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考点巩固卷 09 解三角形（七大考点）
考点01：正余弦定理的应用条件
《正弦定理》
①正弦定理：②变形：
③变形：
④变形：
⑤变形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②变形：
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《 》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
1．在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
， ，且 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】根据正弦定理角化边，由三角形面积公式求 ，再结合余弦定理，即可求解 .
【详解】由正弦定理角化边，可知， ，且
则 ， ，则 ，
则 ，①
由余弦定理 ，②
试卷第2页，共3页由①②得， ，即 .
故选：B
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得 ，再由 ，结合正
切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得 ，即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可得 ，
其中 ，则 ，所以 ，
又 ，
化简可得 ，
且 为锐角三角形，则 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍），
所以 ，当且仅当 时，等号成立，则 的最大值为 .
故选：B
3．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正、余弦定理边角转化可得 ，再利用正弦定理解得 ，根据大
边对大角结合同角三角关系分析求解.
【详解】因为 ，则 ，
由正弦定理可得 ，整理可得 ，
则 ，且 ，所以 .
由正弦定理 可得 ，
且 ，则 ，所以 .
故选：A.
4．在锐角 中， ， ， 分别为三个内角 所对的边，且 ，则角
为（ ）
试卷第4页，共3页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用正弦定理边化角，化简整理即可得结果.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
且角 为锐角，则 ，可得 ，即 ，
且角 为锐角，所以角 为 .
故选：D.
5．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理可得 ，结合 ，可求 ，可求 .
【详解】由 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以可得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：D.
6．记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得 ，即可求解.【详解】 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，得 ，故 ，则 ，
所以 为正三角形.
故选：B
7．在 中，角 的对边分别是 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
【详解】在 中，由正弦定理及 ，得 ，
设 ， ， ，所以 .
故选：A
8．若 的内角 ， ， 对边分别是 ， ， ， ，且
，则（ ）
A． 外接圆的半径为 B． 的周长的最小值为
C． 的面积的最大值为 D．边 的中线 的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；
对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得 的最值及 的最值；对于D，根据
试卷第6页，共3页向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值.
【详解】对于A： ，由正弦定理得
，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，则 ， 令 外接圆的半径为 ,
根据正弦定理可得 ，即 ，故A正确；
对于C：由余弦定理知 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 的最大值为 ，故C正确；
对于B：由C知 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 ，故B错；
对于D：因为 为 边上的中线，
所以 ， ，
得 ，因为 ，所以 的最小值为 ，故D正确；
故选：ACD.
9．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到 ，利用正弦定理“边化
角”化简得到 ，因此最大值即 .
【详解】 中， ， ，
所以 ，所以 ，
根据正弦定理， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
由 为三角形内角可知， ，
根据正弦定理， ，
所以
，
其中 ， ，
当 时取得最大值 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
试卷第8页，共3页10．已知 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到 ，求得 ，且 ，结合三角形
的性质，得到 ，再由正弦定理得到 ，进而求得
，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
可得 ，
因为 为 的内角，所以 ，则 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
考点02：三角形的多解问题
在 中，已知 和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：
一解一解
两解无解
②若A为直角或钝角时：
11．记 的内角 的对边分别为 .已知 ，若角 有两解，则 的
值可以是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由正弦定理先计算出 ，而角 有两解，则需要满足 且 是最大边进
而求出 的范围.
【详解】角 有两解，即角 有两解，由正弦定理可知：
，
试卷第10页，共3页角 要有两解，则需满足 且 ，解得： .
故选：C
12．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列与 有关的结论，
正确的是（ ）
A．若 是边长为1的正三角形，则
B．若 ，则 为等腰直角三角形
C．若 ， ， ，则这样的三角形有且只有两个
D．若 ， ， 为 外心，则
【答案】CD
【分析】根据向量数量积的定义即可判断A，由正弦定理及二倍角公式可判断B，根据已
知两边及一边对角三角形解的个数的判断方法判断C，根据向量的数量积的运算律判断D.
