文档内容
考点 28 正弦定理、余弦定理（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【知识点】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，
b＝ 2 R sin B ，
c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)sin A＝， cos B＝；
sin B＝，sin C＝； cos C＝
(3)a∶b∶c
＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A0，φ>0)个单位长度而
非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，
ω为负时应先变成正值
【例题1】（2024·广东江门·二模） 是 内一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在 中，分别使用正弦定理，结合 化简整理即可得解
【详解】因为 ，
所以 ，
设 ，因为 ，所以 ．在 中，由正弦定理可得 ，
则 ，即 ，
即 ，
解得 ．
故选：D
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若
，且 ，则 .
【答案】 /
【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得 ，由同角的平方关系可得 ，
结合正弦定理计算即可求解.
【详解】 ，
，
.又 ，
所以 ，所以 .
因为 ，由正弦定理知 ，
所以 ，又 ，所以 .故答案为：
【变式2】（2024·山东日照·二模） 的内角 的对边分别为 ．分别以
为边长的正三角形的面积依次为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到 ，利用余弦定理求得 ，即可
求解；
（2）设 ，在 和 中，利用正弦定理化简得到 ，结合
三角函数基本关系式，联立方程组，求得 的值.
【详解】（1）解：由分别以 为边长的正三角形的面积依次为
，
则 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
（2）解：设 （其中 为锐角），在 和 中，由正弦定理可得 且 ，
于是 ，
又因为 ，所以 ，
化简得 ，
根据同角三角函数的基本关系式，可得 ，
因为 ，联立方程组，解得 ，即
【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且 .
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，点F为 的垂心， ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得 的值，再由角 的范围，可得角 的大小；
（2）设 ，分别在两个三角形中，由正弦定理可得 ， 的表达式，由辅助角
公式可得 的取值范围．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ， ，
可得 ；
（2）延长 交 于 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ， ，
根据题意可得 ， ，因为 ，所以 ，
设 ， ，在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
同理在 中，可得 ，
所以
，
因为 ，所以 , ，
所以 , ，
所以 , ．
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用
A＋B＋C＝π这个结论．【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若 ，且 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和 得到 ， ，求出 ，得到答案.
【详解】 ，
即 ，故 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 为等腰直角三角形.
故选：D
【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 的形状为 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，得到 ，化
简得到 ，进而得到答案.
【详解】因为 ，可得 ，
由正弦定理和余弦定理，可得 ，
整理得 ，即 ，
即 ，可得 ，
所以 或 ，所以 是等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.
【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
(1)试判断 的形状；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1) 是直角三角形
(2)
【分析】（1）根据题意，求得 ，利用余弦定理列出方程，得到 ，即可
求解；
（2）由（1）和 ，得到 ，则 周长为 ，结合三角
函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，
又由余弦定理得 ，可得 ，所以 ，
所以 是直角三角形
（2）解：由（1）知， 是直角三角形，且 ，可得 ，
所以 周长为 ，
因为 ，可得 ，
所以，当 时，即 为等腰直角三角形，周长有最大值为 .
【变式3】（2024·内蒙古·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明： 为直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到 ，求出答案；
（2）由（1）得到 ，结合 ，得到
，化简得到 ， ，得到答案.
【详解】（1）由 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，即 .
（2）证明：由（1）可得 .
又 ，所以 ，
即 ，
故 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 为锐角，
解得 （负值舍去），即 ，
所以 为直角三角形.
命题点2 三角形的面积
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知 中， ， ， ，则
的面积等于（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出 ，再根据三角形面积公式计算即
可．
【详解】由余弦定理得， ，因为 为三角形
内角，
则 ，
所以 ，
故选：B．
【变式1】（2024·安徽·三模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满
足 , ，则 的面积是
．【答案】 /
【分析】先化角为边结合余弦定理得出 ，利用 可得 ，利用面积公
式可得答案.
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ， ，
因为 ，所以 ；
由 得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以三角形是正三角形，
因为 ，所以 的面积是 .
故答案为：
【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形 中，内角 对应边分别为 且
.
(1)求 的大小；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ， ， ，求
及 的面积.【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用正弦定理边化角可得 ，根据式
子特点，变换 ，从而可以化简三角恒等式为 ，最后利
用辅助角公式求出 ；
（2）设 ，可知用 表示 ， ，利用正弦定理可得公共边 的式子，
最后可得一个关于角 的三角方程求解出角 的大小，然后求出求出 和
，最后利用面积公式即可求出面积.
