文档内容
专题21.2 平行四边形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一：平行四边形..............................................................................................................................................................2
知识点二：平行四边形的性质定理......................................................................................................................................2
知识点三：平行线间距离.........................................................................................................................................................3
知识点四：平行四边形的判定定理......................................................................................................................................4
知识点五：三角形的中位线....................................................................................................................................................4
知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状..............................................................................4
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................4
考点讲练一 利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................4
考点讲练二 利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................6
考点讲练三 平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................8
考点讲练四 求平行线间的距离...........................................................................................................................................11
考点讲练五 利用平行线间距离解决问题........................................................................................................................14
考点讲练六 判断能否构成平行四边形.............................................................................................................................16
考点讲练七 添一个条件成为平行四边形........................................................................................................................19
考点讲练八 数图形中平行四边形的个数........................................................................................................................22
考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数............................................................................................23
考点讲练十 证明四边形是平行四边形.............................................................................................................................25
考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题...............................................................................................................27
考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解......................................................................................................29
考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明..........................................................................................................31
考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用...............................................................................................................33
考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题..........................................................................................................36
考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明....................................................................................................................38
考点讲练十七 三角形中位线的实际应用........................................................................................................................41
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................43
难度分层闯关训练............................................................................................................................................48基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................48
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................56
知识点一：平行四边形
1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.符号表示：平行四边形用符号“▱”表示.平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
3.基本元素：邻边：AD和AB，BC和DC，AD和DC，AB和BC 对边：AB和DC，AD和BC.
邻角：∠BAD和∠ADC，∠BAD和∠ABC，∠ABC和∠BCD，∠ADC和∠BCD.
对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC 对角线：AC和BD
【易错点拨】
平行四边形的表示一般按一定的方向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点.
知识点二：平行四边形的性质定理
性质 符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
边 平行四边形的对边平行且相等
∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
∵四边形ABCD是平行四边形
角 平行四边形的对角相等
∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC
∵四边形ABCD是平行四边形
对角线 平行四边形的对角线互相平分 1 1
∴OA=OC= AC,OB=OD= BD
2 2
【易错点拨】
1.平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形如图，△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
2.平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形.
如图S =S =S =S ,△ABO≌△CDO,△ADO≌△CBO
△ABO △BCO △CDO △ADO
知识点三：平行线间距离
1.定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
2.性质
（1）两条平行线间的距离处处相等.
如图，直线a//b，过直线a上任意两点A,B分别向b做垂线，交直线b于点C,D，所以AC//BD,又a//b，即
两条平行线间的距离处处相等.
（2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
如图所示，直线l1//l2，AB//CD,则四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.
【易错点拨】平行线间的距离和平行线间的平行线段是不同概念，不能混为一谈.知识点四：平行四边形的判定定理
判定定理 符号表示
∵AB=CD,AD=BC
两组对边分别相等的四边形式平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
边
∵AD=BC,AD//BC
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AO=CO,BO=DO
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
∴四边形ABCD是平行四边形
【易错点拨】
1.若一条直线过平行四边形对角线的交点，则这条直线被一组对边截得的线段的中点是对角线的交点.
2.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积和周长都相等的两部分.
知识点五：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【易错点拨】
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周
1 1
长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点六：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.考点讲练一 利用平行四边形的性质求解
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O．
若AC=16cm，BD=10cm，则AD的长度可能是（ ）
A．30cm B．20cm C．13cm D．12cm
【答案】D
【思路引导】直接利用平行四边形对角线互相平分得出AO,BO的长，再利用三角形三边关系得出答案．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴AO＝ AC,BO＝ BD,
2 2
∵AC＝16cm，BD＝10cm,
∴AO＝8cm,BO＝5cm,
在△ADO中，
AD的取值范围是：8−5＜AD＜8+5即3＜AD＜13．
故选：D．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出AO,BO的长．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，
E，F分别是边AD，BC上的点，连接EF交AC于点G．若AE=CF=4，EF=6，∠GFC=90°，求AC
的长度．
【答案】10
【思路引导】先利用平行四边形的性质得到 AD∥BC，从而推出△AEG≅△CFG得到¿=GF；最后在
Rt△GFC中用勾股定理求出CG，进而得到AC的长度．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AG=CG，
∴∠EAG=∠FCG．
{∠EAG=∠FCG,
)
在△AEG和△CFG中， ∠AGE=∠CGF,
AE=CF,
∴△AEG≌△CFG(AAS)，
∴≥=GF．AG=CG．
∵EF=6，
1 1
∴GF= EF= ×6=3．
2 2
∵CF=4，∠GFC=90°，
∴CG=❑√GF2+CF2=5，
∴AC=2CG=10．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题关键是通过证
明三角形全等得到AG=CG，将AC的长度转化为求2CG．
考点讲练二 利用平行四边形的性质证明
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，
E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=CD B．CE=FG C．¿=FC D．¿=DB
【答案】D
【思路引导】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是
解题的关键．
结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的
