文档文本内容
余弦定理、正弦定理
目录
题型一： 利用正、余弦定理解三角形..........................................................................................4
题型二： 利用正、余弦定理判断三角形形状..............................................................................8
题型三： 与三角形面积有关的问题.............................................................................................11
题型四： 最值或范围问题.............................................................................................................14
题型五： 正弦定理、余弦定理的应用........................................................................................20
知识点总结
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
文字
三角形中任何一边的平方，等于
在一个三角形中，各边和它所对角的
其他两边平方的和减去这两边与
正弦的比相等
它们夹角的余弦的积的两倍
语言
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos _A，
公式 ＝＝ b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos _B，
c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos _C
(1)a＝ 2 R sin _A，b＝ 2 R sin _B，c＝
cos A＝，
2 R sin _ C ．
常见
cos B＝，
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
变形
cos C＝
a∶b∶c＝sin_ A ∶ sin _ B ∶ sin _ C ．asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)．
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长．
3．常用定理
(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin
C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos
A．
(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成
比例．即若AD为∠A的平分线，则有比例关系：＝.
4．重要关系
(1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sin A>sin B
⇔cos A<cos B．
(2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝
cos；cos＝sin.(3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，
b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sin B＝sin A＋sin C．
5．解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下
方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标
方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角
类似．
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡
面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比．
6．解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
例题精讲
题型一：利用正、余弦定理解三角形
bsinA
【要点讲解】(1)求边:利用正弦定理变形公式a= 等或余弦定理a2= b 2 + c 2 -2 bc cos A 等
sinB
求解.
asinB b2+c2-a2
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A= 等或余弦定理变形公式cos A= 等
b 2bc求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正
弦的齐次式用正弦定理.
【例1】 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．已知 ， ，
，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解： ， ， ，
由余弦定理可得： ，整理可得： ，
解得： 或 （舍去）．
故选： ．
【变式训练1】设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ，
．且 ，则
A． B．2 C． D．3
【解答】解： ， ， ．且 ，
由余弦定理可得，
，
即有 ，
解得 或4，
由 ，可得 ．
故选： ．【变式训练2】在 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：在 中， ， ，
， ，则 ．
故选： ．
【变式训练3】 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ． 已 知
， ，则
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解： 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
， ，
由正弦定理得：
，
解得 ，
．
故选： ．
【变式训练4】在 中， ， 边上的高等于 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：设 中角 、 、 、对应的边分别为 、 、 ， 于 ，令
，在 中， ， 边上的高 ，
， ，
在 中， ，故 ，
．
故选： ．
【例2】在 中， ， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
【解答】解：（1） ， ，
由正弦定理可得 ，
（2） ，则 ，
，
，又由（1）可得 ，
，
．
【变式训练1】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ，， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及 ， ， ，
则 ，
，
；
（ Ⅱ ） 由 正 弦 定 理 ， 以 及 ， ， ， 可 得
；
（Ⅲ） 由 ，及 ，可得 ，
则 ，
，
．
【变式训练2】在 中， ， ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 边上的高．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，即 是锐角，， ，
由正弦定理得 得 ，
则 ．
（Ⅱ）由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
得 ，
得 或 （舍 ，
则 边上的高 ．
题型二：利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】设 的 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 若
，则 的形状为
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解答】解： ，
，
，
， ，
故三角形为直角三角形，
故选： ．【变式训练1】在 中，若 ，则 的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解： ，
．
．
，
或 ．
， ， 或 ．
为直角三角形或等腰三角形．
故选： ．
【变式训练2】若在 中， ，则 的形状一定是
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解答】解： 在 中 ，
，
，
，
，
，即 ，
为等腰三角形，
故选： ．
【变式训练3】在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对应边），则的形状为
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：因为 ，即 ，由余弦定理可得 ，
可得 ，所以三角形是直角三角形．
故选： ．
【变式训练4】已知非零向量 与 满足 且 ．则
为
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
【解答】解：因为 ，
所以 的平分线与 垂直，三角形是等腰三角形．
又因为 ，所以 ，
所以三角形是正三角形．
故选： ．
【例4】在 中 ， 、 、 分 别 为 内 角 、 、 的 对 边 ， 且
．
（Ⅰ）求 的大小；
（Ⅱ）若 ，试判断 的形状．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即由余弦定理得
故 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
变形得
又 ，得
上述两式联立得
因为 ， ，
故
所以 是等腰的钝角三角形．
【变式训练1】在 中，已知 ，且 ．
（1）试确定 的形状；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）由 可得
得 ， ，
即 ，根据正弦定理， ，①，
又由正弦定理及 可知 ，②，由①②得 ，
所以 是直角三角形，且 ；
（2）由（1）知 ，
则 ，即 ，故 ．
根据正弦定理，得 ．
因为 ，即 ， ， 成等比数列，
因为 ，所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
，
，
即 的取值范围是 ．
题型三：与三角形面积有关的问题
【要点讲解】(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个
角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结
合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
【例5】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，则
的面积为 ．
【解答】解：由余弦定理有 ，
， ， ，
，
，
，故答案为： ．
【变式训练1】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
，则 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，
由正弦定理 得： ， ，
，
则 ．
故选： ．
【变式训练2】在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
，则 的面积为
A．3 B． C． D．
【解答】解： ，
，
即 ，
，，
解得 ，
则三角形的面积 ，
故选： ．
【例6】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，且 ，
由正弦定理可得： ，
即有 ；
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ；
由正弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ．
【变式训练1】已 知 ， ， 分 别 为 三 个 内 角 ， ， 的 对 边 ，（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ， ．
【解答】解：（1）由正弦定理得： ，
即
，
即
．
；
（2）若 ， 的面积 ，
．①
再利用余弦定理可得：
，
．②
结合①②求得 ．
题型四：最值或范围问题
【要点讲解】(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范
围确定最值或范围.