【详解】（1） ，由正弦定理边化角得：
，由三角形内角和为 可得：
，
即 ，
即 ，
又 ，
即 ，又 ， ，即 .
（2）设 ，在 中， ，
， ，，
在 中， ， ， ，
，
即 ，
，
，又 ，
，解得 ，
，
又由
，
于是
【变式3】（2024·全国·模拟预测）在 中，已知 .
(1)求证： ；
(2)若D为AB的中点，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由 ，利用两角和与差的正弦函数化简求解；（2）由D为AB的中点，得到 ，再两边平方得到CA，CB的一个关系式，
由 ，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一个关系式，然后利用（1）的结论
求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为D为AB的中点，且 ， ，
所以 ，
两边平方得 ，
，
即 ，
又 ，
即 ，
由（1）知 ，
解得 ，又 ，且 ，
所以 ，则 .
命题点3 与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通
常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题
时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想
【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形 中，
，记 与 的面积分别为 ，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理得 、 ，两式相减可得 ，
由三角形的面积公式得 ，即可求解.
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 ①，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 ②，
又 ，
所以 ③，
由② ①，得 ，由 ，
得 ，代入③得 .
故选：B【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在 中， ， ， 、
分别在边 、 上， ， 且 .则 值是 ；
的面积是 .
【答案】 /
【分析】分析可得 ， ，在 中，利用正弦定理结合二倍角的
正弦公式可求得 的值；求出 的长，利用两角和的正弦公式求出 的值，利
用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】因为 ，则 ，故 ，
因为 ，则 为 的中点，且 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
易知 为锐角，故 ，可得 ，
所以， ，则 ，
，
，故在 中， 为锐角，故 ，
所以， ，因此， .
故答案为： ； .
【变式2】（2024·广东梅州·二模）在 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
， ，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当 ，且 时，求AC的长；
（Ⅱ）当 ，且 时，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2) ；
【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 的值，结
合 即可求解 的值；
（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得
正弦定理即可求解.
（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
因为 为三角形内角， ，
所以 ，可得 ，
因为 ，所以 ；
（2）（Ⅰ）此时 ， ，
所以 ，所以
，
在 中，由正弦定理可得
；
（Ⅱ）设 ，由 ，
可得 ，化简可得
有 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
则 ．
【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆 的半径为2，直线 与圆 相
切于点 ，圆 上的点 从点 处逆时针转动到最高点 处，记.
(1)当 时，求 的面积；
(2)试确定 的值，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）过点 作 ，利用圆的性质求得 ，代入面积公式直接求解即可；
（2）设 的面积为 的面积为 ，结合三角形面积公式建立方程，利用辅助
角公式化简求解即可.
【详解】（1）过点 作 交 于点 ，如图：
因为圆 的半径为2，由题意 ，
又 ，所以 的面积为 .
（2）连接 ，设 的面积为 的面积为 ，
又 ， ，由题意知 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以当 时，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ， ，则（ ）
A． 为锐角三角形 B． 为直角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【详解】由于 ,
故 为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
2．（2024·贵州遵义·三模）在 中，角 的对边分别为 ，D为 的中点，
已知 ， ，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理化边为角求出角 ，在向量化求出边 ，再根据三角形的面积公
式即可得解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，D为 的中点，则 ，
则 ，
即 ，解得 （ 舍去），
所以 .
故选：D.
3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
， ， 的平分线交边AC于点D，且 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用余弦定理求得 ，得到 ，结合
，列出方程求得 ，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】因为 及 ，可得 ，
由余弦定理得 ，又由 ，所以 ，
因为 ，即 ，解得 ，
由余弦定理得 ，即 ．
故选：D．
4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在 中， ， 为 内一
点， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，设 ， ，即可表示出 ， ，在 中利用
正弦定理得到 ，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化
切，即可得解.
【详解】在 中，设 ，令 ，
则 ， ，
在 中，可得 ， ，
由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
可得 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到
中利用正弦定理得到关系式.
二、多选题
5．（2024·江西·二模）已知 中， 为 的角平分
线，交 于点 为 中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的面积为
D． 在 的外接圆上，则 的最大值为
【答案】ACD
【分析】对每一个选项逐一判断，由余弦定理求出 ，再由角平分线定理可知
，利用三角形面积公式求出 ，再设 ，将
表示为 的三角函数求最值即可判断.【详解】在 中，由余弦定理得 ，
由角平分线定理得： ，所以A正确；
由 得 ，解得
，所以B错误；
，所以C正确；
在 中，
设 ，则 ，由正弦定理得：
，其中 ，所以
D正确.