推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项．
【完整解答】解：A、由题意可证得四边形ABDC是平行四边形，所以AB=CD，故A选项成立，不符合
题意．
B、由两条平行线间的平行线段相等可知CE=FG，故B选项成立，不符合题意．
C、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG；
∵FC∥EG，
∴四边形CFGE是平行四边形，
∴≥=FC，故C选项成立，不符合题意．
D、GE与DB的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意．
故选：D．
【变式训练】（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=6时，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18❑√3
【思路引导】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关
键．
（1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD ，
利用AAS即可证明△ABE≌△CDF；
（2）利用平行四边形对角线互相平分可求AO,BO，因为AC⊥AB，由勾股定理可求
AB=❑√BO2−AO2，则平行四边形ABCD的面积=AB⋅AC可求．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，AO=CO，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
{∠AEB=∠CFD
)
∠ABE=∠CDF ，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵BD=2AC，AC=6，
∴BD=12，
∴BO=6，AO=3，
∵AC⊥AB，
∴AB=❑√BO2−AO2=❑√36−9=3❑√3，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅AC=3❑√3×6=18❑√3．
考点讲练三 平行四边形性质的其他应用
【典例分析】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=6，动
点P沿AD边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t(t>0)秒．
(1)线段PD的长为______（用含t的代数式表示）；
(2)当CP平分∠BCD时，求t的值．
(3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当
点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值．
1
【答案】(1)6− t
2
(2)6
24 48
(3) 或8或
5 5
【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
1
（1）由题意可得AP= t，即可求解；
2
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得DP=DC=3，可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解．
1
【完整解答】（1）解：由题意可得：AP= t，
2
∵AD=6，
1
∴PD=6− t；
2（2）解：在▱ABCD中，AD∥BC，CD=AB=3，
∴∠DPC=∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP=∠DCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DP=DC=3，
1
∴6− t=3
2
∴t=6；
（3）解：由题意可得：0S ，
△ACD △ABC
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【变式训练】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，AC与BD交于点O，且O为AC中点，
AD∥BC，下列说法：
① △ABC与△DBC面积相等；
② ∠AOD是△BOC的外角；
③ BD是△ABC的中线；
④ ∠DOC>∠DAC中，正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【思路引导】本题考查平行线间的距离，三角形外角的性质，三角形的中线．根据平行线间距离处处相等，
可判断①；根据外角的定义及性质可判断② ④；根据三角形中线的定义可判断③．
【完整解答】解：∵ AD∥BC，
∴点A与点D到BC边的距离相等，
∴ △ABC与△DBC面积相等，故①正确；
∠AOD不是△BOC的外角，故②错误；
∵O为AC中点，
∴ BO是△ABC的中线，故③错误；∵ ∠DOC=∠DAC+∠ADO，
∴ ∠DOC>∠DAC，故④正确；
综上可知，正确的有2个，
故选B．
考点讲练六 判断能否构成平行四边形
【典例分析】能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB=AD，CB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB∥CD，AD=BC
【答案】C
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定方
法一一判断即可得出答案．
【完整解答】解：A、若AB=AD，CB=CD，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠C=∠D，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；
C、AB=CD，AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四
边形，故此选项正确；
D、AB∥CD，AD=BC，此条件下四边形ABCD还可能是等腰梯形，故此选项错误．
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边AB、
BC、CA上的动点，满足DE=EF，且∠≝=60°．点E与点G关于AC对称，连接CG、DG．
(1)求证：△BDE≌△CEF；
(2)求证：四边形DBCG是平行四边形；
(3)连接DF，FG，当∠BDE=15°时，试判断△DFG的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(3)△DFG是等腰直角三角形，理由见解析
【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边
形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性
质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
（1）根据∠DEC=∠BDE+∠B=∠≝+∠CEF，结合已知可以得出∠BDE=∠CEF，从而证明
△BDE≌△CEF(AAS)，
（2）BD=CE，由点E、G关于AC对称，可得CG=CE，∠ACG=∠ACB=60°，则BD=CG，由
∠B+∠BCG=180°，证明BD∥CG，再由△BDE≌△CEF，可得BD=CE，进而结论得证；
（3）由点G是点E关于AC的对称点可得EF=FG，∠EFC=∠GFC，同理（1），四边形DBCG是平
行四边形，则DG=BC=AB，证明△≝¿是等边三角形，则DE=DF=FG，由∠BDE=15°，可得
∠CEF=15°，则∠EFC=180°−∠CEF−∠ACB=105°，
∠DFG=360°−∠DFE−(∠EFC+∠GFC)=90°，由此得出结论．
【完整解答】（1）证明：∵等边△ABC，
∴∠B=∠ACB=60°，
又∵∠DEC=∠BDE+∠B=∠≝+∠CEF，∠≝=60°，
∴∠BDE=∠CEF，
又∵DE=EF，∠B=∠ECF，
∴△BDE≌△CEF(AAS)，
∴BD=CE，
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴BD=CE，
∵点E、G关于AC对称，
∴CG=CE，∠ACG=∠ACB=60°，
∴BD=CG，
∵∠B+∠BCG=∠B+∠ACB+∠ACG=180°，
∴BD∥CG，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（3）解：△DFG是等腰直角三角形，理由如下；
如图2，作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG，FG，DF，∴EF=FG，∠EFC=∠GFC，
同理（1），四边形DBCG是平行四边形，
∴DG=BC=AB，
∵DE=EF，∠≝=60°，
∴△≝¿是等边三角形，
∴DE=DF=FG，
∵∠BDE=15°，
∴∠CEF=15°，
∴∠EFC=180°−∠CEF−∠ACB=105°，
∴∠DFG=360°−∠DFE−(∠EFC+∠GFC)=90°，
∴△DFG是等腰直角三角形．
考点讲练七 添一个条件成为平行四边形
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点
E，F在对角线BD上，且OA=OC，BE=DF．要使四边形AECF为平行四边形，则应添加的条件是
（写出一种情况即可）．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【思路引导】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是
掌握平行四边形的判定定理．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加OB=OD，可证明OE=OF，结合OA=OC即可证明四
边形AECF为平行四边形．
【完整解答】解：添加的条件是OB=OD（答案不唯一）．理由如下：∵BE=DF，OB=OD，
∴ OB−BE=OD−DF，即OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形，符合题意．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【变式训练】（24-25八年级下·陕西安康·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=4❑√5cm，
其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，
沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF ∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为
t(s)(02.5，不合题意舍去．
故当t=1.5s时，以E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形．
考点讲练八 数图形中平行四边形的个数
【典例分析】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，▱ABCD中，EF∥AB, GH∥AD，则图中
共有平行四边形的个数为（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【答案】A
【思路引导】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
【完整解答】解：图中的平行四边形为：▱ABCD，▱AEMG，▱DHME，▱CHMF，▱BFMG，
▱AEFB，▱CDEF，▱ADHG，▱BCHG，共9个，
故选：A．
【变式训练】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在▱ABCD中，E、F、G、H分别是各边
中点，则图中的平行四边形共有（ ）
A．8个 B．9个 C．7个 D．5个
【答案】B
【思路引导】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
根据平行四边形的判定与性质分析判断即可．
【完整解答】解：如图，设HF与GE交于点O，∵在▱ABCD中，E、F、G、H分别是各边中点，
∴¿∥AD∥BC,HF∥AB∥CD，
∴图中的平行四边形共有：▱ABCD，▱ABFH，▱DHFC，▱DAEG，▱GEBC，▱AEOH，
▱EBFO，▱HOGD，▱OFCG共9个平行四边形，
故选：B．
考点讲练九 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【典例分析】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在
网格线的交点处，点B在网格线上．请在本网格图中找出点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是
平行四边形，符合要求的点C有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，
掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【完整解答】解：当BD为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：
当AB为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：∴符合要求的点C有2个，
故选：C．
【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的边长
均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出点D（点D在小正方形的顶点上），使以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形；
(2)在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），连接EA,EB,EC，使∠CAE=∠CAB，且四边形
ABCE面积为9，请在图中标出点E的位置，则BE= ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，❑√17，
【思路引导】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质：
（1）利用平移思想，将点A向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点D即可（或将点A向左移动
2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点D），此时AD∥BC,AD=BC，故四边形ABCD为平行四
边形；
（2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形ABCE面积为9，可得△ACE面积等于2，由此即可得
到点E在点A下方第4个格点处．再根据勾股定理求出BE.