【详解】对A， ，故A错误；
对B，由正弦定理可得 ，即 ，
由 ，所以 或 ，即 或 ，
所以三角形为等腰或直角三角形，故B错误；
对C，因为 ，所以三角形有两解，故C正确；
对D，如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故D正确；
故选： CD
13．在 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 必有两解
C．若 是锐角三角形，则
D．若 ,则 为锐角三角形
【答案】BC
【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数
可判断B； 由已知得 ，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦
公结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得 ， ， 或
即 ， 为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B， ，即 ， 必有两解，故B
正确；
对于C， 是锐角三角形， ，即 ，由正弦函数性质结合
诱导公式得 ，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知 ，即
，即 ， ，
即C为锐角，不能说明 为锐角三角形，故D错误.
试卷第12页，共3页故选：BC.
14．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则符合条件的 恰有两个
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是直角三角形
【答案】ABD
【分析】对于A，求出 与 比较即可，对于B，利用正弦定理统一成角的形式再结
合三角恒等变换公式化简判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式化简进行判断，对
于D，利用三角函数恒等变换公式化简进行判断.
【详解】对于A，设 边上的高为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，所以符合条件的 恰有两个，故A正确；
对于B,若 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，或 （舍去），
所以 是等腰三角形，故B正确；
对于C,若 ，由余弦定理得 ，所以 ，化简得 ，
所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D,若 ，所以
，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 或 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 是直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
15．已知 内角 对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 的三角形有两解
【答案】ABD
【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件 即可；对于B，由余弦定理得
，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得 ，即 为锐
试卷第14页，共3页角，无法判断 的情况；对于D，利用正弦定理得 ，即可判断三角形解的个数.
【详解】对于A，因为 ，则由正弦定理 可得，
，所以 ，即 ，故A正确；
对于B，由余弦定理得 ，
化简得 ，故 为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理 ，
因为 ，所以 ，故只能判断 为锐角，无法判断 ，故C错误；
对于D，若 ，则由正弦定理得 ，
因为 ，所以三角形有两解，故D正确；
故选：ABD.
16．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，以下判断正确的是
（ ）
A．若 ，则 的面积为 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 有两解，则
【答案】ACD
【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余
弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和 且 即可判断D.
【详解】A：若 ，则 ，故A正确；
B：若 ，由正弦定理得 ，即 ，解得 ，故B错误；
C：若 ，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，由 解得 ，故C正确；
D：由正弦定理得 ，则 ，
由 得 ，若 有两个解，则 且 ，
所以 ，即 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD
17．在 中，内角 所对的边分别为 , ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．当 时， 最小值为
C．当 有两个解时， 的取值范围是
D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对于A，利用数量积的定义计算即得；对于B，结合图形，化简 ，将
问题转化成点到直线距离的最小值问题；对于C，利用正弦定理和三角函数的值域，结合
图形即得；对于D，利用正弦定理，求得 由题意求出 ，结合正弦函数
试卷第16页，共3页的图象即得范围.
【详解】对于A，因 ，故 ，即
A错误；
对于B， 如图，因当 时， 与 共线，故可设 ,
则 ,故 ，
由图知，当且仅当 时 取最小值，
此时 ，即B正确；
对于C，由正弦定理， ， ，
当 有两个解时，须使 且 ， 的取值范围是 ，故C正确；
对于D，因 ， ,
当 为锐角三角形时， ,解得， ,则 ， ,
由正弦定理， 故 的取值范围是 ，故D正确.
故选：BCD.
18．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ， 的三角形有两解，则 的取值范围为
【答案】AB
【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二
倍角公式判断C.
【详解】对于A，因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，故A正确；
对于B，由余弦定理 ，可知 为钝角，即 为钝角三角形，故B
正确；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 或 ，即 或 ，
即 为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以 ，即 ，即 的取值范围为
，故D错误．
故选：AB．
19．已知 的内角 所对的边分别为 ，下列四个命题中正确的命题是
（ ）
A．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
B．若 ， ， ，则符合条件的 有且只有一个
C．若 ，则 一定是锐角三角形
D．若 ，则 一定是等腰三角形
【答案】AB
【分析】对于A，解出可能的 即可；对于B，求出可能的 即可；对于C，给出反例
试卷第18页，共3页即可；对于D，给出反例 即可.
【详解】对于A，由余弦定理可知 ，即 .
所以 或 ，经验证 和 均满足条
件，从而 的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确；
对于B，由余弦定理可知 ，即 ，
且经验证 符合条件，从而 的三边有唯一的取值情况，所以B正
确；
对于C，若 ，则 是直角三角形，但 ，所以C错误；
对于D，若 ，则 不是等腰三角形，但此时由
可知 ，故 ，所以D错误.
