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§4.8 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)sin A＝， cos B＝；
sin B＝，sin C＝； cos C＝
(3)a∶b∶c
＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos Asin B，则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝
30°，则c等于( )
A．8 B．4
C． D．
答案 A
解析 由S ＝acsin B＝×2c×＝4，得c＝8.
△ABC
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝
.
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sin C＝＝＝，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果
式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
(1)证明 方法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
结合正弦定理＝＝，
可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*)．由余弦定理可得
accos B＝，
abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos
A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B
＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，＝sin2，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cos B＝1－2sin2，
得sin2＝，所以＝，
即cos B＝.
方法一 由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，又角C为△ABC的内角，
所以C＝，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
延伸探究 将本例(2)中的条件“＝sin2”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断
△ABC的形状．
解 因为＝，所以由正弦定理得＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理得cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝c，cos C＝.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理＝，
得sin A＝.
因为cos C＝，所以sin C＝，
又＝，所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，
因为a＝0)，则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·＝k2＋2k＋
4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·＝4k2
－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，
即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，BD＝k＝－1.
8．(2023·宜春模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝
4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案
解析 ∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，sin Bsin C>0，
结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
∴sin A＝，∵b2＋c2－a2＝8，
结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得2bccos A＝8，
∴A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，
∴△ABC的面积为S＝bcsin A＝××＝.
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B为三角形内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，
∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.
10．(2023·湖州模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bsin＝asin B.
(1)求角A的大小；
(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．
解 (1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，即tan A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝
＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，
∴△ABC为等边三角形．
11．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是( )
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2BB，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，
故B正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A＋sin2B0，sin B>0，所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
所以≥，
由sin Asin Bsin C＝，得＝32sin C，
所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．
13．(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin A＝acos C，
c＝2，ab＝8，则a＋b的值是 ．
答案 6
解析 ∵csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，故tan C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝，
再由余弦定理得cos C＝＝＝，
代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.
14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边的中线AD＝，那么BC＝ .
答案 9
解析 在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，
在△ACD中，结合余弦定理得cos∠ADC＝，
由题意知BD＝CD，∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，解得CD＝，
所以BC＝9.
15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积
S ＝，则下列命题正确的是( )
△ABC
A．△ABC的周长为5＋
B．△ABC的三个内角A，B，C满足关系A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为
答案 ABD
解析 因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
所以a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，
利用余弦定理cos C＝＝＝，
由于C∈(0，π)，所以C＝.
对于A，因为S ＝，
△ABC所以absin C＝·2t·3t·＝，解得t＝1.
所以a＝2，b＝3，c＝，
所以△ABC的周长为5＋，故A正确；
对于B，因为C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正确；
对于C，利用正弦定理 ＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；
对于D，如图所示，
在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，
又a