【完整解答】（1）解：如图，四边形ABCD（或ACDB）即为所求；
或（2）如图，点E即为所求；
1 1
由图可知四边形ABCE的面积为：4×4− ×4×3− ×1×2=9．
2 2
BE=❑√12+42=❑√17，
考点讲练十 证明四边形是平行四边形
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，
AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF．
(1)求证：△BDE≌△FEC．
(2)判断四边形ABDF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ABDF是平行四边形．理由见解析
【思路引导】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的
关键；
（1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等；
（2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状．
【完整解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=CE，∠EDC=∠DEC=60°=∠AEF，∴∠BDE=∠FEC=120°．
∵AE=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
∵CD=CE，
∴BC−CD=AC−CE，
∴BD=AE，
∴BD=FE．
在△BDE与△FEC中，
{
DE=EC,
)
∠EDB=∠CEF,
BD=FE,
∴△BDE≌△FEC(SAS)．
（2）解：四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知△AEF和△EDC都为等边三角形，
∴∠AFE=∠FDC=60°，
∴AF//BD．
∵AF=AE=BD，
∴四边形ABDF为平行四边形．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，∠B=55°，∠1=85°，
∠2=∠3=40°．
(1)求∠D的度数．
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】(1)55°
(2)见解析
【思路引导】（1）利用△ADC的内角和为180°，结合已知的∠1、∠2，计算出∠D的度数；
（2）先求出∠DAB的度数，再利用四边形内角和为360°算出∠DCB的度数，通过两组对角分别相等的
四边形是平行四边形证明结论．【完整解答】（1）解：∵∠D+∠2+∠1=180°，
∴∠D=180°−∠2−∠1=55°．
（2）证明：∵∠DCB+∠DAB+∠D+∠B=360°，∠D=∠B=55°，∠DAB=∠1+∠3=125°，
∴∠DCB=125°，
∴∠DCB=∠DAB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【考点剖析】本题考查了三角形内角和、四边形内角和与平行四边形的判定，掌握三角形内角和为180°、
四边形内角和为360°，及两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
考点讲练十一 全等三角形拼平行四边形问题
【典例分析】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和
2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中
的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的
四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互
不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长
都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边
长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．
【完整解答】（1）解：如图所示：（2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝❑√22+22=2❑√2，
∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行
证明）
【考点剖析】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活
运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接．
【变式训练】如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC
构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB=AD，”和“∴四边
形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处．
∵CB=AD，
∴四边形ABCD是平行四边
形．
A．应补充：且∠DAC=∠ACB B．应补充：且AB=CD
C．应补充：且AB//CD D．应补充：且AD//CB
【答案】C
【思路引导】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可．
【完整解答】A．加上∠DAC=∠ACB，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形
ABCD是平行四边形；
B．加上AB=CD，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形；
C．加上AB//CD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
D．加上AD//CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形．
故选：C
【考点剖析】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
考点讲练十二 利用平行四边形的判定与性质求解
【典例分析】（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
把△BCN沿CN折叠，使BC落在DC边上，B′是点B的对应点，过点C作CM ⊥CN．
(1)求证：AD∥NB′．
(2)若∠B=64°，求∠BCM的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BCM=32°
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用
平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键．
（1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等
从而证平行．
（2）利用平行线同旁内角互补求出∠DCB，结合折叠的角平分线性质求出∠NCB，再由垂直关系计算
∠BCM．
【完整解答】（1）证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
由折叠知∠B=∠NB′C，
∴∠D=∠NB′C，
∴AD//NB′．
（2）解：∵AB//CD，
∴∠B+∠DCB=180°，
∴∠DCB=116°．
由折叠知∠NCB=∠NCB′，
1
∴∠NCB= ∠DCB=58°．
2∵CM⊥CN，
∴∠BCM=90°−58°=32°．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是
∠ABC的平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB
方向以4cm/s的速度运动．当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为ts．
(1)求AE的长．
(2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)3cm
6
(2)存在，当t的值为 或2时，以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形．
5
【思路引导】（1）利用平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，再利用角平分线的定义得出
∠ABE=∠CBE，即可得出结论；
（2）利用平行四边形的性质即可得出EM=BN，再分两种情况讨论计算即可得出结论．
【完整解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB．
∵AD=2AB=6cm，
∴AE=AB=3cm．
（2）解：存在．由（1）可知，AE=3cm，∴DE=AD−AE=3cm．
由题意可知，EM=tcm，CN=4tcm（0≤t≤3）．
∵AD∥BC，∴要使以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形，只要满足EM=BN即可．
分以下两种情况讨论：
①当点N在边BC上时，BN=BC−CN=(6−4t)cm，6
∴t=6−4t，解得t= ；
5
②当点N在边CB的延长线上时，BN=CN−BC=(4t−6)cm，
∴t=4t−6，解得t=2．
6