故选：AB.
20．在 中， ， ，若 存在且唯一，则 的一个取值为 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.
【详解】在 中， ， ，由正弦定理 ，得 ，
由 存在且唯一，知 或 且 ，解得 或 ，而 ，
所以 的一个取值为5.
故答案为：5
考点03：判断三角形形状问题
Ⅰ：特殊三角形的判定：
（1）直角三角形勾股定理： ，
互余关系： ， ， ；
（2）等腰三角形
， ；
Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形状（最大角 的余弦值的符号）
（1）在 中， ；
（2）在 中， ；
（3）在 中， ；
21．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形
状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可.
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形.
故选：B
22．在 ABC中，若c＝2a cos B，则 ABC的形状为（ ）
△ △
试卷第20页，共3页A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．非等边三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为 ，化 ，再通过三角恒等变形，
即可得证.
【详解】由正弦定理知 (R为三角形外接圆的半径)，
故 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，即 ．故 为等腰三角形．
故选：B.
23．若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案
【详解】设 ，该三角形的最大角为 ，
由余弦定理得 ，
故 为钝角，三角形形状为钝角三角形.
故选：C
24．记 的内角 的对边分别为 ，则（ ）
A．当 时， 为直角三角形
B．当 时， 最大角与最小角之和为
C．当 .时，
D．当 时， 为锐角三角形
【答案】ABC【分析】根据余弦定理求解长度，即可判断A，根据余弦定理求解中间角，即可求解B，
根据正弦定理即可求解C，利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解D.
【详解】对于A,由余弦定理可得 ,
由于 ，故 为直角三角形，A正确，
对于B， 三角形的三边长分别为 ，
， ， ，故 ,
则该三角形最大角与最小角之和为 ,B正确，
对于C，由正弦定理可得 ,由于 ，故 ，C正确，
对于D，由 可得
,
所以 ，由于 ,所以 ，进而 ,故 ，因此三
角形为钝角三角形，D错误，
故选：ABC
25．在 中，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角三角形，则
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 为钝角三角形，且 ，则 的面积为 或
试卷第22页，共3页【答案】ABD
【分析】对于A，可以根据大角对大边知道 ，再用正弦定理即可．
对于B, 根据锐角三角形，知道 ，即 ，因为 且
结合 在区间 单调递增，得到 ，再用诱导公式即可．
对于C，切化弦，再用二倍角公式转化即可．
对于D，用余弦定理求出 ，再分类讨论即可．
【详解】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B：因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
因为 且 ， 在区间 单调递增，
所以 ，B正确；
对于C： ，
即 ，即 ，
所以 ，而A,B为三角形内角，
所以 或者 ，
所以 是等腰三角形或者直角三角形，C错误；
对于D：易求出 ，而 ，所以 ，
化简可得 ，解得 或者 ，当 时， ，此时 是最大角且 ，
所以满足钝角三角形，此时 ，
当 时， ，此时 为最大角且 ，
所以满足钝角三角形， ，此时D正确．
故选：ABD.
26．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若 为锐角三角形，则
B．若 ，则 为等腰或直角三角形
C．若 ，则 不一定为直角三角形
D．若 ，则 解的个数为1
【答案】ABD
【分析】对于A，利用 结合诱导公式判断，对于B，利用二倍角公式化简后，再利
用正余弦定理统一成边的形式，化简可判断，对于C，先利用二倍角公式化简已知等式，
再结合正余弦定理化角为边，化简运算即可判断，对于D，利用余弦定理求出 的值，即
可判断.
【详解】对于A，因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，所以 或 ，
所以 为等腰或直角三角形，所以B正确，
试卷第24页，共3页对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 一定是直角三角形，所以C错误，
对于D，由余弦定理得 ，
所以 只有一个解，所以 解的个数为1，所以D正确，
故选：ABD
27．已知a，b，c分别为 内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．若 ， ，且 有唯一解，则 或
D．若 ， 的平分线交AC于点D， ，则 的最大值为9.