故选：ACD.
6．（2024·重庆·模拟预测）已知 的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则
下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 为钝角三角形D．若 ，则 为锐角三角形
【答案】AC
【分析】由正弦定理可判断A；余弦函数的单调性可判断B；由余弦定理可判断C，D.
【详解】对于A，在 中， ，由正弦定理可得： ，故A正确；
对于B， 即 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
，故B错误；
对于C， ，
因为 ，所以 ，
所以角 为钝角，故C正确；
对于 ， ， ，
因为 ，所以 ，
则只能判断角 为锐角， 两角可能有钝角，故 错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（2024·北京昌平·二模）已知 中， ，则 ．
【答案】
【分析】由余弦定理求出 ，由同角三角函数的平方关系求出 ，最后由三角形的面
积公式即可求出答案.
【详解】由余弦定理可得： ，
解得： ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .故答案为： .
8．（2024·江苏·二模）设钝角 三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若
， ， ，则 .
【答案】
【分析】利用余弦定理表示出 ，再利用同角三角函数的平方关系，得到
，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.
【详解】由余弦定理得， ，
而由 ，得 ，
因为 是钝角三角形，且 ，故A为锐角，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，即 ， ，由大边对大角得：最大角为C，
，故C为锐角，不符合题意；
当 时，即 ， ，由大边对大角得：最大角为B，
，故B是钝角，符合题意，
故答案为：
9．（2024·河南·三模）如图，在 中，角 所对的边分别为 ，已知， 的平分线 交边 于点 边上的高为 边上的
高为 ， ，则 ；
.
【答案】
【分析】根据题意结合角度关系分析可知： ， ，即可得结果；根
据题意利用正项定理可得 ， ，根据图形分别求 ，即可得结
果.
【详解】在 中，可知 ，
因为 ，且 为 的平分线，可知 ，
则 ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
所以 ；
因为 ，
，
在 中，由正弦定理 可得 ，
则 ，解得 ，由正弦定理 可得 ，
且 为 的平分线，则 ，可得 ，
在 中，由正弦定理 可得 ，
在 中，可知 ，则 ，
在 中，可知 ，
在 中，可知 ，
所以 .
故答案为： ； .
四、解答题
10．（2024·上海宝山·二模）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状.
【答案】(1)
(2)4， 为等边三角形
【分析】（1）由正弦定理角化边可得 ，进而根据余弦定理可求 ；
（2）由三角表面积可求得 ，根据均值不等式可求得 的最小值，根据取得最小值
可判断三角形的形状.
【详解】（1）由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，因为 是三角形内角，所以 ；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，此时 为等边三角形.
11．（2024·江西·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，其外接圆的
半径为 ，且 ．
(1)求角 ；
(2)若 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的
面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得 ，结合角的取
值范围可求得角 的值；
（2）利用正弦定理可求得 的值，利用 可得 ，余弦定理
可得 ，两式联立可得 ，然后利用三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
，故 ，
，即 ，
又 ，则 ．
（2）
由（1）可知， ，又外接圆的半径为 ；
由正弦定理可知 ，
所以 ，
因为 是 的平分线，故 ，
又 ，
由 ，
可得 ，即 ．①
由余弦定理可知， ，即 ．②
由①②可知 ．所以 ，
又 ，则 ，
所以 .
【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·浙江金华·三模）在 中，角 的对边分别为 ， ， .若 ，
， ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得 ,
即 ，即 ，解得 或 （舍）.
故选：C.
2．（2024·青海西宁·二模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得 ，利用余弦函数的单调性可得 ，进而可
得 ，由正弦定理得 ，计算可求 .【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，因为 ，则 ，
且余弦函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 .
故选：B.
3．（2024·山东·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得 ，结合余弦定理，即可求解.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
又由余弦定理得 .
故选：C.
4．（2024·四川成都·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出
以下4个命题：（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 一定为直角三角形；
（3）若 ， ， ，则 外接圆半径为 ；
（4）若 ，则 一定是等边三角形.
则其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用正弦定理得到 和 的大小关系，再利用倍角公式可以比较 和
，进而判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断
（2）；利用余弦定理求出 ，再利用同角三角函数关系得 ，由正弦定理可以得到
外接圆半径；根据三角形内角的范围和余弦值的范围可以对（4）进行判断.