综上，当t的值为 或2时，以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形．
5
【考点剖析】本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，熟练
掌握是关键．
考点讲练十三 利用平行四边形性质和判定证明
【典例分析】（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在▱ABCD中，过AC中点O的直线分
别交CB、AD的延长线于点E、F，连接CF、AE．求证：四边形AECF为平行四边形．
【答案】见解析
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明
△CEO≌△AFO(AAS)是解答关键．先利用四边形ABCD是平行四边形，易证△CEO≌△AFO(AAS)，进
而得到OE=OF，即可证明．
【完整解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，BC∥AD，
∴∠CEO=∠AFO，
{∠CEO=∠AFO
)
在△CEO与△AFO中， ∠COE=∠AOF ，
OC=OA
∴△CEO≌△AFO(AAS)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利
用下面的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连
接OA，OC，再过点O作OE∥AC交CD于点E，连接AE，则直线AE是一条“等积线”．(1)如图①，求证：直线AE是“等积线”．
(2)如图②，已知AE为一条“等积线”，F为AD边上的一点，请作出经过点F的“等积线”，并说明理
由．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析 理由见解析
【思路引导】（1）要说明直线AE是“等积线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面
积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，可以证明三
角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；
（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“等积线”，根据两条平行线间的
距离相等，可以证明三角形AGE的面积等于三角形AFG的面积，再根据等式的性质即可证明．
【完整解答】（1）证明：∵O是BD的中点，
∴S =S ，S =S ，
△AOB △AOD △BOC △DOC
1
∴S +S =S +S = S ，
△AOB △BOC △AOD △DOC 2 四边形ABCD
1
∴S = S ，
四边形ABCO 2 四边形ABCD
∴折线A−O−C能平分四边形ABCD的面积．
如图①，设AE交OC于点F．
∵OE∥AC
，
∴S =S ，
△AOE △COE
∴S =S ，
△AOF △COF
∴S =S ，
四边形ABCO 四边形ABCE
1
∴S = S ，
四边形ABCE 2 四边形ABCD∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即直线AE是“等积线”．
（2）解：如图②，连接EF，过点A作EF的平行线交CD于点G，
作直线FG，则直线FG为一条“等积线”．
理由如下：
∵AG∥EF，
∴S =S ．
△AGE △AFG
设AE与FG的交点是O，则S =S ，
△AOF △GOE
∴S =S ❑ ．
四边形ABCE 五边形 FABCG
由题意可知，S =S ，
四边形ABCE △AED
∴S =S ，
△AED 五边形FABCG
∴FG为一条“等积线”．
【考点剖析】本题考查了三角形的面积，能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解
“等积线”的概念，是解题的关键．
考点讲练十四 平行四边形性质和判定的应用
【典例分析】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F在BD上，且
AE∥FC，AB∥CD，BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BH⊥CD，∠DBC=90°，AD=3，AB=5，求BH的长．
【答案】(1)详见解析
12
(2)
5
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明△ABE≌△CDF (ASA)，得AB=CD，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论；
（2）由平行四边形的性质得BC=AD=3，CD=AB=5，再由勾股定理求出BD=4，然后由三角形面积
求出BH的长即可．
【完整解答】（1）证明：∵AE∥FC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
{∠AEB=∠CFD
)
BE=DF
∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=3，CD=AB=5，
∵∠DBC=90°，
∴BD=❑√CD2−BC2=❑√52−32=4，
∵BH⊥CD，
1 1
∴S = CD⋅BH= BC⋅BD，
△BCD 2 2
BC⋅BD 3×4 12
∴BH= = = ．
CD 5 5
12
∴BH的长为 ．
5
【变式训练】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若
AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2)．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加
以判断，并说明理由．【尝试应用】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=5,BC=7,AC=8，求BO的长．
【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 ．
【答案】探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：❑√21；拓展提升：200
【思路引导】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等
知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．
探究发现：作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠AEB=∠CFD=90°，证明
Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，BE=CF，利用勾股定理进行计算即可得到答案；
尝试应用：延长BO到点C，使OD=BO，证明四边形ABCD是平行四边形，由【探究发现】可知，
AB2+BC2 AC2
AC2+BD2=2(AB2+BC2)，则BO2= − ，代入数据计算即可得到结果；
2 4
拓展提升：由四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，得到AB=CD=8,BC=AD=12，
∠A=∠D=90°，设AP=x，PD=12−x，由勾股定理得到PB2+PC2=2(x−6) 2+200，根据非负数的
性质即可得到答案．
【完整解答】解：探究发现：结论依然成立，理由如下：
作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则∠AEB=∠CFD=90°，
ABCD AB=a,BC=b
∵四边形 为平行四边形，若 ，
∴AB=DC=a,AD∥BC,AD=BC=b，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴BE=CF，∴AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
=(AB2−BE2)+(BC−BE) 2+(BC+CF) 2+DF2
=AB2−BE2+BC2−2BC⋅BE+BE2+BC2+2BC⋅BE+BE2+AE2
=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2
=AB2+BC2+BC2+AB2
=2(AB2+BC2)
=2(a2+b2)；
尝试应用：延长BO到点C，使OD=BO，
BO △ABC
∵ 为 的一条中线，
∴OA=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=5,BC=7,AC=8．
∴由探究发现可知，AC2+BD2=2(AB2+BC2)，
∴AC2+4BO2=2(AB2+BC2)，
AB2+BC2 AC2
∴BO2= − =21，
2 4
∴BO=❑√21（负值舍去）；
拓展提升：∵四边形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，
∴AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=∠D=90°，
设AP=x，则PD=AD−AP=12−x，
∴PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+(12−x) 2+82
=2x2−24x+272=2(x−6) 2+200，
∵(x−6) 2≥0，∴当x=6时，PB2+PC2的最小值是200．
考点讲练十五 与三角形中位线有关的求解问题