【答案】BC
【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由 为锐角三角形，与正弦
函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形
面积可得到 ，将 变为 ，展开后利用基本不等式，即可求得答
案，判断出D的真假．
【详解】对于A，因为 ，由余弦定理可得： ，
所以有 ，整理可得 ，
所以 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若 为锐角三角形，所以 ，故 ，
由正弦函数 在 单调递增，则 ，故B正确．
对于C，若 有一个解，则 或 ，所以 或 ，故C正确．
选项D， 的平分线交 于点 ， ，
由 ，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得 ，即 ，得 ，
得 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，故D错误．
故选：BC．
28．在 中，角 ， ， 所对的边依次为 ， ， ，已知 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B． 为钝角三角形
C．若 ，则 的面积是
D．若 的外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则
【答案】BCD
【分析】由正弦定理可得 ，设 ， ， ，即可判断
A，利用余弦定理求出 ，即可判断B，结合A求出边，再结合B求出 ，最后由
试卷第26页，共3页面积公式判断C，首先由正弦定理求出 ，利用等面积法求出 ，即可判断D.
【详解】因为 ，
由正弦定理 ，可得 ，
设 ， ， ，
则 ，故A错误；
由题意可知， 为最大角，
因为 ，故 为钝角，故B正确；
若 ，则 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 ，故C正确；
由正弦定理得， ，即 ，
由面积公式可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，故 ，故D正确．
故选：BCD．
29．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，下列结论
正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理
即可判断B；通过余弦定理及 可得 或 ，即可判断C；通过求 的
取值范围 ，并将 即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以由 及正弦定理得， ，
由诱导公式得， ，
因为 ，故 ，所以 ，
化解得 ，即 ，
所以 或 ，即 （舍）或 ，故A正确；
对于B，由余弦定理得 ，即 ，得 ，
由 ，所以 (负值舍)，即 有一解，故B错误；
对于C，因为 ，两边平方得 ，
由余弦定理得 ，
由两式消 得， ，解得 或 ，
试卷第28页，共3页由 解得 ，
由 解得 ;
故 为直角三角形，故C正确；
对于D，因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
30．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 不是直角三角形，则
D．若 ，则 为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理及三角形的性质可判定A，由正弦定理及余弦定理可判定B，由正
切的和角公式可判定C，由正弦定理及二倍角公式可判定D.
【详解】对于A，可知 ，而 ，则 ，
，
即满足条件的C只有一个，故A正确；
对于B，若 ，所以 ，则 ，故B正确；
对于C，易知 ，
整理得 ，故C正确；
对于D，若 ，即 ，
又 ，且 的余弦值同号，则 ，即 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：ABC
考点04：三角形面积定值问题
三角形面积公式
①
② 其中 分别为 内切圆半径及 的周长
推导：将 分为三个分别以 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角
形，利用等面积法即可得到上述公式
③ （ 为 外接圆的半径）
推导：将 代入 可得
将 代入
可得
试卷第30页，共3页④
⑤海伦公式 （其中 ）
推导：根据余弦定理的推论
令 ，整理得
31．在 中， ， ， ，则 的面积为 .
【答案】 /
【分析】利用余弦定理求出 ，再求 ,即可由面积公式求解.．
【详解】 中， ， ， ，
由余弦定理得 ,
由于 ，所以 ，
所以 的面积为：
故答案为：
32．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则的面积为 ．
【答案】
【分析】因为 ， ， ，利用余弦定理求出 ，由三角形的面积公式
，即可求得.
【详解】由余弦定理， ，
代入 ， ， ，
得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
则 的面积为 .
故答案为： .
33．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由余弦定理可得答案；
（2）由正弦定理得 ，结合 求出 ，再由三角形的面积公式可得答案.
【详解】（1）由 ，
，
试卷第32页，共3页由 ， ；
（2） ， 由正弦定理得 ①，
又 ②，
联立①②解得 ， ，
．
34．已知锐角 的内角 的对边分别为 ，向量 ，
且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可；
（2）运用面积公式得到方程，结合条件 ,求出 ,再用余弦定理求 即可.
【详解】（1）由题意得 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，则 ，即 ．
因为 ，所以 ．（2）由 ，
得 ，结合 ，得 ．
由余弦定理得 ，
得 ．
35． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可得角 ；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积，可得 ，进而可得周长.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，
则 ；
（2）由已知 ，即 ，
试卷第34页，共3页又 ，即 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
36．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求A；
(2)若D为 上一点， 平分 ，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）用二倍角公式将 化为 ，再边角互化，三角恒等变换化解即可；
（2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解．
【详解】（1）因为
由正弦定理得
化简得
又因为
所以
由于 ，所以
则 ，即
（2）如图所示，因为
所以 ，即
由余弦定理知 .即
所以 ，解得 或 （舍去）
所以 ．
37．已知 的内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ;
(2)若 的面积为 ，求 和 .