【例7】在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且，则 的取值范围为
A． B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 中，由余弦定理得， ，
且 的面积为 ，
由 ，
得 ，
化简得 ；
又 ， ，
所以 ，
化简得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
所以 ，
由 ， 且 ， ， ， 解 得 ， ，
， ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ；
故选： ．
【变式训练1】在 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
．
（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得： ，
即 ，
， ，即 ，
又 为三角形的内角，则 ；
（2）方法一： ，即 ， ，
由余弦定理，得 ，
即 ，
， ，则 ．
的取值范围为 ， ．
方法二： ，即 ， ，
由余弦定理，得 ，
即
，
，又 ， ，
的取值范围为 ， ．
【变式训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，
已知
（1）求角A；（2）若a＝2，求 的取值范围．
【解答】解：（1）已知 ，由余弦定理和三角形的面积公式，
得 ，即 ，
若cosA＝0，则sinA＝0，不符合题意，故cosA≠0，
所以 ，由A∈（0，π），得 ．
（2）a＝2， ， ，
由正弦定理 ，
＝ ，
由 ，则 ，得 ，
所以 ，即 的取值范围（﹣2，4]．
【变式训练3】在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， 且
．
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 中，由 ，
利用正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，或 ；
（2）若 为锐角三角形， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 为锐角三角形，则 ，且 ，
又 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ， ．
【变式训练4】记钝角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
（1）若 ，求A；
（2）求 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，cosA﹣cosAsinA+cosAsinB＝cosA+cosB﹣cosAsinA﹣
cosBsinA，
即sinAcosB+cosAsinB＝cosB，
即sin（A+B）＝cosB，
即sinC＝cosB．
若 ，
则 ，
因为B∈（0，π），
故 ．
从而 ；
（2）由sinC＝cosB，可得 ，
若 ，则 ，
即 ，与△ABC为钝角三角形矛盾．
因此 ，得 ，
故 ， ，
所以 ＝
＝
＝
＝＝
＝ ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为（1，+∞）．
【变式训练5】 的 内 角 、 、 的 对 边 分 别 为 ， ， ． 已 知
．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【解答】解：（1） ，即为 ，
可得 ，
，
，
若 ，可得 ， 不成立，
，
由 ，可得 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，
由余弦定理可得 ，
由 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 ， 可 得 且 ， 且，
解得 ，
可得 面积 ， ．
【变式训练6】在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ，且
的面积为 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【解答】解：（1） 中， ，
①
的面积为 ，
②
由①②得， ， ； （4分）
，
又 ，则 ，
； （6分）
（2）由（1）知，； （10分）
又 ， ， ，
的取值范围是 ， ． （12分）
题型五：正弦定理、余弦定理的应用
【要点讲解】(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利
用正、余弦定理求解.
【例8】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶
在西偏北 的方向上，行驶 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰
角为 ，则此山的高度 ．
【解答】解：设此山高 ，则 ，
在 中， ， ， ， ．
根据正弦定理得 ，
解得
故答案为： ．
【变式训练1】如图，设 、 两点在河的两岸，一测量者在 的同侧，在所在的河岸边
选定一点 ，测出 的距离为 ， ， 后，就可以计算出 、两点的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理得 ，
，
故 ， 两点的距离为 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，某建筑物的高度 ，一架无人机 上的仪器观测到建筑物顶
部 的仰角为 ，地面某处 的俯角为 ，且 ，则此无人机距离地面的高
度 为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得 中， ， ，
；
中， ， ，，
由正弦定理，得 ，
解得 ，
在 中， ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在离地面高 的热气球上，观测到山顶 处的仰角为 、山脚
处的俯角为 ，已知 ，则山的高度 为 ．
【解答】解：根据题意，可得 中， ， ，
．
中， ， ，
，
由正弦定理，得 ，
在 中， ．
故答案为：300
【例9】一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．
如图所示， ， 是江面上位于东西方向相距 千米的两个观测点．现位于 点北偏东 ， 点北偏西 的客船东方之星 点）发出求救信号，位于 点南偏西 且
与 点相距 千米的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救
援船到达 点需要多长时间？
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 知 ， ，
，
．
在 中，由正弦定理得： ，
又 ．
在 中 ． 由 余 弦 定 理 得 ：
救援船到达时间为 （小时）
答：该救援船到达 点需要1小时．
【变式训练1】如图，渔船甲位于岛屿 的南偏西 方向的 处，且与岛屿 相距12海