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四
边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，
EG，△EFG为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的
一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键．
通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边
形对边相等．
【完整解答】证明：∵△EFG为等边三角形，
∴EG=FG．
∵E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴CD=2FG，AB=2EG，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是“等对边四边形”．
【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接GE，EH，HF，FG．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．
(2)若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长．
【答案】(1)见解析(2)2.5
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握
平行四边形的性质是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质，易证△AGE≌△CHF(SAS)，得到¿=HF，∠AEG=∠CFH，进而推出
¿∥HF，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质证明EG是△ABO的中位线，即可求解．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF．
∵G，H分别是AB，CD的中点，
1 1
∴AG= AB，CH= CD，
2 2
∴AG=CH．
又∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴≥=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，∴≥∥HF．
又∵≥=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BD=10，AE=CF，
∴OB=OD=5，OE=OF．
∵AE+CF=EF，
∴2AE=EF=2OE，
∴AE=OE．
又∵G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
1
∴EG= OB=2.5．
2
考点讲练十六 与三角形中位线有关的证明
【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）如图，以△ABC的边AB，AC分别向外作等腰三角形ABM和等腰三角形CAN，使其顶角∠BAM=∠CAN．取BC，BM，CN的中点D，E，F，连接DE，
DF．求证：DE=DF．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了三角形的中位线和三角形全等的判定，熟练掌握相关内容是解题的关键；
连接MC、BN得到等腰三角形可推导出角相等，根据SAS判定△AMC≌△ABN得到线段相等，再根据
中位线得到线段长度关系推导出DE=DF．
【完整解答】证明：连接MC和BN，如图．
∵△ABM △CAN ∠BAM =∠CAN
和 都为等腰三角形，且其顶角 ，
∴AM=AB，AC=AN，∠MAC=∠BAN，
∴△AMC≌△ABN(SAS)，
∴MC=BN．
∵D，E分别是BC，BM的中点，
∴DE是△BCM的中位线，
1
∴DE= MC．
2
1
同理可得DF= BN，
2
∴DE=DF．
【变式训练】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，连接AD，∠B=2∠CAD．(1)求证：BC+CD=AB；
(2)分别取AB、BD的中点M、N，连接CM、MN，如图2，图2中长度等于CM的线段（不包括CM）．
【答案】(1)见解析
(2)AM、BM、CN
【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，
等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换．
（1）在DC的延长线上截取CE=DC，证明△AEC≌△ADC(SAS)，得到∠EAC=∠CAD，
∠E=∠ADC，通过角度的等量代换证明∠E=∠BAE，进而通过等角对等边证明AB=BE，然后通过线
段和差关系等量代换即可得证；
1
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM=AM=BM= AB，再通过中位线的性质
2
1
得到BN=DN= BD，结合（1）所证得，AB=BE，EC=CD，从而通过线段和差关系等量代换证得
2
CN=CM．
【完整解答】（1）证明：如图所示，在DC的延长线上截取CE=DC，
在△AEC和△ADC中，
{
AC=AC
)
∠ACE=∠ACD=90° ，
CE=DC
∴△AEC≌△ADC(SAS)，
∴∠EAC=∠CAD，∠E=∠ADC，
又∵∠ADC=∠DAB+∠B
=∠DAB+2∠CAD
=∠DAB+∠EAD
=∠BAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE，
∵BC+CD=BC+CE=BE，
∴BC+CD=AB；（2）解：在Rt△ABC中，∵点M是AB的中点，
1
∴CM=AM=BM= AB，
2
∵点M、N分别是AB、BD的中点，
1
∴MN是△ABD的中位线，且BN=DN= BD，
2
如图，在DC的延长线上截取CE=DC，
由（1）可知，AB=BE，EC=CD，
1 1 1
∴CN=CD+DN= ED+ BD= AB=CM，
2 2 2
综上，图中长度等于CM的线段（不包括CM）的有AM、BM、CN．
考点讲练十七 三角形中位线的实际应用
【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的
顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画
线不得超过三条．
(1)在图1中，点P在线段上，先画▱ABCD，再在AD上画点E，使得DE=BP；(2)在图2中，在线段AC上找一点G，使得BG⊥AC，垂足为点G，并在线段AC上找一点H，使
BH=BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，
熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键．
（1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可；
（2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可．
【完整解答】（1）解：所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示：
【变式训练】（23-24九年级上·上海虹口·月考）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别在
AB、AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若PD=1，
则QE= ．
【答案】2
【思路引导】如图，记BC的中点为H，连接MH，NH，则MH是△BCE的中位线，NH是△BCD的中位1 1
线，MH∥CE，MH= CE，NH∥BD，NH= BD，由平行线 的性质以及题意可得
2 2
∠HMN=∠AQP，∠HNM=∠APQ，MH=NH，则∠HMN=∠HNM，∠AQP=∠APQ，
AP=AQ，设BP=a，则AQ=4−a，CE=a+1，由AQ+CE=AC+EQ，可得4−a+a+1=3+EQ，计
算求解即可．
【完整解答】解：如图，记BC的中点为H，连接MH，NH，
∵BE，CD的中点分别是M，N，BC的中点为H，
∴MH是△BCE的中位线，NH是△BCD的中位线，
1 1
∴MH∥CE，MH= CE，NH∥BD，NH= BD，
2 2
∴∠HMN=∠AQP，∠HNM=∠APQ，
∵BD=CE，
∴MH=NH，
∴∠HMN=∠HNM，
∴∠AQP=∠APQ，
∴AP=AQ，
设BP=a，则AQ=AP=AB−BP=4−a，CE=BD=BP+PD=a+1，
∵AQ+CE=AC+EQ，
∴4−a+a+1=3+EQ，
解得，EQ=2，
故答案为：2．
【考点剖析】本题考查中位线的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
【演练1】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB，BC的中点，
∠AED=∠DFB．求证：(1)△AED≌△DFB；
(2)∠C=∠EDF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；
（1）证明DF是△ABC的中位线，即可得到DF∥AC，进而得到∠A=∠FDB，然后利用AAS证明三角
形全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠ADE=∠B，即可得到DE∥BC，进而证明四边形CEDF是平
