则 的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由正弦定理 ，可得 ，
当 时， ，此时 唯一；
当 时， 有两个值， 不唯一；
当 时， ，即 ， ， 唯一，
综上可得，实数 的取值范围是 .
故答案为：
30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形
成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁 和临秀亭 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖
相望的 、 两地之间的距离，某同学任意选定了与 、 不共线的 处，构成 ，以下是测量数据
的不同方案：
①测量 、 、 ；
②测量 、 、 ；
③测量 、 、 ；
④测量 、 、 ．
其中一定能唯一确定 、 两地之间的距离的所有方案的序号是 ．
【答案】②③
【解析】对于①，由正弦定理可得 ，则 ，
若 且 为锐角，则 ，此时 有两解，
则 也有两解，此时 也有两解；
对于②，若已知 、 ，则 确定，由正弦定理 可知 唯一确定；对于③，若已知 、 、 ，由余弦定理可得 ，
则 唯一确定；
对于④，若已知 、 、 ，则 不确定.
故答案为：②③.
题型九：三角形中的面积与周长问题
31．（2024·山东·模拟预测） 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的面积为 .
【答案】1
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，且 ,
所以 ，则 .
故答案为：1
32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，
且 ．
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长．
【解析】（1）由 可知 ，
由正弦定理，得 ，
即 ．
所以 ，
又 ，
所以 .
（2）由（1）知 ．
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 ，即 ．
所以 的周长为 ．
33．（2024·北京西城·二模）已知函数 ．在 中， ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【解析】（1）由函数 ，
因为 ，可得 ，
在 中，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知 ，因为 的面积为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
整理得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 的周长为 .
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，则 的外接圆的面积 ．
故选：A．
2．（2024·重庆·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
所以三角形 的面积为 .
故选：A
3．（2024·新疆喀什·三模）在 中， ， ， ， 是 边一点， 是
的角平分线，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
其中 ， ，
所以 ， ，
故 ，
又 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 ，
故 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 .
故选：A
4．（2024·陕西·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，若 的面积为 ，周长为 ，则AC边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，由正弦定理及 ，
得 ，即 ，由余弦定理得 ，
则 ，由 的面积为 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，又 ，因此 ，
令AC边上的高为 ，则 ，所以 .
故选：B
5．（2024·湖南衡阳·三模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， 为AC的中点，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A【解析】由已知 ，在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，又 ，故 .
故选：A.
6．（2024·北京·三模）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，
则 的周长为（ ）
A．10 B．11 C． D．12
【答案】C
【解析】在四棱锥 中，连接 交于 ，连 ，则 为 的中点，如图，
正方形 中， ， ，
在 与 中， ，则 ≌ ，
于是 ，
由余弦定理得 ，
所以 的周长为 .
故选：C
7．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
即 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，而 ，
由余弦定理得 .
故选：A
8．（2024·浙江绍兴·三模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
如图，过B点作 于D，可知 ，
，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
故选：D.
9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在 中，面积 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．若 是锐角三角形，则
C．若 ，则
D．若角 的平分线长为 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A，由 ，得 ，则 ，
而 ，解得 ，A正确；对于B，锐角 中， ， ，
，则 ，B正确；
对于C，当 时，则 ，当且仅当 时取等号，
则 ，C正确；
对于D，由三角形面积公式得 ，则 ，
即 ，因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D错误.
故选：ABC
10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在 中， 所对的边为 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
【答案】ABC
【解析】选项A，若 ，由余弦定理 ，得 ，所以 ，
则三角形面积 ，A正确；
选项B，由基本不等式可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
由余弦定理可得 ，
则 ，B正确；
选项C，因为 边上的中点为 ，所以 ，
而 ，即 ，则 ，
所以，故C正确；
选项D，因为 ，即 ，
所以由余弦定理得 ，
又 ，且函数 在 上单调递减，所以 ，D错误.
故选：ABC.
11．（多选题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 有两解
B．若 ， ，则 的面积最大值为
C．若 ， ， ，则 外接圆半径为
D．若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ，所以 ，
所以如图 有两解，所以A正确，
对于B，因为 ， ，所以由余弦定理得 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以当 的面积最大值为 ，所以B错误，
对于C，因为 ， ， ，所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，得 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，
故选：AC
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，三角形面积
为12，则 ．
【答案】6或8
【解析】在 中，因为三角形面积为12，所以 ，
解得 ，所以 ．
当 时，由余弦定理得 ，解得 ；
当 时，由余弦定理得 ，解得 ，综上， 或
．
故答案为：6或8.
13．（2024·新疆·三模）在 中， ， .则 .
【答案】
【解析】由正弦定理， ，
所以由 可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
14．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，已知 ， ， ，则 ．
【答案】 / .【解析】由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
15．（2024·湖南长沙·三模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是边 上的一点，且 平分 ，求 的长.
【解析】（1）由题意得 ，所以 .
由正弦定理，得 ，即 .
又 ，所以 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 .
（2）由 ，得 ，解得 .
由 ，
得 ，
即 ，
所以 .
16．（2024·江西新余·二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 的面积
.
(1)求角B；
(2)若 的平分线交 于点D， ， ，求 的长.
【解析】（1）在 中， ，而 ，即 ， ，
由余弦定理得 ，所以 .
（2）在 中，由等面积法得 ，
即 ，
即
所以 .
17．（2024·天津南开·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ，
.
(1)求证： ；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【解析】（1）因为 ，
又由余弦定理 ，
可得 ，
由 知 ，
所以 ，
（2）由（1）及正弦定理得 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
解得 ．
（3）由（2）知 ，所以 ， ，
因为 ，即 ，
则 ，或 ，
当 时，
．
当 ，B为 ，此时 ．
18．（2024·天津河北·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，求 的值和 的面积；
(2)在（1）的条件下，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，即 ，
化简得 ，解得 或 (舍)， ，
，
的面积 .
（2） ，
，
.
（3）在 中，由正弦定理得 ，，化简得 ，
由余弦定理得 ，
，解得 （负值舍去），
所以 .
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在 中，记角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 ；
(2)已知点 在 边上，且 ， ， ，求 的面积．
【解析】（1） ，由正弦定理可得 ，
，
，
， ，
；
（2）设 ， ， ， 或4，
当 时， ， ，此时三角形为正三角形，
当 时， ， ，
满足 ，此时三角形为直角三角形， ．1．（2024年上海高考数学真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A
满足 ，则 (精确到0.1度)
【答案】
【解析】设 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ’
即 ①
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，即 ，②
因为 ， 得 ，
利用计算器即可得 ，
故答案为： .
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知 中，点D在边BC上，
．当 取得最小值时， ．
【答案】 /【解析】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【解析】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
4．（2024年北京高考数学真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,
则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
6．（2024年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，
所以
7．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
【解析】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【解析】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，.
10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积
为 ， 为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，
c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【解析】（1）由题意得 ，则
，即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【解析】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
14．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（2）因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
15．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【解析】（1）因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
16．（2022年新高考全国I卷数学真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