【详解】（1）若 ，则 ，则 ，
则 ，即 ，故（1）是真命题；
（2）若 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，
即 整理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，故 ，
所以 一定为直角三角形，故（2）是真命题；
（3）若 ， ， ，由余弦定理得 ，则
，
由正弦定理得 ，故外接圆半径 ，故（3）是假命题；（4）若 ，则 ，
则 ，从而 ，则 一定是等边三角形，故（4）是真命
题；
综上，真命题有3个.
故选：C.
5．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
满足 ，且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简 ，可得 ，即 ，
再由两角差的正弦公式化简 ，可得 ，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 .所以 ，
所以 的形状为顶角为 的等腰三角形.故选：B.
6．（2024·吉林长春·模拟预测） 的内角 所对的边分别为
，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】由已知可得 ，结合三角恒等变换，正弦定理可得 ，由此
可求 ，再结合勾股定理求 即可.
【详解】因为 ，
所以 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
故
由勾股定理可得 ，
所以 ，
故选：A.
7．（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，则（ ）
A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
【答案】A
【分析】由正弦定理得 ，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得 ，解方程可得答案.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，
，
，
即 ，
由 ，故 只能为锐角，可得 ，
因为 ，所以 ， .
故选：A.
8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形 满足 ， ，则四边
形 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由正弦定理结合圆的性质分别得到 和 ，
再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦展开式求解.
【详解】
设 ，则 ， ， ，
在 和 中，由正弦定理可得 ；同理
，
所以四边形 的面积
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形面积公式 表示出四边形面积，
再结合正弦定理求解.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）若 的三个内角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 一定能构成三角形的三条边
B． 一定能构成三角形的三条边
C． 一定能构成三角形的三条边
D． 一定能构成三角形的三条边
【答案】AD
【分析】根据题意，利用正弦定理和特例，结合构成三角形的条件，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由正弦定理得 ，所以 作为三条线段的长一定能构成三角形，所以A正确；
对于B中，例如：设 中， ，
可得 ，可得 ，
显然 作为三条线段不一定构成三角形，所以B错误；
对于C中，例如：设 中， ，
可得 ，所以 ，
此时 ，所以 作为三条线段不能构成三角形，所以
C错误；
对于D中，由正弦定理得 ，
不妨设 ，则 ，且 ，
又由 ，即 ，
所以D正确.
故选：AD.
10．（2024·广东广州·二模）在梯形 中，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】在 中由正弦定理求解 判断A；利用两角和差公式求解 判断
B；利用向量数量积计算 判断C；利用数量积计算 判断D．【详解】在 中， ，
则 ，
由正弦定理知 ，
即 ，故A正确；
，
，
，故B正确；
，故C错误；
，故 ，即 ，故D正确．
故选：ABD
11．（2024·浙江·三模）已知 的内角 的对边分别为 ，且
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理
即可判断B；通过余弦定理及 可得 或 ，即可判断C；通过求 的取
值范围 ，并将 即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以由 及正弦定理得， ，
由诱导公式得， ，
因为 ，故 ，所以 ，
化解得 ，即 ，
所以 或 ，即 （舍）或 ，故A正确；对于B，由余弦定理得 ，即 ，得 ，
由 ，所以 (负值舍)，即 有一解，故B错误；
对于C，因为 ，两边平方得 ，
由余弦定理得 ，
由两式消 得， ，解得 或 ，
由 解得 ，
由 解得 ;
故 为直角三角形，故C正确；
对于D，因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在 中，点 在线段 上，且
，则 ．
【答案】
【分析】由题意，根据正弦定理、余弦定理计算即可求解.
【详解】在 中，由余弦定理，得 ，则 ，即 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，解得 ．
故答案为：
13．（2024·湖南长沙·二模）在 中，若 ， ， ，则
.
【答案】
【分析】由同角三角函数关系求解 ，再由正弦定理可得解.
【详解】由已知 ， ，
则 ， ，
又 ，
所以 ， ，
又根据正弦定理 ，
则 ，
故答案为： .
14．（2024·福建厦门·三模）记锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意及余弦定理可得 的关系，由余弦定理可得 ，再由
为锐角三角形可得 ，即可求出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
由余弦定理可得： ，
可得 ，在锐角 中，由余弦定理可得：
，
因为 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）设 的内角 所对的边分别是 且向量
满足 .
(1)求A；(2)若 ，求BC边上的高 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到 ，求出 ；
（2）由余弦定理得到 ，根据三角形面积得到方程，求出答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，解得 ；
（2）因为 ，所以 ，
即
化简得 ，解得 或 (舍去)，
由 的面积 ，又 ，
故 ，解得 .