行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可．
【完整解答】（1）证明：∵D，F分别为边AB，BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，AD=BD，
∴DF∥AC，
∴∠A=∠FDB，
又∵∠AED=∠DFB，
∴△AED≌△DFB(AAS)；
（2）证明：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
又∵DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴∠C=∠EDF．
【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC丄AB
，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE=4，则OF= ．【答案】4
【思路引导】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线
定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到
1
BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到OF= BC，即可得出结
2
果．
【完整解答】解：∵AC丄AB，
∴∠BAC=90°，
∵点E为BC的中点，
1
∴AE= BC，
2
∴BC=2AE=8，
∵▱ABCD，
∴OB=OD，
又∵点F为CD的中点，
1
∴OF= BC=4；
2
故答案为：4．
【演练3】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，
点B的对应点B′恰好落在边DC上；将△ADB′沿AB′折叠，点D的对应点D′恰好落在AE上．若∠C=α，
则∠CB′E= ．（用含α的式子表示）
α
【答案】
3
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCD是平行四边形，
得∠BAD=∠C=α，AB∥CD，由折叠性质可知，
∠DAB′=∠B′ AE=∠BAE，∠ABE=∠AB′E，∠AB′D=∠AB′D′，故有
α 2α
∠DAB′=∠B′ AE=∠BAE= ，根据平行线的性质得∠AB′D=∠BAB′= ，∠ABE=180−α，最
3 3后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=α，AB∥CD，
由折叠性质可知，∠DAB′=∠B′ AE=∠BAE，∠ABE=∠AB′E，∠AB′D=∠AB′D′，
∵∠DAB′+∠B′ AE+∠BAE=∠BAD=α，
α
∴∠DAB′=∠B′ AE=∠BAE= ，
3
∵AB∥CD，
2α
∴∠AB′D=∠BAB′= ，∠ABE=180°−α，
3
∴∠ABE=∠AB'E=180°−α，
2α α
∴∠CB′E=180°− −(180°−α)= ，
3 3
α
故答案为： ．
3
【演练4】（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P，使点P在∠AOB的平分线上．
小明的作法如下：
如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，
1
大于 EF长为半径画弧，两弧交于点P，则点P为所求点．理由：如图3，连接EP、FP、OP，由作图
2
可知OE=OF，PE=PF，
又因为OP=OP，
所以 ．
所以∠EOP=∠FOP，
所以OP平分∠AOB，
即点P为所求点；
【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P，只用一把圆规画一点Q，使点P、Q所在直线与直线AB平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】[任务阅读]△OEP≌△OFP(SSS)；[实践操作]图形见解析；证明见解析．
【思路引导】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关
键．
[任务阅读]根据作图可知，作图可知OE=OF，PE=PF，又OP=OP，所以△OEP≌△OFP(SSS)，然
后通过全等三角形性质即可求证；
[实践操作] 以点P为圆心，AB的长为半径画弧，再以点B为圆心，AP的长为半径画弧，两弧交于点Q，
即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证．
【完整解答】[任务阅读]解：理由：如图3，连接EP、FP、OP，由作图可知OE=OF，PE=PF，
又因为OP=OP，
所以△OEP≌△OFP(SSS)，
所以∠EOP=∠FOP，
所以OP平分∠AOB，
即点P为所求点，
故答案为：△OEP≌△OFP(SSS)；
[实践操作]解：如图4，以点P为圆心，AB的长为半径画弧，再以点B为圆心，AP的长为半径画弧，两
弧交于点Q，即可；
理由：连接AP,BQ,PQ,
由作图可知，PQ=AB,BQ=AP，
∴四边形ABQP为平行四边形，
∴PQ∥AB，
∴点Q为所求．
【演练5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，
AF=CE．(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加AF=BE（答案不唯一）
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，结合已知条件可得DF=BE，即可证明
△ABE≌△CDF；
（2）添加AF=BE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，
在△ABE与△CDF中，
{
AB=CD
)
∠B=∠D ，
BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
（2）添加AF=BE（答案不唯一）
如图所示，连接EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线l ∥l ，AB∥CD，AD=CE，DE，FG都垂直
1 2
于l ，垂足分别为E，G．下列选项中，一定成立的是（ ）
2
A．AB=CD B．CE=FG
C．BC=EG D．S >S
四边形ABCD 四边形DEGF
【答案】A
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；
根据题目描述和图形利用平行四边形和平行线的性质来判断选项的正确性．
【完整解答】解：A、由题可知：l ∥l ，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，一定成
1 2
立，符合题意；
B、题目所给信息无法证明CE=FG；不符合题意；
C、题目所给信息无法证明BC=EG；不符合题意；
D、题目所给信息无法比较四边形ABCD与四边形DEGF的；面积大小，不符合题意；
故选：A ．
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知
AO=CO，BO=DO，则下列结论错误的是（ ）
A．AD=BC B．AD∥BC
C．AB=CD D．AC⊥AB
【答案】D
【思路引导】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；
先根据对角线互相平分判定四边形ABCD为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可．
【完整解答】解：∵AO=CO，BO=DO即对角线AC、BD互相平分
∴四边形ABCD是平行四边形
A、AD=BC，平行四边形对边相等，不符合题意；
B、AD∥BC，平行四边形对边平行，不符合题意；
C、AB=CD，平行四边形对边相等，不符合题意；
D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意；
故选：D ．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知a∥b，下列线段的长中，是a，b之间的距离的是
（ ）
A．AB的长 B．AE的长 C．EF的长 D．BC的长
【答案】C
【思路引导】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的
长度，来判断哪个选项符合．
【完整解答】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度．
线段EF垂直于直线a和b，因此EF的长度就是a，b之间的距离．
故选：C．
【考点剖析】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平
行线的垂线段．
4．（2024·山东潍坊·一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE
于点E，连接DE．若AC=5，DE=1，则AB等于（ ）
A．7 B．6.5 C．6 D．5.5
【答案】A
【思路引导】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线
定理，证明三角形全等是解题的关键．
延长CE交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC，EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=2，即可得出结果．
【完整解答】解：延长CE交AB于点F，
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
¿，