里，渔船乙以10海里 小时的速度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 处出
发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求 的值．【解答】解：（1）依题意， ， ， ， ．（2
分）
在 中，由余弦定理，得 （4分）
．
解得 ．（6分）
所以渔船甲的速度为 海里 小时．
答：渔船甲的速度为14海里 小时．（7分）
（2）方法1：在 中，因为 ， ， ， ，
由正弦定理，得 ．（9分）
即 ．
答： 的值为 ．（12分）
方法2：在 中，因为 ， ， ， ，
由余弦定理，得 ．（9分）
即 ．
因为 为锐角，所以 ．答： 的值为 ．（12分）
【例10】如图，在 中， ， ，点 在边 上， ．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）若 的面积为 ，求 的长．
【解答】解：（Ⅰ） ， ，且 ，
，
根据正弦定理 ，
可得 ；
（Ⅱ） ，
，
，得 ，
又 ，
由余弦定理得 ，
．
【变式训练1】如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道
，且两边是两个关于走道 对称的三角形 和△ ．现考虑方便和绿地
最大化原则，要求点 与点 ， 均不重合， 落在边 上且不与端点 ， 重合，
设 ．
（1）若 ，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求 ， 的长度最短，求此时绿地公共走道
的长度．
【解答】解：（1） △ ， ，
， ．
，
， ， ， ，
是等边三角形，
．
（2） ， ，
．
，即 ，
．在 中，由正弦定理可得： ，
，
令
， 当 即 时 取最大值，
当 时 最短，此时 是等边三角形， ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝4，b＝4 ，B＝60°，则A＝
（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【解答】解：因为a＝4，b＝4 ，B＝60°，
所以由正弦定理有： ，
所以 ＝ ，
因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，
所以A＝30°．
故选：A．2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
则 ，
所以 ．
故选： ．
3．在 中，已知 ， ， ，则角 等于
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解： 在 中，已知 ， ， ，
由正弦定理可得 ，
解得 ．
再根据 ，可得 ，
故 ，
故选： ．
4．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时 海里，在 处看灯塔 在船的
北偏东 的方向上．1小时后，船航行到 处，在 处看灯塔 在船的北偏东
的方向上，则船航行到 处时与灯塔 之间的距离为A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【解答】解：由题意可知 海里， ， ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 海里，
故选： ．
5．在 中， 、 、 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，
则
A． B． C． D． 或
【解答】解：由正弦定理 ，得 ，
又 ，
所以 ，
则角 为锐角，所以 ．
故选： ．6． 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，若这个三角形
有两解，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为三角形有两解，
所以 ，
即 ，
所以 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．在 中，下列结论中正确的有
A．若 ，则 等于
B．若 ，则 等于
C．若 ，则 等于
D．若 ，则
【解答】解：由余弦定理可得， ，
对于 ， ，
，即 ，
，
，故 正确，
对于 ， ，，即 ，
，
，故 正确，
对于 ， ，
，即 ，
，
，故 错误，
对于 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
，故 错误．
故选： ．
8．以下关于正弦定理或其变形正确的有
A．在 中，
B．在 中，若 ，则
C．在 中，若 ，则 ，若 ，则 都成立
D．在 中，
【解答】解：对于 ，由正弦定理 ，
可得： ，故正确；
对于 ，由 ，可得 ，或 ，即 ，或 ，
，或 ，故 错误；对于 ，在 中，由正弦定理可得 ，因此 是
的充要条件，正确；
对于 ，由正弦定理 ，
可得右边 左边，故正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ． ，则
．
【解答】解：在 中，
， ． ，
由余弦定理得 ，
．
故答案为： ．
10．在 中，角 ， ， ，所对的边为 ， ， ，若 ，且
，则 的形状是 等腰直角三角形 ．
【解答】解： ，
则由正弦定理可得， ，
由勾股定理可知， ，
， ，
，即 ，
， ， 为三角形的内角，
，
故 的形状是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．
11．已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ，则角
．
【解答】解：由正弦定理及 ，
得 ，
，
，
，
，
， ，
，
， ．
故答案为： ．
12．在 中， ， ， ，则 的解的个数是 2 个．
【解答】解：由正弦定理知， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 有两解．
故答案为：2．
四．解答题（共3小题）
13．在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边， ．
（1）求角 ；
（2）若 ， 为 中点， ，求 的长度．
【解答】解：（1） ，
，
，
由正弦定理可得： ，
，
， ，解得 ．
（2） ， ，
，
由正弦定理可得： ，
在 中，由余弦定理可得： ，解得 ．
14． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【解答】解：（1） 由正弦定理可得 ，在三角形中可
得 ， ，
可得 ， ，可得 ，
可得 ；
（2）因为 ， ， ，由余弦定理可得 ，
即 ，
解得 ，即 ， ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
15． 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）求三角形面积的最大值．
【解答】解：（1） ， ，
由余弦定理可得， ，即 ，解得 ．（2）由余弦定理可得， ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
三角形面积 ，
故三角形面积的最大值为 ．