【答案】(1) (2) ，
【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到 ，则 ；
（2）根据三角形面积公式即可得 值，再利用余弦定理即可得到 值.
【详解】（1）由正弦定理： ，那么 ，由于
，
则 ，则 ，且 ，故 .
（2）由于 ，则 ，
根据余弦定理： ，
那么 .
38．在 中， ．
试卷第36页，共3页(1)求 ；
(2)若 的面积是 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）用余弦定理进行边角互化可解；
（2）由面积公式得到 ，再用余弦定理和基本不等式可解.
【详解】（1） ，用余弦定理得到， ，化简
得到 ，则 ， ,则 .
（2）由于 , ．
由余弦定理可得 ，当且仅当
时等号成立，所以 的最小值为 .
39．记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知
得 的值即可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积
公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
试卷第38页，共3页40．平面四边形 中， ， ， ， ．
(1)求 ；
(2)求四边形 周长的取值范围；
(3)若 为边 上一点，且满足 ， ，求 的面积．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）首先求出 ，再由余弦定理计算可得；
（2）在 中利用余弦定理及基本不等式求出 的取值范围，即可求出
的范围，即可求出四边形 周长的取值范围；
（3）依题意可得 ，即可求出 、 、 ，再由余弦定理求出 ，最
后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
在 中由余弦定理
；
（2）在 中 ，
即 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
则 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即四边形 周长的取值范围为 ；
（3）因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，又 ，所以 ，
在 中由余弦定理 ，
即
在 中由余弦定理 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
.
考点05：三角形面积最值问题
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
试卷第40页，共3页③
41．已知 三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ，
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得 ，
再利用两次基本不等式得到 ，从而得解.
【详解】因为 ，则 ， ，即 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ①， ②，
① ②可得 ，
又 ，即 ，
则
，即 ，即 ，
解得 ，
当且仅当 时，即 ， 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 .
故选：B.
42．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ， ，则满足条件的△ABC有两个
C．若D是边BC上一点，满足 ，且 ，则△ABC面积的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足 ，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A根据面积公式和余弦定理得 即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦
公式可得 ，根据正弦定理得 ，结合角的范围即可判断；C根据题意
试卷第42页，共3页，平方后得 ，结合基本不等式得 ，根据面积公
式即可判断；D令 ，则 ，根据正弦定理得
，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断.
【详解】对于A， ，则 ，
根据余弦定理得 ，即 ，
由 ，故A正确；
对于B，根据正弦定理可得， ,
即 ，
由 ， ，
根据正弦定理得， ，
由 ，故 只有一解，故B错误；
对于C， ，
，即 ，
， ，即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，即△ABC面积的最大值为 ，故C正确；
对于D，令 ，则 ，
在 中，根据正弦定理得
，
，
在 上单调递减，
所以当 时，有最大值 ，
当 时，有最小值 ，
所以 的取值范围是 ，故D正确.
故选：ACD.
43．在 中，已知点 满足 .
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
试卷第44页，共3页(2) .
【分析】（1）在 ， 中，由正弦定理得 ，从而确定 ，
再由 两边同时平方，即可得 .
（2）根据题意得 ，在 中，由余弦定理得 ，则
代入即可.
【详解】（1）因为 ， ,
即 ,
所以 ，
在 ， 中，由正弦定理得
,
又因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ,所以 ，故 ，
所以 ，
即
所以 ，故 .
（2）因为 ，且 ，所以 .
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
即 ，当且仅当 取等号，
所以 ,
所以 的面积取值范围为 .
44．在 中，内角 所对的边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值；
(3)求 的值域
试卷第46页，共3页【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示、余弦定理可得答案；
（2）由余弦定理、基本不等式可得答案；
（3）由 的范围求出 的范围，再根据 的取值范围可得答案．
【详解】（1） ， ，
由正弦定理得， ， ，
，且 ， ；
（2） ，根据余弦定理得 ，
即 ， ， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 面积的最大值为 ；
（3） ， ， ，
， 的取值范围是 ．
45．已知在 中， ， 在线段 上，且 .
(1)若 是 的中点，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 面积的最小值.