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，
， 的角平分线与 相交于点 ，且 .(1)求 的大小；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中利用正弦定理结合已知条件求出 ，即可得解；
（2）依题意可得 ，由 求出 ，再在 中利用余弦定理
计算可得.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 平分 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以
，
所以 .
17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光
湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头
的栈道，且 ，在B处测得 ，在D处测得
．（A，B，C，D均处于同一测量的水平面内）
(1)求A，C两处景点之间的距离；
(2)栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线是否垂直？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不垂直，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件利用正弦余弦定理求解即可；
（2）在 和 中利用正弦余弦定理求解，然后计算 是否为零即可.
【详解】（1）由已知在 中， ， ， ，
所以 ，则 为等腰三角形，
则 ，在 中， ， ， ，
则 ，
由正弦定理 ，即 ，解得 ，
在 中， ， ，
由余弦定理 ，
即A，C两处景点之间的距离为 ；
（2）在 中， ，
在 中，因为 ，
所以 ，
由正弦定理 ，
即 ，得 ，
所以
，
即栈道BD所在直线与A，C两处景点的连线不垂直.18．（2024·湖南·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出 ，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以由正弦定理得 ，整理得 ．
则 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 是锐角三角形．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ，所以 ，
所以 的面积为 ．
19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从① ；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应
位置上）
在 ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)△求角B的大小；
(2)若 ABC为锐角三角形， ，求 的取值范围.
△
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用正弦定理结合 得到 ，求出答案；
选②，由正弦定理得到 ，利用余弦定理得到 ，求出答案；
选③，由正弦定理得到 ，由辅助角公式得到 ，求出答案；
（2）利用正弦定理和余弦定理得到 ，结合 ABC为锐角三角
△
形，求出 ，求出答案.
【详解】（1）若选①
因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，由 ，得 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
若选②
由 ，化简得 .
由正弦定理得： ，即 ，所以 .
因为 ，所以 .
若选③
由正弦定理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）在 中，由正弦定理 ，得 ，
由（1）知： ，又с=1代入上式得：
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 .
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有
关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，
或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）在 中，设内角 的对边分别为 ，设甲：
，设乙： 是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的
定义判断即得.
【详解】在 中，由正弦定理及 ，得
，
即 ，整理得 ，
由正弦定理得 ，则 或 ，即 或 ，
因此甲： 或 ，显然甲不能推乙；
乙： 是直角三角形，当角 或 是直角时，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
故选：D2．（2024·安徽·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知等式结合正弦定理可得 ，再由余弦定理可得
，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得
到结果即可
【详解】由 及正弦定理得 ，即
，
由 及余弦定理可得 ，
∴ ，∴ ，∴ .
又 ，∴ .
故选：D.
3．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，
2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园” 中，
准备修一条三角形健身步道 ，已知扇形的半径 ，圆心角 ， 是扇形
弧上的动点， 是半径 上的动点， ，则 面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，在 中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出
函数最大值即得.
【详解】设 ，由 ，得 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
则 的面积
，显然 ，因此当 ，即 时， ，
所以 面积的最大值为 .
故选：A
4．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P﹣ABC所有棱长都等于2，动点M在三棱锥P﹣ABC
的外接球上，且 的最大值为s，最小值为t，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意确定 点的轨迹，结合余弦定理求 的取值范围.
【详解】如图：过 作 平面 于 ，则正四面体的外接球球心（也是内切球球心）在线段 上，
设为 ，设内切球半径为 ，外接球半径为 .
则 ， ，
而 ，所以 ， .
因为 在 的外接球上，且 ，
所以 在以 为直径的球面上，取 中点为 ，
则 在圆 上，圆 所在的平面与 垂直.
在 中， ， ， ，
过 作 于G，则 为正 的中心，且 ，
所以在 中， ，所以 .
设 ，则当点 共面时， 取得最值，即
所以 .
在 中，由余弦定理： .
所以 ，
所以 ， ， .故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是弄清楚 点的轨迹.因为 点满足 ，
所以 点在以 为直径的球面上，又 点在正四面体 的外接球上，故 点的
轨迹上两球的交线，即如图所示的圆 上.
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）在 中， 所对的边为 ，设 边上的中点为 ，
的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
【答案】ABC
【分析】由余弦定理、三角形面积公式结合均值不等式判断ABD三个选项，利用向量的模
的计算公式判断C选项.