∴△EAF≌△EAC(ASA)，
∴AF=AC=5，EF=EC，
又∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF=2DE=2
∴AB=AF+BF=5+2=7，
故选：A．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线
b与c之间的距离是5cm，则直线a与c之间的距离是 cm．
【答案】8或2
【思路引导】本题考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离是垂线段的长度，需分情况讨论位置关系
是解题的关键．
由于三条直线互相平行，直线a与c的距离取决于它们相对于直线b的位置，有两种情况：直线b在a与c之
间或a与c在b的同一侧．
【完整解答】解：当直线b在直线a与c之间时，直线a与c的距离为3+5=8(cm)；
当直线a与c在直线b的同一侧时，直线a与c的距离为|5−3|=2(cm)．
故答案为：8或2．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，AE=CF．若∠EDF =60°，则∠EBF
的度数是 ．【答案】60°
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解
题的关键．
利用平行四边形性质，结合AE=CF推出EB∥FD且EB=FD，判定四边形EBFD为平行四边形，再由平
行四边形对角相等得∠EBF=∠EDF．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD ， AB∥CD
∵AE=CF
∴AB−AE=CD−CF
即EB=FD
∵AB∥CD
∴EB∥FD
∵EB=FD且EB∥FD
∴ 四边形EBFD是平行四边形
∴ ∠EBF=∠EDF
∵ ∠EDF=60∘
∴ ∠EBF=60∘．
故答案为：60°．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足
|a−c)+❑√b−d=0，则这个四边形是 ．
【答案】平行四边形
【思路引导】本题考查了非负数的性质和平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边
形是解题的关键．
由条件|a−c)+❑√b−d=0可知，绝对值和平方根均为非负数，因此两者均等于零，得出a=c和b=d，即
四边形两组对边分别相等，从而判定为平行四边形．
【完整解答】∵|a−c|≥0且❑√(b−d)≥0，且它们的和为零，
∴|a−c|=0和❑√b−d=0，
即a=c和b=d因此四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且
AE=CF．求证：四边形EBFD为平行四边形．
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD= ，AD∥ ．
因为AE=CF，
所以AD+AE= + ，
即DE= ．
又因为DE∥ ，
所以四边形EBFD为平行四边形．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
根据一组对边平行且相等判断四边形EBFD是平行四边形即可．
【完整解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∵AE=CF，
∴AD+AE=BC+CF，
即DE=BF．
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD为平行四边形．
9．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】
（1）如图1，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的平分线BE，AE交于CD边上的点E．求证：E为CD的
中点；
【问题解决】
（2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园ABCD，点E是CD上一点，连接BE、AE，沿BE和
AE修建景观步道，BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，△ECB为花卉区，△AEB是休憩草坪区，△DAE
为健身活动区．为方便游客，在AE中点F设休息驿站，并修建一条连接驿站F与大门C的观景小道CF，CF与BE交于点G，规划师需确定BG与EG的数量关系，请你帮忙解答并说明理由．
【答案】
（1）见解析；
（2）BG=3EG，见解析．
【思路引导】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得∠DEA=∠BAE，∠CEB=∠ABE，
由角平分线的定义，等量代换可得∠DEA=∠DAE，∠CBE=∠CEB，等角对等边，等量代换可得
DE=CE，即可证得结论；
1
（2）取BE的中点H，连接FH，可得FH∥AB，FH= AB，证明△CEG≌△FHG(AAS)，可得
2
EG=HG，可得EH=2EG，即可得BG与EG的数量关系．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD=BC，
∴∠DEA=∠BAE，∠CEB=∠ABE，
∵ BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DEA=∠DAE，∠CBE=∠CEB，
∴AD=DE，BC=CE，
∴DE=CE，
∴E为CD的中点．
（2）解：BG=3EG，理由如下：
如图2，取BE的中点H，连接FH，
∵ F AE
点 为 的中点，
1
∴FH∥AB，FH= AB，
21
同（1）可得，点E为DC中点，即CE= CD，
2
∵CD∥AB，且CD=AB，
1
∴CD∥FH，CE= AB=FH，
2
∴∠CEG=∠FHG，
在△CEG和△FHG中，
{∠CGE=∠FGH
)
∠CEG=∠FHG ，
CE=FH
∴△CEG≌△FHG(AAS)，
∴EG=HG，
∴EH=2EG，
∵EB=2EH，
∴EB=4EG，
∴BG=EB−EG=4EG−EG=3EG．
【考点剖析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角
形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且
AE=CF．
(1)求证：△ABE≌△CDF．
(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】（1）根据平行四边形的性质，证得△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）的结论和中点的性质可得∠AEB=∠CFD，ME=FN，根据平行四边形的性质可得
∠AEB=∠FBE，进而得到∠CFD=∠FBE，由此可证ME∥FN，根据一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形可证．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C．在△ABE和△CDF中，
{
AB=CD，
)
∠A=∠C，
AE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
（2）证明：由（1）得△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，BE=DF．
又∵M，N分别是BE，DF的中点，
1 1
∴ME= BE，FN= DF，
2 2
∴ME=FN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠CFD=∠FBE，
∴BE∥DF，即ME∥FN，
∴四边形MFNE是平行四边形．
【考点剖析】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，
寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
创新拓展 拔尖冲刺
1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，已知AB=8，AD=12，∠BCD的平分线交
AD于点E，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【思路引导】本题考查了平行四边形与角平分线，熟练掌握相关性质是解题的关键；
利用平行四边形的性质以及角平分线的性质，得到相等的角，进而推出相等的边，从而求得AE的长．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=8，
∴AD∥BC，AB=CD=8，∴∠DEC=∠BCE．
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=8，
∴AE=AD−DE=4；
故选：B．
2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张
纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AD=AB B．∠DAC=∠ACD C．AD=BC D．AO=BO
【答案】C
【思路引导】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到
AD＝BC.
【完整解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故选：C．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形ABCD为平行四边形.