【答案】(1)2(2)1
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出 ，由 是 的中点，得
，两边平方化简后结合基本不等式可求得 ，再利用三角形的面积公
式可求得其最大值；（2）利用两角差的正弦公式表示出 ，由 结合基本不等式可
求得 ，再利用三角形的面积公式可求得其最小值.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积为 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为2；
（2）由（1）知 ， ，
，
试卷第48页，共3页因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 面积的最小值为1.
46．在 中， 为角 对应的边， 为 的面积.且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据 ，可得 ，再根据余弦定理将 用 表示，再化简，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
整理得 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ；
（2）设 内切圆的半径为 ，
则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，
即 内切圆半径的最大值为 .
试卷第50页，共3页47．已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理将 化为 ，再利用余弦定
理可求 ,则得到 ；
（2）由 ，利用基本不等式可得 ，又 ，则利用三角形的面积公式，即可
求出 面积 的最大值.
【详解】（1）由余弦定理得 ，
化简得 ，
所以在 中由余弦定理可得 ，
又因为 ，所以 .
（2）由（1）知 ，由 ， ， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，
所以 ，
故 面积 的最大值为 .
48．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .(1)若 ，且 的面积为 ，求 的长度；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的面积的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据 展开化简，再由辅助角
公式计算可求出 的值，再由三角形面积公式和边的等量关系，可求出 边，从而求出相
应边长，余弦定理即可求出 长；
（2）法一：根据题意，由余弦定理可求出 等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的
不等式组，求解可解出 边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解
边的范围，代入三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）由 及正弦定理，得
，
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
由 的面积为 ，得 ，
试卷第52页，共3页， ，
又因为 ， ， ， ， ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ．
（2）法一：由余弦定理，得 ，
将 代入，整理，得 ，
因为 为锐角三角形，
，即 ，解得： ，
.
法二： ，
因为 为锐角三角形，
， ， ，
， .
49．如图，已知平面四边形 中， .(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）在 、 中分别利用余弦定理表示出 ，再由四点共圆得到
，即可求出 ；；
（2）由（1）可得 ，再由面积公式得到 ，
将两式平方再相加得到 ，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得：
，
在 中，由余弦定理得：
，
因为 四点共圆，所以 ，因此 ，
上述两式相加得： ，所以 （负值已舍去）.
（2）由（1）得： ，
化简得 ，
则 ①，
四边形 的面积
，
整理得 ，
试卷第54页，共3页则 ②
①②相加得： ，
即 ，
由于 ，
所以当且仅当 时， 取得最小值 ，
此时四边形 的面积最大，由 ，解得 ，
故四边形 面积的最大值为 .
50．在 中，内角 的对边分别是 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2)设 的平分线与 交于点 ，当 的面积最大时，求 的长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理可得 ，利用基本不等式和三角形面积公式知
当且仅当 时满足题意，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】（1） ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
得 ，又 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ；（2）由余弦定理得
即 ，而 ，
，即 ，
.当且仅当 取等号
此时 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 .
考点06： 三角形周长定值问题
类型一：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
类型二：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
51．在 中，角 所对的边为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长.
试卷第56页，共3页【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可；
（2）由正弦定理结合和比定理求出 进而得出周长即可.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
在 中， ，
， ，
.
（2） ，
，
所以 的周长为 .
52．在条件① ，② ，③
中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足______.
(1)求 ；
(2) 的内角平分线交 于点 ，若 的面积为 ， ，求 的
周长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的范围求
教即可；（2）把三角形面积结合角平分线得出边长 ，再应用余弦定理得出 ,即可得出边长.
【详解】（1）若选①，
，
，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
，解得 .
，
.
若选②，
由正弦定理得 ，
即 ，
，
.
， ，
， ，
.
若选③，
由正弦定理得， ，
即 ，
试卷第58页，共3页所以 ，
即 ，
， ，整理得 ，
即 ， ， ，
，即 .
（2） ，
，即 .
又 ，
.
.
，
的周长为 .
53．在 中， ， 在边 上，且 .
(1)若 ，求 的周长;
(2)求 周长的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由余弦定理求出 ， ，从而求出三角形的周长；
（2）设 ，则 ，由三角形三边关系求出 ，由余弦定理得到
，表达出 的周长为 ， ，构造函数，求导得到其
单调性，从而求出最大值.