【详解】选项A，若 ，由余弦定理 ，得 ，所以
，
则三角形面积 ，A正确；
选项B，由基本不等式可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
由余弦定理可得 ，
则 ，B正确；
选项C，因为 边上的中点为 ，所以 ，
而 ，即 ，则 ，
所以，故C正确；
选项D，因为 ，即 ，
所以由余弦定理得 ，
又 ，且函数 在 上单调递减，所以 ，D错误.
故选：ABC.
6．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 一定是等边三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形
【答案】BCD
【分析】对于A：利用正弦定理得到 或 ，即可判断；对于B：由余弦函数的
有界性求出 ，即可判断；对于C：由余弦定理求出 ，即可判断；对于
D：利用三角公式判断出 或 ，即可得到答案.
【详解】对于A：因为 ，由正弦定理得： ，
所以 .
因为 ， 为 的内角，所以 或 ，
所以 或 .所以 是等腰三角形或直角三角形.错误；
对于B：由余弦函数的有界性可知：若 .
因为 ，所以 或
.当 时，有 且 ，所以 ，
所以 是等边三角形.
当 时，有 且 ，不符合题意.
所以 一定是等边三角形.正确；
对于C：因为 ，由余弦定理得： ，
所以 ，所以 ，则 一定是等腰三角形.正确；
对于D：在 中， ，所以
.
所以 ，
所以 ，即 ，所以 或 .
所以 一定是钝角三角形，正确.
故选：BCD
三、填空题
7．（2024·全国·三模）在 中， ， .若
，则 的面积为 .
【答案】
【分析】结合复数模的运算，根据数量积的定义求得 ，利用同角三角函数基本关
系求得 ，然后利用三角形面积公式求解即可.
【详解】 ， ，则 ，所以 ，
所以 .
所以 .
故答案为：
8．（2024·陕西铜川·三模）已知 的内角 所对的边分别是 ，点 是 的
中点.若 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换，求得 ，再由
，列出方程求得 ，结合余弦定理，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以
又因为 为 的一条中线，可得 ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍）.由余弦定理得 .
故答案为： .
9．（2024·广西·模拟预测）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
的面积 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由已知求得 ， ，由余弦定理得 ，令 ，
由锐角三角形及两角和正弦公式求 的取值范围即可．
【详解】由三角形面积公式 ，结合 ，且 为锐角三角形，
可知 ，即 ，
又由平方关系 ，所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
由余弦定理有 ，
所以 ，
令 ，所以 ，
故只需求出t的范围即可，
由正弦定理边化角得，
注意到在锐角 中，有 ，简单说明如下：
若 ，则 ，
即B不是锐角，但这与 是锐角三角形矛盾，
所以在锐角 中，有 ，
所以在锐角 中，有 ，
因为正切函数 在 上单调递增，所以
，
从而 ，
而函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ．
综上所述： 的取值范围为 ．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：本题可以从以下方面解题
（1）通过三角形的面积公式及平方和关系求出三角函数值；
（2）利用余弦定理将目标式子进行变形，并通过正弦定理确定 的取值范围；（3）根据基本不等式解 的取值范围即可.
四、解答题
10．（2024·河南·三模）已知 是 内一点，
.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）在等腰 中可得 ，进而得 ，在 中运用正弦定理可
求得 的值.
（2）求出 的值，设 ，则 ，在 、 中，由正弦定
理可得 、 ，结合 求解即可.
【详解】（1）如图所示，
在 中， ，所以 .
所以 .
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 .（2）如图所示，
当 时， .
设 ，则 .
在 中，由正弦定理得 .
在 中，由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ，即 .
11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中
百米， 百米， ， ，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、
EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．(1)若 ，求排水沟BD的长；
(2)若 ，试用 表示4条人行道的总长度．
【答案】(1) 百米；
(2) 百米.
【分析】（1）在 中，求出 ， ，利用和差公式求
，再由余弦定理可得；
（2）设 ，利用正弦定理求得 ， ，
由 和 可得 ， ，分别在
， 中求出 ，然后可得答案.
【详解】（1）因为 ， 百米， 百米，
所以 百米，所以 ，
又 ， ，所以 为等腰直角三角形，
所以 百米，
因为 ，
所以在 中，由余弦定理得 百米.
（2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点，
所以 百米， 百米，
设 ，其中 ，在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
连接 ，则 ，
在 中， ， ，
由余弦定理得
，
在 中， ， ，
由余弦定理得
，
所以4条人行道的总长度为 百米.