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在▱ABCD中，∠B=∠AEB，AE∥DF，DC是
∠ADF的平分线．有下列结论：①BE=CF；②AE是∠DAB的平分线；③∠DAE+∠DCF=120°．其
中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的
对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分．
可证明四边形AEFD为平行四边形，可求得BC=EF，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明
△ABE、△CDF为等边三角形，可判断②③，即可得出答案．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
又∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF=AD，AE=DF，
∴BC=EF，
∴BE=CF，故结论①正确．
∵DC平分∠ADF，
∴∠ADC=∠FDC．
又∵AD∥EF，
∴∠ADC=∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴AE=CF=BE．
∵∠B=∠AEB，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠B=60°．
又∵AB∥DC，
∴∠DCF=∠B=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠DAE=∠F=60°，
∴AE是∠DAB的平分线，∠DAE+∠DCF=120°，故结论②③正确．
综上所述，其中正确的个数是3．
故选：D．
4．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，
AD=10cm，P，Q分别从A、C两点同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以1cm/s的速度由C
向B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过 秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
10
【答案】2或
3
【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定以及一元一次方程的应用，解题的关键在于掌握“一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法．设点P，Q运动的时间为t秒，则CQ=t，BQ=6−t，
AP=2t，PD=10−2t，因为AD∥BC，故分两种情况：当BQ=AP或CQ=PD时，列方程解答即可．
【完整解答】解：设点P，Q运动的时间为t秒，则CQ=t，BQ=6−t，AP=2t，PD=10−2t，
∵AD∥BC，
∴①当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形，
即6−t=2t，解得t=2；
②当CQ=PD时，四边形CQPD是平行四边形，
10
即t=10−2t，解得t= ；
3
10
∴经过2或 秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
3
10
故答案为：2或 ．
3
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，
DF，则图中平行四边形的个数是 ．
【答案】4
【思路引导】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是
解题的关键．
先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，结合中点的性质得到AE=DE=BF=CF，然后根据
一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形ABFE、四边形EFCD、四边形BFDE都是平行
四边形，由此即可得到结论．【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
1 1
∴AE=DE= AD，BF=FC= BC，
2 2
∴AE=DE=BF=FC，
∵AE=BF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形；
∵DE=FC，DE∥FC，
∴四边形EFCD是平行四边形；
∵DE=BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
则图中平行四边形有4个，
故答案为：4．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折
痕，点C的对应点为C′．若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为 ．
【答案】40°
【思路引导】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题
的关键．
由折叠的性质，得∠2=∠DEC=60°，∠C′=∠C，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等
可得∠C'MD=∠MEC=120°，再由三角形的内角和为180°可求出∠C'的度数，即为∠C的度数．
【完整解答】解：如图，设AD与C′E交于点M．
由折叠的性质，得∠2=∠DEC=60°，∠C′=∠C，
∴∠MEC=120°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠C′MD=∠MEC=120°．∵在△C′MD中，∠1=20°，
∴∠C′=180°－∠C′MD−∠1=180°−120°−20°=40°，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交
DA的延长线于点E，求证：AE=AD．
【答案】见解析
【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行
得到∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，再由线段中点的定义得到OA=OB，据此可证明
△AOE≌△BOC(AAS)，得到AE=BC，再由平行四边形的对边相等得到AD=BC，即可得证结论．
【完整解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴△AOE≌△BOC(AAS)，
∴AE=BC，
∴AE=AD．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．过点O作
OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE=∠CBD=15°．求∠ABC的度数．【答案】45°
【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；
根据平行四边形的性质得到边的相等关系以及平行关系，利用垂直平分线的性质得到BE=DE，再根据角
度和平行关系推导出∠ABD的度数进而求得∠ABC的度数．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD．
∵OE⊥BD，
∴BE=DE．
∵∠CBD=15°，
∴∠BDE=∠CBD=15°．
∵∠CDE=15°，
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=15°+15°=30°．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°．
9．（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO
的延长线与边AD交于点F，连接BF､DE，如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)在（1）中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE､BD､BF分别交于点G､H､R，如
图2
①当CD=6，CE=4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案．【答案】(1)见解析
(2)①4❑√2−2；②AF=❑√2BH
【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等
腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）由ASA可得△BOE≌△DOF(ASA)，可得DF=BE，可得结论；
（2）①由等腰三角形的性质可得EN=CN=2由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性质可求BN的长，
即可求解；
②如图，过点H作HM⊥BC于点M，证明△HMC≌△CND(AAS)，可得HM=CN，由等腰直角三角形的
性质可得BH=❑√2HM，即可得结论．
【完整解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，
∴AD∥BC,BO=DO，
∴∠ADB=∠CBD，且∠DOF=∠BOE，BO=DO，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴DF=BE，且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE=DC=6，DN⊥EC，
∴EN=CN=2，
∴DN=❑√DC2−CN2=❑√62−22=4❑√2，
∵∠DBC=45°，DN⊥BC，
∴∠DBC=∠BDN=45°，
∴DN=BN=4❑√2，
∴BE=BN−EN=4❑√2−2；
②AF=❑√2BH，
理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠ECG，
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴∠EDN=∠CDN，EC=2CN，
∴∠ECG=∠CDN，
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，
∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，
∴∠CDB=∠DHC
∴CD=CH，且∠HMC=∠DNC=90°，∠ECG=∠CDN，
∴△HMC≌△CND(AAS)，
∴HM=CN，
∵HM⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠BHM=∠DBC=45°，
∴BM=HM，
∴BH=❑√2HM，
∵AD=BC，DF=BE，
∴AF=EC=2CN，
∴AF=2HM=❑√2BH．
10．（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边
形的性质：平行四边形的对角线互相平分．（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA=OC，OB=OD．
【知识应用】
（2）如图②，在△ABC中，P为BC的中点．延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得
CE=AB，连接AP，BE，DE．若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你
的结论，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）BE=2AP，证明见解析
【思路引导】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平
分；
（2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段BE与AP的数量关系．
【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△OAD≌△OCB(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD．
（2）如图所示，过点B作BH∥AE交DE于点H，连接PH，CH，
∴∠DBH=∠BAC=60°
．
∵AB=CE，AC=BD，
∴AB+BD=AC+CE，即AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠D=60°，DE=DA，
∴△DBH是等边三角形，
∴BH=BD=DH，
∴BH=AC．
又∵BH∥AC，
∴四边形ABHC是平行四边形．
∵P为BC的中点，
∴A，P，H三点在一条直线上，
∴AH=2AP．在△ADH和△EDB中，
{
AD=ED
)
∠D=∠D
DH=DB
∴△ADH≌△EDB(SAS)，
∴BE=AH，
∴BE=2AP．
【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四
边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系．