【详解】（1）若 ，则 ，又 ， ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
故 的周长为 ；
（2）由（1）知， ，
设 ，则 ，
由三边关系可得 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得
故 ，
所以 的周长为 ，
试卷第60页，共3页令 ， ，
则 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
最大值为 .
54．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先根据正弦定理以及余弦定理求解出 的值，然后根据 的值分析出
的范围，从而确定出 的范围，由此可完成证明；
（2）先求解出 的值，然后根据正弦定理求解出 的值，由此可求 的周长.
【详解】（1） ，
由正弦定理得 ，
整理得 ．
由余弦定理得 ．
， ．， ， ，
， 均小于 ，
是锐角三角形．
（2） ， ，
又 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ， ， ，
的周长为 ．
55．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ．
(1)求A；
(2)已知角A的平分线交 于点M，若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简求得 ，得到 ，即可
求解；
（2）根据题意，利用 ，化简得到 ，再由余弦定理，列
出方程求得 的值，即可求解.
试卷第62页，共3页【详解】（1）解：因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：因为 ，交 的内角平分线交 于点 ，且 ，
，
又因为 ，
所以 ，可得 ，
由余弦定理得：
，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，即 的周长为 .
56．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求角 的大小；(2)若 的面积为 ， ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由 ，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关
系化简，再由正弦定理边化角，得 ，可得角 的大小；
（2）由 的面积求出 ，再由余弦定理求出 ，可得 的周长.
【详解】（1） 中，由 ，得
，
由余弦定理得 ，
即 ，
由正弦定理得 ，
， ，得 ，
，则 .
（2）若 的面积为 ，则 ，得 ，
，由余弦定理 ，得 ，
解得 ，
的周长为 .
57．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 .
试卷第64页，共3页(1)求角A的大小;
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简 ，再结合余弦定理即
可求得答案；
（2）根据三角形面积求得 ，再利用余弦定理求出 的值，即可得答案.
【详解】（1）因为 ，故 ，
而 ，即 ，即 ，
所以 ，
因为 ，故 ；
（2）由（1）可知 ，
的面积为 ，即 ，故 ；
又 ，即 ，
则 ，
故 的周长为 .
58．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求 ；(2)若 的面积 ，求 的周长.
【答案】(1) ；(2)9.
【分析】（1）利用正余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由正弦定理可知
，
因为 中， ，所以 ；
（2）由三角形面积公式及（1）可知： ，
由余弦定理 ，
所以 的周长为 .
59．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角A；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）已知 利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简得
，可得角A；
（2）利用向量数量积的运算，求出 ，得 为等边三角形，可求周长.
【详解】（1）∵ 中， ，
试卷第66页，共3页由正弦定理知， ，
由 ，得 ，
则有 ，
得 ，又 ，
则有 ，由 ，解得 ．
（2） ，由 ，则 ，得 ，
由 ，有 ，
得 ，解得 ，
又 ， 为等边三角形， ，
所以 的周长为 .
60．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的周长.
【答案】(1) (2)3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的真想公司化简 ，可
得 ，利用三角形面积公式即可求得答案；
（2）由余弦定理推出 ，继而求出 的值，即可得答案.
【详解】（1）由已知，在 中有 ，故 ，
即 ，
即 ，而 ，所以 ，又 ，故 的面积为 .
（2）由余弦定理，得 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的周长为3.
考点07： 三角形周长最值问题
高端结论：在 中，已知 ,
其中 分别是 的系数，其中
周长往往求
则 其中
61．在 中， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有两解 B． 面积有最大值
C．若 是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 D． 周长最大
值为6
【答案】ABC
【分析】对于A，根据 判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得
试卷第68页，共3页， ，再依次由 、 、 结合三角恒
等变换公式以及三角函数值的范围即可研究 面积、高和周长的取值范围.
【详解】对于A，由正弦定理得 ，所以 ，
故 有两解，故A正确；
对于B，由题及正弦定理 得 ， ，
所以
，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 面积最大值为 .故B正确；
对于C，因为 ，
所以对于BC边上的高AD，角 或角 为钝角的情况是等价的，不妨令角C为钝角，
因为 ，
所以由选项B有 ，
则由 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以若 是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 .对于D，由选项B得 周长为
，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 最大值为 ，
即 周长最大值为 .故D错误；
故选：ABC.
62．已知在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，若 的面积为
， ，则（ ）
A． B．边 的取值范围是
C． 面积取值范围是 D． 周长取值范围是
【答案】ABC
【分析】A选项，由余弦定理得到 ，得到 ；B选项，由正弦定理得到
，根据 为锐角三角形，得到 ，从而得到 ；C
试卷第70页，共3页选项，在B选项基础上得到 ；D选项，由正弦定理得到
，结合B选项，得到周长的取值范围.
【详解】A选项，由题意得 ，即 ，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，由正弦定理得 ，
故 ，
因为锐角 中， ，所以 ，
解得 ，故 ，
，B正确；
C选项，由B可知， ，故 ，
面积取值范围是 ，C正确；
D选项，由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 周长取值范围是 ，D错误.
故选：ABC
63．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则下列判断中正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则该三角形有两解
C． 周长有最大值12 D． 面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得
，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，故A正确；
对于B，由正弦定理得 得，所以 ，
因为 ，则 有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由 ，得
，
所以 ，当且仅当 时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为
12，故C正确；
试卷第72页，共3页对于D，由 得 ,
故
由于 ，无最小值，
所以 面积无最小值，有最大值为 ，故D错误.
故选：ABC.
64．在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
【答案】(1) (2) ．
【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边 及角 得
， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得.
【详解】（1）由正弦定理，得 ，
∵ ， ，∴ ，即 ，
又∵ ，则 ，
，则 ；
（2）由（1）及正弦定理可知， ，
，
，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的周长l的取值范围为 ．
65．已知 ， ， ，函数 ，且
在区间 上的最大值为 .
(1)求m的值；
(2)锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，求
的周长l的取值范围.
【答案】(1)1(2)
试卷第74页，共3页【分析】
（1）利用向量的坐标运算以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求
实数 的值；
（2）根据正弦定理结合三角恒等变换及三角函数的图象与性质进行求解．
【详解】（1）
，
， ，
当 时，即 时，函数 取得最大值 ，
则 ．
（2）
，
，由于 为锐角，所以 ，则
，
由 ，得 ，
，
，
，，则 ，
的周长 的取值范围是 ．
66．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角B的大小；
(2)设 ， 的面积为S，周长为L，求 的最大值．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出 的值，则 可知；
（2）先根据正弦定理将 表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二
倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求 的最大值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
试卷第76页，共3页又因为 ，所以 ，
所以
，
又因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时 有最大值为 ，
综上所述， 的最大值为 .
67．记 的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ．
(1)求a；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得 ，结合基本不等式与完全平方公式可得 ，
再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得 ，
，再利用三角恒等变换公式推出 ，然后根据正弦函数的图象
与性质求解．【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
根据正弦定理可得 ，所以 ．
（2）解法一：因为 ， ，
所以由余弦定理可得 ，即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时，取到最值
又 ，所以 ，即 周长l的取值范围为 ．
解法二：由正弦定理知， ，
所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 , ，
所以 , ，
所以 , ，
故 的周长 的取值范围为 , ．
68．设 的内角 所对边分别为 ，若 ．
试卷第78页，共3页(1)求 的值;
(2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面
积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）变形得到 ，由正弦定理得到 ，得到答案；
（2）由题意得到 ，由正弦定理和余弦定理得到 ，求出 ，
由 ，求出当 时，周长最小，进而由三角形面积求出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，因为
，
所以 ，
所以 ，由正弦定理 ，得 ，即 ．
（2）由 可得： ，故 ，于是 ，
由正弦定理 及余弦定理 可得：
，
解得： (舍)或者 ，故 ，
因为 ，所以当 时，周长最小，此时 ，
所以 ，所以 的面积为 ．69．记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求C；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值
域即得.
【详解】（1）在 中，由射影定理得 ，
则题述条件化简为 ，
由余弦定理得 ．
可得
所以 .
（2）在 中，
由正弦定理得 ，
则 周长 ，
因为 ，则 ，
因为 为锐角三角形， ，
则得 ，
故 ．
70．设 的内角 所对的边分别为 ，已知向量 ，
试卷第80页，共3页，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的周长取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和正弦定理边化角可化简已知等式求得 ，
由 的范围可求得 ；
（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到 ，根
据正弦型函数值域的求法可求得 的取值范围，进而得到 周长的取值范围.
【详解】（1）
，
，
， ， ，即 ，
， .
（2）由正弦定理得： ， ， ，
；
， ， ，
， ，
即 周长的取值范围为 .试卷第82页，共3页
